Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 13
Текст из файла (страница 13)
б) ! = -2 — точка бесконечного разрыва функции р, а ! = 0 — центр разлоясення ее в степенной ряд (по условию функция ьо разлагается по степеням ! = х — 5). Следовательно, Я = 2, интервал сходимости ряда ] — 2, 2[ нли 3 < х < !. > г -! 159. можно ли утверждать, что 1ги(х) =э (-1)» ! =г зшх на ] — оо, +со[ (2к — 1)! 15. Степенные ряды б5 то, согласно примеру 103, последовательность (рн(х)) сходится неравномерно на )-со, +оо[. М Пользуясь разложениями п.5.4, нависать разложения в степенной рлд относительно х следующих функций: 160.
х! Ош'х М Преобразовав вшз х к виду мвз х = -'(2 ив х -зш Зх) и воспользовавшись разложением функции синус, найдем 4 ~-~ (2в — 1)! 4 С-' (2н — 1)! 4 (2я — 1)! и! и 1 ии! По формуле (2), п.1.5, легко найти, что этот ряд сходится абсолютно прн всех. х, М 161. х 1 (1 — х)э и Поскольку [ ! ) = — '-т, то, дифференцируя почленно разложение для (1 — х)"', !-и (э-и) получаем —;-ч = 2 вхи э, [х[ < 1. М п ! 162.
* (1 — х)(1 — хэ) ' ! ! ! М Раэпатаа ДаииУЮ ДРОбЬ На ПРОСГЕНШИŠ—,— —;-Р- — — — —, — —, + зы--.1т И ИС- пользуя разложение 1Ч, п.5.4, а также резулыат предыдущего примера, можем написать ОП пп пэ и! (1 — х)(1 — хэ) 4 4 2 4 ш - - ~ (-1)"*" - - ~ хп + - ) ( + 1)*" = - ~ (г + 1 + (- 1)п" )х".
п«0 п«О п«О !«О По формуле Коши — Адамара находим интервал абсолютной стадимосгк полученного степенного ряда: [х[ < 1. м 163. х 1 14х+ а' М Представляя данную дробь в виде 1 1 1 1(х)— 1 + х + хэ 1 — (! + 1)х + хэ (х — 1)(х — 1) где ! = е'", р = и, и используя разложение 1Ч, п.5.4, а также формулу Эйлера е'" = соз а 4 ! Ош а, получаем пп си ш !и ~(х) = = с~ (х!)п — Щхх)" ж =~х"(м"+' — ! + ) = — ~~ химв(в+1)ОО. «из п«О п«О по По формуле Кошм — Адамара находим радиус и интервал сяодимостн этого ряда: — '= Ш ОГЬ«пЦ1=! я-!, ! ! ! ° )С и ю 164. * 1 — 2хсоза+ ха' м Полагая зш а = — *,, сова = — *,, где х = ОО, и разлагая данную дробь на простекшие, получаем хзша 1 ( 1 1 1 — 2х сов а+ хэ Б ~1 — хх 1 — ~У) Применяя к правой части этого соотношения разложение 1Ч, п.5.4, можем написать пп Пп 1 — 2хсоза+ха 2! — Хи(хи — уи) = ~! Х«ЗШ ва.
и О О Гл. 1. Ряды бб Очевидно, полученным ряд сходится абсолэнно при ) х) < 1. > 165. х йс(1+ х+ х'+ х'), и Преобразовывал дакную функцию к вику 1 (1+ + э+хз) 1 (1+ )+1 (1+ з) > н искользул разложение У, п.бА, получаем 1(1+*+*'+*')=~(-1)" — *+~ (-Цл-' — *, -1<*<1. я е л 1 л 1 Складывал полученные ряды в абщеи области их сходимости, окончательно имеем 1п(1 + х + х + х ) = ~~! — ((-1)" ' + 2зш(я — 1)-11 х", - 1 < х < 1. к ~ 2/ л«1 Нетрудно видеть, что прк (х! < 1 этот ряд сходнтсх абсолютно, а в точке х = 1 сходится лишь условно (по признаку Дирнхле). > 166. Х Л«О«еж СОЗ(ХМПО). М Рассматривая данную функцию кис ке(е'"' О" н'") = ке(е*' ) и применяя разложение 1, п.бА, можем написать е "' соэ(хило) = Ке~ ««О Поскольку 2,' 1 ††""з < 2 )«(,- к второй степенной ряд в этом неравенстве сходится прп л«О л О всех х б)оо, +оо(, то полученное разложение справедливо прм )х) < оо, м Разлолсить в степенной ряд следующие функции: 167.
