Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ряди Фурье й Предполагаа что пиал фуикция разложмма в рад Фурье, с учетом ее аптипериодичности, получаем » з» вЂ” =--' ) у(*)б*=-" т/ -» » з откуда следует, что аз = О. Далее, находим з» ~( )созпхйх — — — У(х+т)созих"*= 1 )' ы)"+' Г »+1 (здесь мы использовали равенство у(х+ 2з) = у(х)). Следовательно, аз = О.
Аналогично устанавливаем, что 6з ж О, и Е 66, и 214. Зная коэффициенты Фурье а, 6 интегрируемом функции 1, имеющей периол 2т,вычислить коэффициенты Фурье а»,1», и й Хз, "смещенной" функции х » 1(х + Ь), Ь = солят. ° Учитывая 2я-периодичпосп. и пптегрируемость фуикции х» у(х+ Ь), имеем а» = — / у(х + Л) соз их»х = — / щ(сов изсоа иЛ+ ма иззш иЬ) аз = а» созиЬ + 6» мл иЬ, 1 1 -»эа » ел г 6» = — / у(х+ Ь) зш их Лх ж — / з (М)(пл пассе иЬ вЂ” соз из ил иЬ) й = 6 соз иЬ вЂ” а мл иЬ, и Е 66, аа = аз.
и 215. Знал коэффициенты Фурье а», 6», и Е Жэ, интегрируемой функции ~ с периодом 2я, вычислить коэффициенты Фурье А», В», и е Жз, функции Стеклова у,(,)= „Г И)ыу. 1 Г ч Ряд Фурье — +~ а»созвх+6»юлих у(х) аэ 2 1 2з-периодической иитегрируемой функции у, согласно л б 3, можно лочлеппо интегрировать.
Поэтому, интегрируя его лочлеиио по б в пределах от х — Ь до х+ Ь, получаем — + ~ ~ — зш ийсозих+ — ав иЬил их) = га(х). 2 2 ~иЬ пЛ ,ъ.1 Отсюда паходим Ао = ао, А»»» твамлвЬ, В = -э.мииЬ. > »а »а Разломить в ряд Фурье по полипомам Чебышева: 216. ~: х ~-~ х', х Е] — 1, 1[.
м Исходим из общего представаешш фупкцик рядом Фурье: хз = 1 а»Т»(х) » о Гл. 1. Рядьз Для вычлслення интеграла воспользуемся явным выражением полпномоз Чебышева н произведем подстановху ьгссов х = б Тогда получим ( О, если т~1,тРЗ, а„, = — „[ сов !сов(тэ)йж ~ -, есян т =1, т 1, если га = 3. в Таянм образом, х ж -Тг(х)+Тв(х) эх б] -1, Ц.
а 217. Г:*~ [х), х б] — 1, Ц. м Кая и в предыдущем примере, представляем данную фунзцию з виде Г: х ! аа + ~,' а„Т„(х). Последовательно умножал обе части этого равенства па н интегрируя по ! ч!з-з! =! х б] — 1, Ц, з татке умножая на -!и[ ) н интегрируя по х б] — 1, Ц, получаем (пользуясь прн ~/ ! этом свойством ортогональностн полиномов): ! ! 1 ( ]х[Ых 2 ( хая 2 = 1,/Г=* ж 1,Г[=* ж ' а, = — 1 4х= — у [савв[сов(тМ)!Вв= 2'" Г [х[ сов(а! згссов х) 2ж !ГΠ— ххт -! в 2"' Г 2 = — / сов!сов(тс) ав — — / соввсов(т1) й ж з з О, гп = 1, ж» Итак, прн ]я[ < 1 имеем 2 2 4в1-1)вт! [х[=-+ — ,"! 444 —,Т (х) а з ! Разложить в ряд Фурье по полнномам Лежандра фунпцнн: 218. ] О, если -1<я<О, 1, есзн О<я<1. м Имеем Г(х) = 2 азрь(х).
Поэтому ! ! 2й+ 1 22+1 Г аз =,— у Г(х) Р,(х) !Гх = — ~ Рь(х) !Гх = ! в где а„— лоэффмцненты Фурье, подлежащне определенню. Для нл вычнслення воспользуемся свойствами ортогональностн полнномов Чебышева в интервале ] — 1, Ц с весом у: ! Ггг:зв ' Умножив обе части равенства (1) на весовую функцию н пронитегрнровав по х Е] — 1, Ц, в силу указанного свойства н нечетностн фуняцнн х ! х, получим аэ = О. Далее, умножив з обе части равенства (1) на ЯЫ ах, т б Я, н проннтегрнровав по х Е] — 1, Ц, найдем ! хэТ„(х) та, Д -хт 2з~ ' ! $6.
