Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 5
Текст из файла (страница 5)
3. ~ (соя~ ) . 4. ~ (изш-„) » 1 л 1 л 1 1 ОЭ з » »! ' Е ~'(" 1)~! ' Е ((л Ь»В ' Е;Щ;* ". » 1 » 1 »»1 , е — »»в»ил~ (»+1)(»+!) - (1»-2)("+2)2 ~ ачл-гц — -14»л-т!а — ...(2+12 !) » 1 »2»-1 л 2 10. ~ '— „Р. 11. ~ мй — '?. 12. ~. ") и'(у2; '3з. Е л 1 Гл.
1. Ряды Т-~ ~ СО . /- 14. ~„~ол е» вЂ” — „— соз ((-„. 16. ~ зш „,11;з-„-. » »»2 16. Доказать признак Бертраны если существует хохя бы в несобственном смысле предел то числовом строго полохсительный ряд ),'а» прн 7 > 1 сходится, а при д ( 1 — расходится. Пользуясь признаком Бертрана, исследовать сходимость следующих рядов: СО» сс Е П ( с с — +,' „) . 8.
»»»с-„'и»--. »»1 1»2 »»2 Установив поведение общего члена при» со, исследовать схадимость следующих рядов: 19. ~ ~1 — 1вп п».29. ~ ) ~~~, Ых ФСО с 1с» »»о О сг'»' » 1 з т'юс +СО 23. ~ — ) 1(х))зглох~ ых, где фуиацня 2 абсолютно ннтегрируема на ]О, +со( и »1 а ) У(х) Их ф О. о Ф ОО 24. ~ 1 е * Ых — 1 29 ~ )" 21всзяс — '— "" «»1 О »»1 26.
Матричный ряд ~ А», где А» матрицы размера й х П называется сходящимся, если »»1 » »1ол ~А» — — А, » СО где А — матрица размера й х й Показать, что сходимость матричного ряда зквивалентна схадимости всех рядов вида 1~~р~~л 1~~»зсй »1 где о»»2 — злементы матрицы А», » Е И. 27, Доказать, что матричный ряд (1) где А — квадратная матрица, 1 — единичнал матрица, х — число, сходится.
Матричный рсщ (1) определяет матричную экспоненту е*'1, т.е. Я»" » е »»О 28. Пусть квадратная матрица А приводится к диагональному в"ду, т,е. существует матрица Т такал, что Т 1АТ= 12. Пркзкакк скодкмостп зкзкоперемеккык ркдов Тогда с ' е!' е =Т л е" Доказать зто.
29. Пусть квадратная матрица размера и х и имеет внд Л 1 0 Л 1 0 О ... 0 1 л Тогда ! э! 2! ' ' ' («-Ц! ,! !! ' ' («-21! с г ! э! с Доказать зто. С« ЗО. Доказать, что ряд ~ А" сходится, еслн ««в ( рэ)з < 1 э, э«! где аээ б И вЂ” элементы матрицы А. ~ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 2.1. Абсолютная к условная скодкмостк ряда. Определеппе 1. Ряд ~ а называется абсолюэяно сходящимся, воли сходится ряд ««! ~ )а„), где а„з м или С. «=! Опредепеппе 2. Если ряд д ' а„сходится, а ряд ~ !а„! расходи!вся, гло ряд ~ ', а„ «=! «! и ! наэываспэся условно сходящимся. Теорема 1. Иэ абсолютной сходиности ряда следусэя его сходимость. Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно к сумме Я, то члены ряда можно переставлять в любом порядке и сумма псрсстаеленного ряда также будет равна Я.
Теорема 8 (Рнмана). Если ряд сходится условно, то путем соотвсэлствующей перестановки его членов можно получипэь ряд с наперед эадакным значением суммы !при этом не исключается жоо). Гз. 1. Ряды 26 2.2. Признак Лейбница. Если о» = ( — 1)»Ь», Ь~ > О, и посведоватепьнасть (Ь»), начиная с некоторага номера вз, монотонно стремится к нулю, та ряд 2 а» сходится. » 1 Дпя остатка такога ряда справедзива оценка; Я» ж (-1) В Ь»11, О < В«< 1, П > «О 2.3.