! . "х л«атсзш х, М С помощью формулы 1Ч, п.б.4, имеем ~с( ) (1 з) ~ ! ( 1)( 3) '''( 3 ) зл 1+~(» )" зл ««О «1 Интегрируя этот ряд почленно (что возможно внутри интервала сходимости), находим (2в — 1)П хзл+' у(х) = С+э+ ~ — „, «1 Так как у(0) = О, то С = О. Следовательно, ОО (2в — 1)П атсмлх=х+~ ' х, (х!<1. 2" в!(2в + 1) л«1 Для исследования сходкмостн ряда в концевых точках применяем признак Раабе.
Имеем 1' 4в + 10в+б ), без+ Ьв 3 л с«\~ 4вз+4п+1 / л с«4кз+4в+1 2 поэтому црн х = ж1 рлд сходится абсолютно. Тавим образом, полученное рааложение, в силу теоремм Абеля, справедливо при ~х~ < 1, т.е. во всей области существования атома х. !л 168. у:х ь(.+ф+.О) 15. Степенные Ряды 47 1 м Раэлагая производную данной функцпн у'(х) = (1+х ) 2 прн (х! < 1 в степенной ряд !2п — 1)!! =1 пнтегрнрованнем последнего получаем „(2п — 1)!!22"41 у(х) = х+ ~(-1)" и + С, !х! ( 1. «1 Посколысу у(О) ю О, то С = О Как н в предыдущем примере, находим, что полученное разложение сходятся абсолютно прк !х! < 1, к в концевых точках сумма ряда равна, по теореме Абеля, значению функции ! в этих точках.
Текли образом, написанное разложение справедливо прн !х! ( 1. М 2 — 2х 169. 11х! ысоб— 1+4х М Представляя функцню у в виде 2 — 2х у ! х ! ысоб — = ысгб 2 — агсгб 2х — то(х), 1+ 42 где О, если х> — -, ! е(х) = 1 еслн х<--, н разлагая в ряд функцию х «ысоб2х с помощью почленного интегрирования ряда для ее производной, находим 2 — 2х 2«41 2«.1-1 ысоб — = ыс!22 — 1 ( — 1)" х " — эе(х). 1+4х 4-~ 2в+1 «=о Поскольку полученный ряд сходятся прк /х! ~ (- (абсолютная сходнмость его прн )х! < 1 1 2 устанавлнвается с помощью признака д'Аламбера, а в концевых точках — с помощью признака Лейбница), то в данном случае О, если -- < х ( —, о(х) = 1, еслн --.
< х < --. Ь 170 У: х ~- ысгб —, !х! < Я 2х м Представляя производную функции у в виде 1 22 у'(х) = — + —, 1+1! 1+11' где О = -1., и пользуясь формулой Р11, п.5.4, находим ~'(*) = ~:(-1)"2'"+ ~:(-1)"2'"". -о о Очевидно, прн !1! < 1 оба ряда справа абсолютно сходатся, поэтому прн )2! < 1 нх можно сложнть. Имеем «« 1«1 2! ,.(.) ц;-( 1)Н~~г" =~ (-цю1 *— ,„, !.! У2, 88 Г . 1. Ряды откуда интегрированием получаем Сэ! хз"+1 У(х) = ~ ( — 1)1э1, (~) < эГ2.