Ршнл Фурье 93 1 11 г а' 299+1 ( 1 йа(' — ц' 29+131-1(хг — ц"' ( 2ай! аха 2аегх! ахь ' э 1 1 а, = - ) ((х)Р (х) йх = —, й б Р! -2! 2' 1 аь-1 1 111 11 Остается„вычислить — ~1~.ф-) . Очевидно, при любом й ) 1 в точке х = 1 это выэ раженне равно нулю. Для вычисления значения его в точке х = О воспользуемся формулой бинома Нъютона1 !1-1) ((хг ц")!"-') = ~ С,'(-ц'х'" " 1=а 14— 1+1 — С11(-Ц1(22 — 2!)(22 — 2! — Ц ." (-2!+ й+ 2)х (Ц 1=Э Сг"е~г( — Ц "2га(2га — Ц ... 3.2. Таким образом (41п+ 3)(-Ц (2га)! агм = О, агмт1 = 21"'ггяг!(т+ Ц! ю Е Ео Следовательно м=о 219.
(1*~)х) при )х) (1. ч Как и в предыдущем примере, запишем 1 ((х) м~~ аяРк(х), аэ = — ( )х)Р1(х) дх, 29+1 ( 2 ь=э При х = 21П + 1 имеем аг е1 = О, так как в этом случае подынтегральная функция нечетная. При х = 2п1 подынгегральная функция четка, поэтому 1 2гм(2ю)! ( йхгм э 2г"'(21н)! \ йхг 1 ~ 1(хг ~э а — — ((х — ц ), п1 б1! 22г1м (2т)1 проделанному в примере 218 машем записать ((хг — цг"')!г"' з)$, а (-1)'"+гбага 1(2нэ — 2)!. аэ =— агм = нз этого соотношения следует, что если й — число четное, то при х = О сумма (ц равна нулю; если й = 21п + 1 — число нечетное, то в точке х = О сумма (ц равна Гл. 1. Ридж 94 Итак, онончательно имеем 2 л-о 2™(га -1)!(во+ 1)! 1 разложить в ряд Фурье по полиномам Лагерра Ь (г) при * > О следующие фуизцнн: 220 1'г~ е '*. и Представим функцию 1 в виде 1: я « ~ а~ ( (з) и используем ортогональность «=о иолиномов Лагерра на г > О с весом е *.
При в > 1 получим а = ~ е * ь' (з)Нз= — ~ е дг= 1 П+»! 1 1 — й(г е ) в!/ ля» ,—..4" *(т« ') ",,—..4- '(я« *), о Продолжал интегрирование по частям, находим » а„ж — / я е о!я. а ~ -!1+»!» о Применяя к последнему интегралу также метод интегрирования по частям, после в — го мага получаем г а„ж / е 1~ 1*Ыяж, вез!. (1-1- а)" / (1+ а)"ео ' о Принимая во внимание еще, что ао = —, озончатеаъно имеем 1 о+ «о 1(*)= — ~ " „С,.(я).и 1+а (!+а)« 221. 1: з я", в > 1. и Имеем ао= ~г е™о(я=в!, о +0« +« о о (-1)" в! в(в — 1) ...
(в — 1+ 1) / я"е «Ия = —,( — 1) я(в — 1) ... (в — 9+1), 1 ( й ~ я. о Если же й > в,' то аа = О. Талии образом, 1(а) ~~~а~( 1) щ ' 9)!Уо(я)' и аео '' »хо 5 б. Ряды Фурье Разлоз«нть в рхд Фурье по полиномам Чебышева — эрмита следующие функиии1 222. /:х М Напишем искомое разложение в шще /(х) = ) ааНа(х), а о где +«« о )г) / -И )г) / аа = — ' / е з /(х)Н«(х)1(х = — '! е з Нь(х) 1)х+ — ' / е з На(х) Ых, 1/211 ./ 1/21г ! «/2тт,/ аа = О, Й Е ))).
Пользуясь явным выражением полиномов На(х) и произзода в первом интеграле замену х на -х,получаем / «(а-1) о «О Полагая здесь х = О, имеемрекуррентную формулу з(")(0) = -(з-1)а(" 1)(0), и б О()(1). поскольку з(0) = 1, з'(О) = О, то отсюда нетрудно получить а(э')(0) = ( — 1)'(21 — 1))), 1 б 1(, „(ы+П(() Таким образом, еслм й .= 21 + 1, то ам+1 — — (-1)'+'~/-(21 — 1))), 1 б )((, а1 = -)/.;) если же й = 21, то аз1 ж О.
