Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1. Ряды Далее, по признаку Гаусса, ряд сходится абсолютно лишь прк р > 2. Следовательно, прн значениях р, удовлетворшощих неравенству 0 < р < 2, данный ряд сходится только условно. Ь 1 1 1 1 1 1 86. — — — + — — — + — — — +.... 1э 2г Зэ 4г 5э бг З Сразу заметим, что если р < О илп 3 < О, то ряд расходится в силу необходимого признака. Поэтому далее, считаем, что р > 0 и 4 > О. Имея в виду пример б5, сгруппируем члены данного ряда следующим образом: кэ,э,... Так как 4 У 1 = — — — + — + о ~ —, и -~ оо, ~ „), то, по теореме 4, п.1.5, сгруппироваиимй рзд сходится при р = 3 > О. Если же р ~ 4, то отсюда следует, что ряд сходится при р > 1 и 4 > 1 одновременно.
А тогда, согласно упомянутому примеру, при этих же условиях сходится и данный ряд. Очевидно, абсолютно ряд сходится лишь при р > 1 и 4 > 1. М 1 1 1 1 1 87. 1+ — — — + — + — — — + " Зэ 2э 5э 7э 4э ч Рзд 1+ —, + — р+ —, + — „+ — р+ ..., составленный из абсолютных величии членов данного ркка, сходится лишь при р > 1, так как при этом условии сходится ряд ~ —, и 1 э=1" члены абсолютно сходящегося рида можно переставить в любом порядке. Прн р = 1 получаем ряд, сходимосп которого исследована в примере 70.
Там мы уста- новили, что рзд сходится. Рассмотрим случай, когда 0 < р < 1. Образуем подпоследовательность частичных сумм данного рида (оэ ), где 1 1 1 1 1 1 1 1 2э 3э 4э ' ' ' (2п -1)э (2а)э (2п + 1)э (2п+ 3)э (4и — 1)э 1 1 1 (2п+1)э (2п+3)э (4и — 1)г' (Сэ„) — подпоследовательиость последовательности частичных сумм сходящегося ряда с и"-1 ' — 'у —. Поскольку 1 1 1 1 и (2п + 1)" (2п + 3)э (4н — 1)э (4в — 1)э 1 1 1 Бш оз = )пп Сэп+ йш + +, „+ — =+оо. 1(Ъ~~) (2 ~ ) '" (4 -1) у Следовательно, данный ряд прп 0 < р < 1 расходится.
Заметив, что расходимость его при р < 0 следует нэ пеобищимого услоюш, окончательно устанавливаем, что исследуемый ряд абсолютно сходится, если р > 1, и условно, если р = 1. 1ь 1 1 1 1 1 1 1 1 '+3 1э+бэ+7 3 +Оэ+11э 5 """ м Очевидно, прн р > 1 данный ряд сходится абсоюотио, кбо при этом условии сходится рзщ у „г °, и члепм абсолютно сходящегося ряда можно переставить в любоэг поршаке. з $2.
Признаки сходнмости щгакоперемеинзхх рядов Пусть 0 < р < 1. Рассмотрим подпоследовательносгь (Яэ») последовательности частич- ных сумм данного ряда. Имеем 1 1 1 (2в+1)э (2н+3)э (4н — 1)э Поскольку 5з» > (— , ~ оо при и со, то данный ряд расходится. Пусть р = 1. Тогда 0 < Яз» < — и, по теореме о монотонной ограниченной последова- 1 тельности, Вш Яз» конечен. Следовательно, сходится ряд А тах как все условия примера 65 здесь выполнены, то данный рэд также сходится. Учитывая еще, что прн р < О исследуемый рвд расходится, окончательно устанавливаем, что он сходится абсолютно при р > 1, а при р ю 1 — условно.
М 2 1 1 2 1 1 2 1 — — + — + — — — + — + — — — + 2э 2» 4» 5э бг 7» 8э м Рассмотрим ряд (2) » гнст, полученный из данного в результате группировки его членов по три. Считая, что р > 0 и 4 > О, имеем Отсюда, в силу признаков сравнения, п.1.5, следует, что при р = 4 ряд (2) сходится. Пусть р ф 6. Тогда а —.„-Г; —,1 при н со, и, следовательно, по признакам сравнения, ряд (2) 1 расходится, если шш(р, 4) ~< 1. Так как все условия примера 65 здесь выполнены, то выводы, относящиеся к ряду (2), остаются в силе для рида (1).