э=е Поскольку интервал абсолютной сходимости ряда после интегрирования не меняется, то полученный рлд сходится абсолк!тно при (х) < э/2. В точках (х) = йэ/2 ряд сходит! сл, но только условно. Действительно, последовательность ( †,) ( О при в оо , а п СС1 (-1)Сэ! < 2; поэтому, согласно признаку Дирихле, ряд сходится. Абсолютная рас- а=о ходнмость ряда в этих точках следует из расходимостн гармонического ряда. Но так как функциа ) в то псах х = шэс2 не определена, то полученное разложение справедливо только при )х) < э/2. Этот пример показывает, что сумма ряда мажет существовать на множестве большем, чем то, на котором задана функция. М 171.
у ! х ь~ агссаа(1 — 2х ). ° Дифференцируя функцию у, получаем у'(х) =, О < /х! < 1. Л:хз' Пользуясь разложением 11!, п.5.4, находим !зе!= (!!С. „" ~ !-, " (г -1)!1 э„) (2п)!1 =1 Интегрируя почленио полученный ряд, имеем (2в — 1)В ~х)тоэ' 7(х) = 2 )х)+ ~~! «=! Этот ряд, согласно пркзнаку Раабе,сходится абсолютко при ~х! < 1, т.е, ва всей области существования функции 1. > 172. Функцию у ! х ~ 1пх разложить в стеленной рлд по целым положительным х — 1 степеням дробк — . х+1 М Положив — ',' = С, получим у" (Я) м Г(С) ш 1в ',~,.
Поскольку х > О, то ~ ~=,' ~ = Щ < 1 (заметим, что справедливо и обратное утверждение). Следовательно, использовав формулу Ч, п.б.4, можем написать 1+1 Сээ-! ' ! 1,г -! 1 — =1 (1+ С) -1 (1-С) ю2~ — =2~ 1! — *) . > 1 — С ~~ 2п — 1 !х 4 1,) 2и — 1' э=! э=! э 173. Пусть с(х) = ~ — *, . Доказать непосредственно, что 7(х) у(у) = 7(х+ у). э Э 00 ! М ПеРемножаЯ РЯды 2 — „, и 2 дь;, полУчаем э е ь=о Л*иу) = ~ Ц: —,„*,",, в=э а!=э э Но так как (х+ у)" = ~ Сах" ауа, то ь=о э б. Степенные ряды что н требовалось доказать.
Н 174. Пусп,,по определенмю, 2»й! ц» 2» ( — 1) ( о в 0 1 Доказать что ма хсозх = -зш2х. 2 < Записывая данные разложеннл в виде и! . ° в» и — ! э!и— зш х = ~ — х, сов х = 2 п а! и О н пользуясь правнвом умноження рядов Каши, имеем и савв 2 и п»О п, й» (пй]» "юЕ" .'" . й!(и — й)! й»о ИВХСОЭХ = ~~! С»Х (г) и О !ак вах пц — соэ = -мп — +(-1) -эш — н —, = 1,' —... г —,, = б, что й! !п-й! 1 ° п! Ой!1 ° п» 2» ! т ! — 1) 2 2 2 2 2 2 и.
й!!п-й)! Е» йй'1 -й]! й»о ' ' й»о вытекает нз элементарной формулы г" в!х» йуй (х+у) ю2 й](а й)] й о прн х = у = 1 н х = -у = 1 соответственно, то й! (у-й)» сп = .юЕ мл 2 саэ 2 2 . вг — Э1В а!(а — х)! и! 2 й»о А тогда, согласно (1) н (2), зшхсоэх = -~ 2 х» = — мв2х, 2 в. '2 » О что н требовалась доказать. м 175, Написать несколыю членов разложення в степенной ряд Функции '-ЖМ М Следует подобрать хоэффнцненты а» так, чтобы выполнялось тождества па х! » Ю а х»~ ~— ш1, и+1 » О» О а»х = )(х). »о Это дает бесконечную снстему уравненлй относнтельно а»; а»=1, а] —.=- —, пбу(, а — 1+1 н+1' 1»1 1 1 1 нзаоторой последовательно нэходнм а! = --,аэ = ††,аэ = — 2 Э' . Ш' 2»' Пронэводя соответствующие действня со степеннымм рвдамн, получнть разлад!ення в степенные рвлы следующих фунлцнйо 17ю У!Хв (1 — х)эс]йэ/х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
