Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 6
Текст из файла (страница 6)
= — 1л2. Ь 2 4 3 6 8 2 ц«+1 ! 1. Члены сходящегося ряда ~ переставить так, чтобы ои стал расходящимся. 1 < Рассмотрим, например, ряд с /1 1+ — + — — — ) +1 — + — + — — — ~+ /3 !/5 !/2) 1, т/7 т/9 !/П1 з/4) 1 1 + .+ + + — — +..
з/бп — 5 т/бо — 3 !/бп — 1 !/2п/ + + 1 1 1 (,21: ! %: 5,«Г-Х П7 ! ~'щ-" =(-Ч ~---- — "'.~ -' а 1 ( 3 Очевидно, «тат ряд получается из данного ряда в результате такой перестановки; за тремя положительными членами следует адин отрицательный. Покажем, что ряд расходится. В силу неравенства -з.
з + -«„т, — -г > д у — -я«> О, имеем оценку общего члена ! 1 1 2 1 1 « второго ряха: а« > д ~. Поскольку ряд 2 ~1 па теореме 4, п.1.5, расходится, та по 1 1 теореме 1, п.1,5, ряд ~ а„также расходится, чта и требовалось. Заметим, чта исходный =1 ряд сходится по признаку Лейбница. и Исследовать сходимость знакоперемениых радов: 1 1 1 1 1 1 1 1 72. 1+ — +- — — — — +-+ + 2 3 4 5 6 7 8 9 и Поскольку сгруппированный ряд, согласно признаку Лейбница, сходится, то, на основании доказательства, приведенного в примере 65, приходим к выводу, что данный ряд также сходится. П 1 що„ 'ТЗ. ~ ~— з(л —. и 4 «=1 ° Поскольку Гл.
1. Ряды а последовательность (в ' 1в~ю в), начинал с достаточна большого в, монотонно стремится к нулю (это вытекает из того, что Ыш х"'1пгвох=100 Бш х )п х=О, (х 11в х) <Отх>е' ), ф « Ф то, согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится. П Ю 2 74. ~ (-1)»'ш ".
в » 1 м Ряды 2 '-"-'- и 2 ~~-„-' — "- схоДятся: первый — по признаку Лейбница, второй (в / силу ограниченности последовательности ( 2,'(-1)" сов26 1 1 ( — 1) сов26 = --+ — '-сов(2в+ 1) < 1 ( 1)» 1 + (сов 1) 2 2 сов 1 2 1«1 и монотонного стремления — к нулю при в оа) — по признаку Дирихле.
Следовательно, 1 » их полуразность — — (1 — сов 2«) = ~~ (-1)»вЂ” 1 (-1)» »нп в 2 в в »1 »»1 является также сходящимся рядам. и 75, 'ь ь1»+ ( 1)» м Представляя общий член ряда в виде (-1)» „'/в — (-1)" „чГв 1 = (-1)» = (-1)» — —— ь1в + (-1)» в — 1 в — 1 в — 1 и замечал, что рлд ~ (:„-).1~"-, по признаку Лейбница, сходится, а ряд ~ †' расходится «2 (к +оо), заключаем, что данный рлд также расходится (к +со). Ь « 76, ~~ в1в(т~/и~+ 62). »»1 ч Поскольку вп1 (т~Д2 + 62) ( 1)»21вт (~Д2 + 62 — в) = ( 1) „12 где 6» = вш — последовательность, монотонно (при в > вв) стремящаяся к нулю при в ао, то, по признаку Лейбница, ряд сходится.
Ь 77. ~ (-')' в «=1 и Рассмотрим ряд, полученный в результате грунпиравки членов данного ряда. имеем -(1+,-'+-,')+(-,'+...+-,')-(,"+ —,',+" +Д)+". +( 1) )йз+ 2 + "+ )+ а/1 1 й' + 1 ' " (й + 1)2 - 1 Ь 2. Признаки сходвмоств зваконеремеввых рядов 31 Поскольку 1 1 1 21+1 Аа ж — + — + ... + < — ~0,0 оо, (Ь+ Цэ 1 Ьэ 1 1 1 (Ьэ+ )((Ь+1) + ) Ь +4Ь+2 Ь +41+3 (2Ь+ 1) > (Ьэ+гй)(йэ+4Ь+1) 1 1 1!+41+2 Ьэ+4Ь+3 >О при Ь 2 Ьа, то ряд 2,' ( — 1) А», согласно признаку Лейбница, сходится. А тогда на основании выводов, паяучеННЫх в примере бб, данный ряд также сходится.
и 'тв. ~" —",,"" . э=з и Имеем — <1 1+ — ) < —, р>О, и теорем 1, 4, п.1.5, данный ряд сходится абсолютно ври р > 1. Следовательно, при значениях р, удовлетворяющих неравенству - < р < 1, исследуемый ряд сходится условно. И ! э!. г ' сэ. (и+ (-1)э)э ' 2 / э хп „ / ~ э+! саэ — ж (-1) соэ т — — тп = (-1) оаэ —. и+1 и+1 ! а+1 Так как ряд 2 ..