Признак Абеля. Ряд ««1 сходится, если сходится ряд ~ о» и паспедоватепьнасть (Ь») есть монотонная и ограничен- ««1 нэя. 2А. Признак Дврвхле. Ряд (1) сходится, еспк посзедоватезьность (Ь»), начиная с некоторого номера пз, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда 2,' о» ограничена, «=1 2.0. Ассоциативное свойство ряда. Члены сходящегося р!ща можно группировать произвольно; при этом сумма ряда не изменяется. 65. Доказать, что ряд ~ ~о» является сходящимся, если выпазнены условия: а) общий ! «! «з чяен этого ряда о» 0 при «оо; б) ряд ~ А», полученный в результате группировки »»1 членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число слагаемых о„входящих р +1-1 В ЧЛЕН Ар з» ~ а„1 =у! < рэ < ..., ОГраНИЧЕНО. зз М ПУсть (Я„"а) — посзедаватезьность частичных сУмм РЯда 2, А».
Тогда » 1 5 з = о! +о! + ... + зрз-! + орз +орз.!1 + ... + Йрз-1 + ... + +ар„+ар„«1+ ... +оз+ззег+ +ор„+,-! = =Я»+оае!+ ... +ор„е, 1, р»мЬ<р.!! — 1, где (Яз) — посзедоватезьность частичных сумм ряда ~„ з . ««1 Паскозьку о» - 0 и число членовпосзедоватезьнасти (озе!+аз+э+. +ор +,-!) = (Сз), па условию, ограничена, та Сз 0 при Ь оо. Следовательно, Нзп Я«з = Изв Я«, что и « -Ю » требовазась доказать. и 66. Доказать, чта ряд О1+ОЭ+ ... +Ор,-1 — Ор, —" — Орз-!+Орз+ сходится ияи расходится одновременна с рядом з« эГР ез-1 ~(-1)«! ~ ез, зз>0; 1=Р1 <уз< в 1 з ! Ь 2.
Признаки сходимости зиаконеремеииых рядов 27 и Пусть сходится первый ряд. Тогда сходится любая подноследовательность его частичных сумм, в том числе и такая: (-1) ~! а, т.е, последовательность частичных сумм второго ряда, Следовательно, второй ряд также сходится. р.« -1 Пусть теперь сходится второй рлд. Тогда Я а; О лри» со. Это означает, что, в силу положительности а„сумма а»21+ ... + ар„+, 1 (см.
предыдущий пример) также стремится к нулю и йш 5» ш йш 5», »- ! ф1) + фэ) + + 5! 41) П 1 ! 1 (-1)" г / ( — 1)"«') о» =1 — -+---+" + — =- !в 2 4 8 2" 3 (, 2"« / Р 1 1 ( ) ', 4 Р 1 ( 1)»4! ой =г --+---+ ... + — у! =-~--- 8 "' г" у( з), г г"+' )' получаем 2 4 ! 1 1 (-1) 5 =-+- --+ — — + з з(, г 4 ' г.-»,) ' ):И:.".. ' ! -!!)-4"" 3 2"+' 3 2"+' 2" ряд сходится) и равен э. В 2 Следовательно, йш 5» существует (т.е. »» 1 1 1 1 1 69.
1 — -+- — — + — — — +.... 2 3 4 8 6 т.е. сходится первый ряд. и 67. Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на 1» мест, где т — некоторое заранее заданное число, и Пусть 5 — сумма ряда г,' а . Тогда эе > 0 з17 такое, что р» > 11) для последова- » 1 тельности частичных сумм (5„) этого ряда выполняются неравенства 5 — е < 5„< 5+ а.
В силу условия примера, нри н > Х+ ш можем написать 5 — с < 5„' < 5+ е, где (5„') — последовательность частичных сумм ряда, полученного в результате указанной перестановки. Следовательно, Бш 5,',ш 5, и Доказать сходимость следующих рядов н найти их суммы: 68,1 — — + — — — +.... 2 4 8 М Общий членряда о„ж(-1)"Ь, и Е Б», !)овбе Ь = "~'.