Замечая еще, что ири р < 0 или 4 < 0 исследуемый ряд (1) расходится (общий член ряда не стремится к нулю), а при р > 1 и 4 > 1 он сходится абсолютно, закюочаем, что при 0 < р = у < 1 ряд сходится условно. в М Для удобства представим общий член ряда в виде с пЛ „, (и — ш — 1)(п — щ — 2) ... (1 — щ)т ~ =(-Ц»-6„, 6»- в) н! Очевидно, при ш б эо ряд сходится абсолютно. Поэтому, исключая этот случай, можно образовать отношение 6» го+1 щ — =1+ — + 6 ээ и п(н — ез)' Так как начиная с некоторого номера пз, последовательность (6 ) имеет определенный знак, то будем считатг» что 6» > О, и > вз.
В таком случае из отношения (1), учитывая пример 79, находмм, что ряд сходится, если щ+ 1 > О. Поскольку при из+ 1 < О последовательность монотонно возрастает, то условие го + 1 > 0 является также и необходимым для сходимости р*да. Далее, по признаку Гаусса, из (1) следует, что ряд сходится абсолютно, если оз > О, а при г» < 0 — расищитсэ (абсолютно). Таким образом, все сказанное позволяет сделать вывод, что при т > О ряд сходится абсолютно, а если -1 < щ < О, то ряд сходится условно. В Зб Гл. 1. Ряды 1 1»+ 1 Э1.
Доказать, что сумма ряда 7 — ' — длл каждого р > 0 лежит между — и 1 . с вг 2 1 Ч Поскольку рвд, в силу признака Лейбница, сходится, то подпоследовательности ча- стичных сумм его имеют один и тот же предел 5; причем подпоследовательность (Язп), возрастает, а подпоследовательность (Яэ 1), --= -(--->- -~~ г) )' 2» Зп! (, (2в — 2)э (2и — Цэ убывает. Следовательно, Яэ < Я < 51„1, ОтКуда находии, Что 5 < 51 < 1. Для доказатель- ства оценки снизу рассмотрим подпоследовательность (51 1). поскольку график функции 1 з пп —,, р > О, з > О, является выпуклым вниз, то выполняютск неравенства 1 1 2 1 1 2 1 г — + — > —, — + — ) —,..., + > Зп 5» 4»' 71' 9» бэ' ' (4в — Цэ (4в+ Цэ (4п)п Отсюда для 51„1 имеем оценку 1 1 1 1 51„1--1 — — + — — — + ...
+ 2» Зэ 4» (4и — Цэ 1 1 (4п)п (4п+ цп 1 1 1 1 ! >1 — — + — — ...— + — = 1 — — 52, 2э 4» (4п — 2)п (4и)" 2э* из которой предельным переходом получаем 1 . Я Лгп 51 1 = Я > ! — — Иш Яэ„= 1 — —. 2»»» 21' Итак, Я » —,, —, что и требовалось доказать. М эп 1 92. Сколько членов ряда следует взхггп чтобы получить его сумму с точностью до е = 10, если' цп+1» ") Е ~! 5) Е ~ 7 М а) Согласно оценке остатка, вытекающей из признака Лейбница, нужное число 11' Находим из неравенства — и < 10 э, откуда 11' ) 10 (см.
п.2.2). ,,«ю+ц~+~ б) В силу признака Дирихле, ряд сходится, а по п.2.5 сумма ряда равна сумме сгруппированного раца 1Ы»-1 ~ (-Ц+'5„, Ь„=(-Ц"+' ,г'й ' п»1 Ь 1ВО!и-1!41 который, очевидно, является рядом лейбницева типа, т,е. сходюцимся по признаку Лейбница. Следовательно, длв остатка этого ряда справедлива оценка Ыап+11Э 1ВЭ +ЫЭ вЂ” < ' 7 ! й' « . . !о-', , ~~ ~, ~/К ,/ТЕО + 1 , „, , теУ + 1 эщ,— ,, уда !т' ) 1,52 . !О , М 93.