. по признаку Лейбница, сходится, а последовательностьв (соэ †,) э=э монотонна и ограничена, та исследуемый ряд, па признаку Абеля, также сходится. о '!'9. Доказать, что знакочередующийся ряд Ь! — Ьэ + Ьэ — Ь! + ... + (-1)" ! Ь„ + ..., Ь„ > О, Ь„р сходится, если — = 1 + — + о !!-! при о -~ со, где р > О. Ь„„о '1 ! в как следует иэ примера 35, при р > О последовательность (ь„) ) О при о > оэ поэтому, по признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Р Исследовать на абсолютную сходпмость следующие ряды: эо. т ь( р!.",! ). э=э и Пусть р < О. Тогда общий член ряда к нулю не стремится и, следовательно, ряд расходится. Полагал, далее, р > 0 и пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, находим 1)«Э ( Цэ 1а 1+ — = — — — +о ~ — ! при и оо. Оп СО ~Ю Поскольку рлд 2,' (-„-э)-, согласно признаку Лейбница, сходится при р > О, а ряд ~ а„', где э=! »=! ао ж э„,„ + а ( †„„), по теореме 4, пд.б, сходится при р > †, (при р < - ряд расходится к ! ! +ос), то данный ряд сходится толька при р > —.
! В силу неравенства Гл. 1. Ряды зг М При р ( О общий член ряда не стремитса к нулю, т.е. ряд расходится. Поэтому, считая, что р > О, и применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, преобразовываем общий член ряда к виду (-1)" .,~ (-1) '1 " . =(-)-.— ~1+ — ) ~= (и + (-1)«)э 1, и ) 00 Х при о оо. Ряды ~ (-„«)-, ~ (-А1. + о ( —,~т)) сходятся при р > О (первый — в силу «2 ««2 признака Лейбница, а второй — по теореме 4, п.1.5). Поэтому исходный ряд сходится при этом же условии. Поскольку, далее, 1 1 1 ( < и = 2, оо, (п+1)«(к+(-1)«)«(п — 1) ' и ряд ~ —, сходится при р > 1, то, в силу цоследнего неравенства и теоремы 1, пд.5, данный 1 ряд сходится абсолютно при р > 1.
Следовательно, при О < р ( 1 исследуемый ряд сходится условно. й «« 82. Е " =' пэ+ зщ —" ««1 ! Ч Очевидно, при р < О ряд расходится, поскольку при этом не выполняется необходимое условие сходимости. При р > О, как и в предыдущем примере, представим общий член ряда в виде 1 зщ — !!и +мл — ) = и зщ — 1+— 4 1 4) 4 ~ пэ 2 «« ял / 21л — /1 ! ! з1л 3!и / '(п«Ц= .: .2. !ив Ряд ) ††,2- сходится, цо признаку Дирихле, при р > О, поскольку «1 Е Й» 1 1 зш ( . «, ! О, «оо.
4 нп-' оэ 1«1 э ь Далее, ряд ~ — „-тл- при р > О сходится также по признаку Дирихле, а рлд ««1 ( — +о ~ — )) сходится по теореме 4, п.1.5, тольхо при р > -. Поэтому полуразность этих рядов 1 ОО «1 1 Ю является сходящимся при р > — рядом (прк О < р ( 1 рлд ~ у»- расходится к +оо, поэтому 1 1 и последний ряд расходится к +со). следовательно, исходный рял сходнтхя лищь прн р > -. 33 3 2. Признаки сю«димости шгакоперемениых рядов области абсолютной сходимости воспользуемся оценками 2 Сжв С 1 соз 21п ]Яв ( 4 2 4 ( 4 ( ь» пР ' 2ИР 2пР пР пР пР Для установления ).
% !.['% г ° и теоремами 1, 4, п.1.5. Из этих неравенств следует, что данный ряд сходится абсолютно ВИШЬ ПРИ Р > 1. ПО«ТОМУ при — ( Р ( 1 ряд сходится условно. В 1 83. ~~ ~=1 и Очевидно, при р > 1 ряд сходится абсолютно. Для выяснения области сходимости рассмотрим рлд ])Р [ =1 (2) где А„ж — + — -[.... + — г —, полученный в результате группировки членов данного 1 1 1 [ «]» [ «41]» ''' (» +«»)»' ряда. Поскольку О < А <, О при а со и р > —, а также «Р41 1 А„— А«41««~ .. — (а +4а+2) "— (а +4а+3) Р> ч ((а+1) +1)Р— (а«+4)Р 2.~ (а« + [)Р(а«+ 2а -[.141)Р > (2а + 1)((п« .[- 4п + 1)Р— (п« + 2а)Р) 1 1 >О (п« + 2п)Р(аз+ 4а+ 1)Р (и«+4п+ 2)Р (п« + 4а+ 3)Р при достаточно большом п, то, в силу признака Лейбница, рлд (2) сходится.
Кроме того, А > 2 11 1 1 <, „„не стремится к О при р ~ (—; поэтому ряд (2) расходится, если р ( —. следовательно, 1 согласно примеру бб, ряд (1) сходится лишь при р > —. Таким образом, область условной сходимости рида (1) определяется неравенствами - ( р ( 1. В 1 84. ~~ п 1 и Ряд « С- 1.— ( [("-')+ ' "("))' 4=1 полученный в результате группировки членов данного ряда, в силу оценки (т-т — + ... + ]41 1 -т- > ':Ьт- = 1 — [3-2 1 — —, 5 оо, расходится. Следовательно, согласно примеру [ ] [ [ [4] 4' бб, исследуемый ряд также расходится. М 4« l «Р 1 3 5 ... (2п — 1) 2-4 б ... (2а) и Рассмотрим отношение с 1.
3 5 ... (2п — 1) ] (1 ° 3 5 ... (2е — 1)(2п+ 1) 1 2 4 5...(2п) ! '( 2 4 б...(2а)(За+2) / = (1+ — ',)' =1+ — ", + Я = 1+ — "+ („-'), Отсюда видим, что, согласно примеру 79, рвд сходитсв, если р > О. Твк хак при р (ч О общий член ряда не стремится к нулю прм а -~ со, то зто условие (р > О) является необходимым для сходимостм,фгна, Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