Так как Ь, начиная снекоторого номера, монотонно стремится к нулю, то, согласна признаку Лейбница, ряд сходится. Доказать сходимость этого ряда можно и непосредственно. Замечая, что носледовательность (5„) частичных сумм этого ряда представляется в виде Гл. 1. Ряды 28 1 !1 1 и ПосколькУ общий член РЯда имеет вид вв ж „вЂ”, в б Я, а послеловательносгь (-„) монотонно стремится к нулю, то, по признаку Лейбница, рлд сходится.
Найдем 51 . Имеем 1 1 1 1 1 1 1 1' 1 11 5,« =1--+-- ... + — — — =1+-+-+ ... + — — ~1+-+...+-~~ = 2 3 2п — 1 2п 2 3 2« 1 2 пУ =С+)в2п+зз -(С+!лп+ев) =!п2+ззв — ев, где С вЂ” постоянная Эйлера, а ев 0 прн в -» со. Учитывал еще, что Бт 5« ж йт 51« где (5«) — последовательность частичных сумм в данного рида, окончательно получаем 1 1 1 1 — -+---+...=! г,п 2 3 4 «+1 70. Знал, что ) = !в 2, доказать слелующее утверждение: если члены ряда в«1 1 1 1 1 1 — — + — — — + — — ...
переставить так,чтобы группу р последовательных положительных члегтов спзенйла труппа 4 последовательных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет равна 1в 2 + -)в —, 1 р 2 т' щ В результате указанной перестановки получим ряд 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ — + — +...+ — — - — - †...— — + — + — +...+ — —..., 3 3 2р — 1 2 4 24 2р+1 2р+3 4р — 1 сумма которого, в силу примера 66, равна сумме ряда 1+3+3+" +2 1 — 2+4+ "+2 + ( + — + — + ..+ — †... (1) 12р+! гр+ 3 " ' 4р -11 в случае сходпмости последнего.
Рассмотрим ряд Е 1 1 1 + +...+— 2(в — 1)р + 1 2(в — 1)р+ 3 ' ' ' 2«р — 1 в 1 1 1 — (г) 2(в — 1)4 + 2 2(в — 1)д + 4 2пу » ' Рлд (2) получается из рада (1) в результате группировки членов ряда (1) по два. Поэтому если мы покажем, что ряд (2) сходихся, н найдем его сумму, та, на основании результата, полученного в примере 63, можем утверждать, что ряд (1) имеет ту же сумму. Пусть р > 4.
Тогда нетрудно получить, что 1 1 1 1 1 1 1 5.ж1 — -+ +...+ + + — +...+ —, (3) 2 3 4 2пт 2п4+1 2пт+3 2«р — 1' где (5«) — последовательность частичных сумм ряда (2). Прибавляя и вычитая в выражении (3) слагаемое 1 1/ 1 1 1\ — + — +...+ — = — — + — +...+— 2вт+2 2ву+4 2ву 2 ~от+1 от+2 '' ~Р! и пользуясь асимптотической формулой 1 1 1 »в + + ...
+ — -1в — +е»вв ев»в-«0, т-»со, пг+1 гп+2 '" и в 3 2. Признаки сходвмоств зваиопеременвмк рядов 29 из (3) получаем ж Сз««+(В !21 + Е, Е«! О, П аа, 2 ар 1 пр 2п9 2 пе (4) где (сз«р) — четнал подноследовательность частичных сумм сходящегося ряда /,'(-~— Таким образом, из (4) находим В = Вщ 5. =1 г+ — ( —. 1 р «!« 2 9 Заметим, чта при р ( 9 аналогичным образом получается зтот же результат, В частности, еслир=2 и 9=1,та 1 1 1 1 1 3 1+ — — — + — + — — — +... =-1в2; 3 2 5 7 4 2 если р=1,9=2, то 1 1 1 1 1 1 1 — — — — + — — — — -+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