докааать, что гармонический ряц останется расходявэимст, если, не переставляя его членов, изменить знаки их так, чтобы ва р положительными членами следовало бы т отрицательных членов (р 44 4). Сходимость будет иметь место лишь при р = 4. 1 2. Признали сходпмости зпаноперемеппых рядов 4 Указанный в условии ряд 1 1 1 1 1 1 1 1 1+-+-+ ... +- — — — — -" — — + — +" + 2 3 р Р+1 Р+2 Р+д Р+д+1 2Р+д в силу примера бб, сходится или расходитсв одновременно с рядом 1+2+" +- — — + — 2+" + — + 1+ "+2— (1) Пусть Р > д, Поскольку справедливы оценки 1'1 / 1+ — + + — ) — ) — + + — /а >1 =(и д) 2 Р/ а Р+1 р+д/) Р Р 1 1 оа = 5г + + ... + +...+ — > Р+д+1 "' гр+да,гр+д+1 "' гр+гд/ Р д а/1 1 > от+ — — >(Р— д) [ — + гр+д гр+д 1Р 2Р+ /' ('1 1 бт >(р — д)(-+ + ...+ =в„>0 а Р 2р+д ир+(и — 1)д/ и йш х и+оо, то ряд (1) расходится.
и и Пусть Р < д. Тогда, оценивая частичные суммы рада следующим образом: д д Р д Р д д-Р/ оа <Р, ов <Р— —, оз <Р-, оа <Р- —— за <у- (1+-), ... и+д' Р+д' Р+д г(Р+д)' Р+д ( г) ' "' др/ 1 1 1 д д — Р/ 1 11 ..., 8,. < Р- — (1+ -+ ... + бвота <Р- — (1+ — + .. + -)), Р+ д (. 2 и — 1а) и(Р+ д)' Р+д (. 2 иа) ' находим, что йш Ятиьа = -оо, т.е, ряд (1) расходится. со Наконец, пусть Р = д. Тогда ряд (1) есть ряд лейбницева типа, следовательно, он сходится. М Упражнения для самостояхельиой рабохы Исследовать сходимость следующих рядов 31.
~, ( — 1;, †"-"- ип (=). 32. 2,' е и — 1~ д". ЗЗ. 2,вш и1в (1 + " ~,'~;""), и 2 / а 34. / ' ехр( — ".") — ', ". Зб. 2 ' ысабиаб (вш " мп (и+ — ). а В =1 Оа «а а 36. / агсвш — „сов т ( — 1)", ЗТ. /' —,+ — ~"-. 36. 2';„„"-мв(я~~сиз+ив). 1 и т 1 '1 О / в "а'+ и(т-) 39. ~ (2агсаб-(т-)-"-) "— 1 . 40. ~ и "~ )авсов~2и, р Е М. 41. ~ — ~ь~ь а » а =! 42. ~( — 1)" (7а + — Р) + ... + ).
43. ~ (-1)" ) дшутха)х. ааа и а 1 и 44 2 ) (1 — вв)и бв ыви. 46, 2, ) 'а* бз. и ае «а е Г.1.Р д 38 «» 44. ~ а»,где а» есть решение задачи ! (и+ 2)а»тз+ 2(п+1)а»ьг+ па» = О, а! = -1, аз = —, ! Исследовать.сходимость матричных рядов ~ А», если: ! ««!» ! жп1 — соз1 " " «!»» см» » ~ 3. Действия над рядами 3.1. Сяожеине рядов.
Есяи ряды СЮ «Ю а» и ~~«6», а» 6»бС, » ! »»! сходатся в Е, то справедливы равенства С» » »» 'у (ла»+дь„) = л~а„+и~ ь„, »! »! »! где Л, и — произвояьные действительные ики комплексные числа. с =а«6 +а!6„«+ ...+а Ь!. Вообще говоря, ) с ~ ) а ~ 6 . Однако, если один из рядов сходится, а второй сходится » ! !» ! абсояготно, то всегда » » с = ) а~): 6».
»»! »»! Эта формула справедлива Найти суммы рядов: ы 3» я4 ~ — з ! н Поскояьку и в том случае, когда все три ряда сходятся. 2пя . апт ! -г, если »~ЗЙ, йб1т, соз — = 1-2аа — = ~ з' 3 3 ( 1, если »=36, и ряды ~ » ! ш 3 — — „сходятся, то, иа основании утверждения п.3.1, имеем ! ! » 1 1/1 11 1 1/1 1Ъ 1 1/1 1Л 1 — — + — + — — — — + — + — — — — + — + — — ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
