Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 10
Текст из файла (страница 10)
б) В зтом случае указакная сумма не является ограниченной по совокупности переменных я и и, поскольху при з = -", к Е 91, а Е йт т мн — = ссб — +со при н со. а 2п ь-! Следовательно, пркзкак Дирихле неприменим. Воспользуемся критерием Коши. Взяв с = 0,1, оценим разность ~ юв(н+ 1)я юв(в+ 2)х зш 2н* к+1 а+2 2н и 11+ «) з'а(1+ ) ма2 юв1 + — -в-+ ... + — ) — >е к+1 н+2 ' 2п 2 Га. 1. Ряды 50 при аюбом в.
Скедоватеаьио, по критерию Коши, посяедоватеаьность сходится неравномерно, т.е. неравномерно сходится иссаедуемый ряд (сходимость ряда прн каждом фиксированном х б)0, 2!г[ следует из того же прнанаха Дкрнхяе, а прк х ж 0 и х = 2х сходимость ряда ' очевидна). М 125. ~~! 2" мк —, 0< я <+оо. 1 3"х' » ! гг!» ! 4 При кюкдом фиксированном х > 0 имеем 2 зш — „, (2) — при в — ! оо. Отсюда сведует, что по теореме 3, п.1.5, данный ряд сходится. Дая иссаедовання на равномерную ! сходимость ряда применим критерий' Кошм. Пусть е = 1, р = в, х = з„. Тогда (Кет(х) — Я»(х))= ~2"~'мк — +2"+'аа — + ...
+2'"зш — > 2"г'зш- > с, в >1, 3 Зг 3»~ 3 т.е. ряд сходится керавкомерно. М 126. ~~" *' "',0 < х<+оо. г/в+ х »»1 и Поскольку частнчнме суммы, в силу оценки Е' х!1. вх . в+1 мв х ма йх и 2 [соз - ~ !зш — ив — х ~ ( 2, 2!! 2 2 »1 ! ') / ограничены, а функциональная последовательность (в + х) г равномерно ко х р22 ( ! — 0) н монотонно по в ,/» 1 1 1 >О "т "т!т ~ф» |! +!+ )! тт3т + ггт! / стремится к иуюо прн п -! оо, то, согвасно признаху Днрнхае, ряд сходится равномерно.
Н ! ц1~Я 127. Е -Ь вЂ”, 0 « * + /в(в+ х) ! 4 Ряд ~ (=~ — СХОдитеа (СМ. ПрнМЕр тт), а фуиакин Х»» (1+ -') г ОГраНИЧЕНЫ Чн! сиом 1 и при каждом фиксированном х > 0 образуют монотонную последоватеаьность. Сае- довательно, по признаку Абеяя, данный рид сходится равномерно. Н »О 128. Доказать, что абсоаютно и равномерно сходящийса ряд )~ г»(х), 0 ~ (х (~ 1, где ! О, есак 0(х(2 ~»+О, 1 (х) = -мпг(2"+'хх), есаи 2 ~»'~г1 < х < 2 ", О, есан 2»цх<1, неаьзя мажорировать сходящимся чисяовым ридом с неотрицательными чяенами.
и Нетрудно найти, что О, з чх "1' 8„(х) = -мпг(2"+!ах), есин 2 ~а»!1 ( х(2 ь, 3=1, в, а всяк О <я < 2 ~"+г1, 10, ес ! <я<1* о(х) йш о (х) = -ашг(2 +'хх), есам 2"1а+г1 < х (2 ь, 1 = 1, оо, »»» О, ее ам х О, 6 4. Функцмомальитае последовательности и ряды где (ЯО(х)) и Я(х) — последовательность частичных сумм и сумма данного ряда соответ- ственно. Далее, о, есин о(х) о (*) = -„мп (2 +'тх), если о, если -(х(1, 2" й~т'1 ( х ( 2" й, 6 ж и + 1, со, х=0. Поскольку зар [о(х) — Я„(х)[ = + (достигается при х„= — зт) стремится к нулю при ! з а<О<1 и со, то рзд сходится разномерно.