Следовательно, окончательно можем написать (-1)1 ы (21)! /(х) = ~~ ', 'Ны„(х). » 1 З 2гЗ. у:*-)*). М Как н в предыдущем примере, имеем «(а) . 1 ( )» „«(а-э)) (.-т) ~, «««11И, о «е 11 21-з(1 1)1 /2 еа +«« )х)е 3 Ыхю — 1 хе з Их«« —. 1/2х,/ т/вхн' аю-1 1 ле =— т/2хн «(а 1) Дал вычисления выраженим е з ) рассмотрим фуккцню з; х 1 е « '.Взяв про- ««О изводную, замечаем, что эта функция удовлетворяет диФференциальному уравнению з'(х) + ха(х) = О. Прнменая к этому равенству формулу Лейбница, получаем 1 "")(*)+~" С.",""(з(*))("-'-") = .
а=о Гл. 1. Ряды 96 Поэтому разложение представыегся в виде ]х]-. 32-+~~ 'Пг»(х). в Г2 (-1)' г 21 — 2)! 3' т 2ьш(1 — 1)!т/2хх 224 У:х е "* «Вычислим хозффициенты разложения +»» 12~ аг= — е «» е 2 32, йбЕо. Лт,) Интегрируя по частим, получаем гв-гг е~ т=,г гв-г> ав= — е * е г +а е е 2»гх »»» » е» » «2 3хж — / е Таг=ег, г/2т т./ г»» о»:» г» «» 1 Г -« — 1 г' --Шг И+в ао»» — е г Ыхж — е 2 г тг'2х х/ гг'йт т„/ получаем ав = е г а, 1 Е Жо. Таким образом, окончательно имеем «» в «* = и г ~ ав Пв(х), > Упражнения для самостоятельной работм разложить в тритономстричесхий рлд Фурье следующие фунхции: 120.
у: х» 22 + Б, х б] — 1, 5[. 121. у: х» ип тгх, х Е] — 1, 1[. 122. у: х» вйи мп 22, х Е ) — г, - [. 123. у: х» сов х, х Е]0, 1[. 124. у: х» сов х, х Е [2, 3], 123. У': х»«атсвш(ип22), х Е К. 126. угх» е"""*(сов(22 — вшх)+2ссехсов(вшх)) — соек. 127. у: х» е»~~(вш(22 — вше) — 2совхвш(мвх))+вшх. в»» 123. у; х»«2 е»«"в«, а> О, х ЕК. 129. г: х» вшх)п[2сов-*).
«=-«» 130. у: х» совх1п [2сов*-). 131. у: х» ) е ' Й, х Е] — т, т[. о 132. ~гх» [ — "','Й,хб] — 1,1[. о ~ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 7.1. Непосредственное суммвдговаиие. Пусп требуется просумыировать сходящийся ряд ~е„, а«Е С. е «г нвн ав = ааг г. Полагая в этой реяуррентиой формуле М = 1, 2, ... н принимал во внимание, что 17. Суммирование рядов. Вычислевве определенных ввтегралов с помощью рядов 97 представляем е» в вгще е = е 41 — э», где е»41 = Я» + еы (5») — последовательность частичных сумм данного ряда.
Тогда, если Иш э» = э,«, то а» = Вщ о =зов э1 ° Е -' ОЬ В там случае, когда общий член ряда имеет ющ а =, а Е Й(С), 1 а»а,„11 ... а 4» где а»41 = а»+ га, а = О, эл, я = совэг. то 1 1 э» = пэя а«а«+1 ... а«4 7,2. Метод суммирования рядов, основанный на теореме Абеля. Пусть ряд (1), п.7.1, сходится.
Тогда его сумму можно найти по формуле а» = йщ ~~' а»х «1-0 »а »э 7.3. Суммирование тригонометрических рядов. Если сумма степенного ряда Е ы н»э, э=э «»э известна и равна с(я) + 1Я(э), то Е а»соэоэ ы С(я), а» ыа и* = Я(т). » 1 »»О Часто бывает полезным ряд я=~ ' 1 ( +1И +2) =. 1 где э = -- < 1, эа = 2, а» га и. Но так как е1 ж —, а Ьп е = О, то Я = -. и 1 1 1 1 э «( 41)' 1 1 1 1 ив.
— — — + — — — +.... 1 2 2 ° 3 3 4 4 5 1-Ы Ы М ОбщИй ЧаЕК даННОГО ряда Е» = .«„27)-. СЛЕдааатЕЛЬИО, ПО ПрнзнаКу СраВНЕНИя, ряд абсолютно схоДитсл, ибо )е4 — э при е оо. 1 Рассмотрим степенной ряд х»4' и*) = ~ — „(„-+ ц. Е'- » — =1а —, 1а1 = О, е 1 — э «»1 сходящийся при (э) < 1, за исключением точки э = 1. Найти суммы рядов: 225.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