Абсолютная сходкмость ряда следует из того, что при фиксированном х Е [О, 1) он содержит не более одного отличного от нуля члена. Пусть с„— члены числового мажорирующего ряда. По условюо, с 3~ зар [у (х)[. 0<О<! ы ! з ! т Посколысу звр Щх)) ж — и достигается прн х = Ьтгт, то с„> —. Однако ряд 0<О<! ! расходится, поэтому исходный ряд нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами, И [г (*)[ < ~ (ййй(х)! ( ) щах([рй(а)), (ййй(6)(). й +! й= +! Поскольку ряд с членами йОО(х) сходится абсолютно при х = а и х = 6, го !Ус > 0 ЗА! = А!(с) такое, что Уи > А! выполняются неравенства ~ [р,(6)[ й й! й= е! (г) Так кю! щах([!Ой(а)[, )рй(6)[) ( [ййй(а)[+ )рй(6)), то на основании неравенств (2), неравенство (1) принимает вид [г„(х)[ ( ~ ([ййй(а)[+ )рй(6)[) < а, й- +! откуда следует, что г„(х) =1 О, х оо, т.е.
исследуемый рхд сходится равномерно. Абсолютная сходимость ряда вытекает из оценки (1). И ч-ч а„ 130. Доказать, что если ряд ~~! а„сходится, то ряд Дирихле ~ ~— сходится равномерно а* ! ! прк х ) О. и Функции х ОΠ— „ОГраНИЧенн еднницсй и прн каждОм х ) О образуют монотонную по! следовательность ~ — —,От!1, ) 0), а ряц 2, а„схоДится по Условию; поэтому, по пРиэнакУ /! и ! Абеля, ряд ~ — „" сходится равномерно при х ) О. и ! ОО ч ч зшнх 131* Показать, что функция г ! х ! ~~ — неирерывна и имеет непрерывную вз О ! производную в области -оо < х < +оо.
129. Доказать, что если ряд ) иО(а), члены которого — монотонные функции на ! сегменте [а, Ь], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [а, 6). и Принимая во внимание монотонность функций и„, оценим остаток ряда г (х). При х Е [а, Ь! имеем Гл. 1. Ряды 52 м Функции х ! мл их, х !-! солих непрерывны в указанной области. Кроме того, ряды а э(х) ~~' з ! ! (х) — к э ! ! в силу признака Вейерштрасса, сходятся равномерно. Поэтому, во — первых, почленное дифференцирование данного ряда, согласно п.4.7, возможно; во-вторых, согласно п.4.4, функции у и у' непрерывны, М 132.
Показать, что ряд ~~! (пхе "* — (и -1)хе !" '1*) сходится неравномерно на [О, 1], «=! однако его сумма есть значение функции„непрерывной на этом отрезке. м Имеем о„(х) = ~ (ххе * — (й — 1)хе !~ !М) = пхе "*, Я(х) = Йп о„(х) = О, х Е [О, 1]. Таким образом, з — непрерывная на [0, 1] функция. Однако, эяр [Я (х) — Я(х)[ = е10, !1 поэтому ряд сходится к своен сумме неравномерно. М 133. Определить области существования функции У н исследовать ее на непрерывность, если: а) т(х) = ~~ (х+ — ]; б) 1(х) = ~~[ ! ! м а) по признаку коши, ряд сходится, если 1пп ]я + -'] < 1, т.е.
при [х[ < 1 (н расходнт- О ся при х > 1, так как в этом случае общий член ряда не стремится к нулю). Функцнв У, таким образом, определена прн [х[ < 1. При [х[ < г < 1 функциональный ряд сходится равномерно, ! ! поскольку сходится мажорантиый для него ряд с членами (г+ -) . Поэтому, на основании п.4.4, можно утверждать, что функция У непрерывна прн [х[ < г < 1, т,е. непрерывна на интервале ] — 1, 1[. б) Функция 1„! х ! -*-Я--!) — непрерывна при -со < х < +ос, а ряд с членами у (х) равномерно сходится иа всей числовой прямой. В самом деле, представив функции ( в виде з / ( 1)э! у„! х ! х+» [,п л ]' „г замечаем, что функции г!„! х ! -т — —, ограничены в совокупности (!э„(х) < 1) н прн каждом х образуют монотонную последовательность по л, а ряд 2 ~ — „, + ~ ] сходится равномер»=1 но на каждом интервале ] — Ь, Ц, в силу чего ряд ~ 1„(х), по признаку Абеля, сходится =! равномерно на ] — Ь, Ц.
Поэтому сумма ряда является непрерывной функцией на ] — Ь, й[. В силу произвольности числа Ь, утверждаем, что сумма ряда непрерывна на всей числовой прямой. 134. Доказать, что дэета-функция Римана 1 (:*-ЕР ! непрерывна в обласхи х > 1 и имеет в этой области непрерывные производные всех порядков. м Пусть х > хо > 1.
Тогда, в силу сходимости ряда (1) е ! 53 т 4. Функциональные последовителыгостн и ряды н признака Вейерштрасса, заключаем, что ряд и=! и! сходится равномерно при х > хэ > 1. Так как, кроме того, функции х ! в"* непрерывны в указанной области, то, согласно п.4.4, функции 1иг н х и с р1(х) = ( — 1)р ~ также непрерывны прн х > хэ > 1, т.е. при х > 1 *и-! Скодимость ряда (1) вытекает из признаков сравнения пЛ.Ь и оценки 1вз и < о ха > 1, справедливой при достаточно большом о. и 135.
Доказать, что тэта-функция О!х ° ~ е опредеяена н бесконечно дифференцируема при х > О. ч Сходимость данного ряда вытекает из сходимости ряда с общим членом е «ЩР и при„г знака сравнения п.!.б (е '" ' < е «щр), т.е. функция 0 опредеяена прн х > О. Далее, рассмотрим ряд +«« Е эр— и е, рбл, где х > хз > О, явяяющнйся мажорнрующим по отношению к ряду гр -«» « Е г в е (2) Х'(х) = ~,(1:;),„ ! в силу признака Дирикке, сходится равномерно на кагкдом замкнутом множестве числовой прямой, ие содержащем точек х = -1, -2,..., то почвенное дифференцирование ряда а) при х ф -н, н Е р1, воззмикмо, Поскольку ряд (1), по признаку Коши! сходится, то, по признаку Вейерштрасса, ряд (2) сходится равномерно.
Следовательно, согласно п.4.7, функция д любое число раз днфференцнруема прн х > хэ > О. В сняу произвольности числа хэ, сдеяаииое закяючение пригодно прн х>О, в 136. Опредеянть область существования функции 1 и нссяедовать ее на днфференцнруемостги если: ) ~(*) = ~. ( ' *; б) ж =',. =! и! ч Функцноиаяьная последовательность ( — *) при х ф — о монотонно по и стремится к !«4«г нулю.
Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится, т.е, функция 1 существует при всех х ф — н. п Поскольку функции х ! ( — ) = — г непрерывны при х ~ -н и ряд !.1- ~ 1+) Гл. 1. Ряды б) Рлд скодится равномерно, по признаку Веиерштрасса, при всек конечных х. ДействиТЕЛЬНО, ЗДЕСЬ --уа -, < —,, А ж СОЛЗ1, И ряд' 2 ' — „2 СХОднтея. СЛЕДОВатЕЛЬИО, фуНКцИя у л 1 существует при всех х б] — со, +со[.
Далее, выполняя формальное дифференцирование ряда, получаем 2 чэч и зйпх — х[х[ (в!+ хэ)2 1 Поскольку !2 (х) — 1 1 2 < ! < ! — 2 при и В пз и рЯД 2 2 схОДитсЯ, то, 2 =1 по признаку Вейерштрасса, ряд (1) сходитса равномерно прн ]х[ < А. А тогда, принимая во внимание неирерывлость функций !2 при х 14 0 и учитывая л.4.7, заключаем, что лочяеиное дифференцирование ряда б) справедливо. Для исследования на дифференцируемость рада б) в точке х = 0 рассмотрим у(!ах) — У(0) ж, [ [сзх[ ~-~ 1 а*-яз Ьх а -хз [ ~~ ~-~ п'+(!2х)2 и ! (2) Здесь ряд ~С 2~ ~ 1! сходится равномерно ло признаку Вейерштрасса. Поэтому, 1 1 п.4.5, 1 Ъ-1 йш — < +со. а о 4-~ пэ+ (!2х)2 с-г пз =1 =1 согласно (3) Тогда, как следует из (2), с учетом (3) можно написать Д(0) = ) -'т, у' (0) = =1 Таким образом, функция 1 в точке х = 0 не дифференцируема, > 137. Прн каких значениях параметра ос а) последовательность (~ (х)), 1' (х) = и'хс ", х б р(, (1) сходится на отрезке [О, 1]; б) последовательность (1) сходится равномерно на [О, 1]; в) возможен предельный переход под знаком интеграла: йш ~у (х) 3х? з М а) Если х > О, то,используя правнлоЛолиталя, легко проверить, что Бш у хе *" = 0 э + прн любом и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
