Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 18
Текст из файла (страница 18)
— + — + — + .... 1 1 1 1 2 3 2.3.4 3 4.5 Ч Нетрудно видеть, что общий член этого ряда а» равен,, где числа о, и+1, е+ 1 2 образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Поэтому, согласно п.7.1, получаем Гл. 1. Ряды Этот ряд абсолютно сходится при (х! < 1 ц как юобон степенной ряд внутри интервала сходимости, имеет производную Ю ЙХ) ж~: — *„ж~ —,', -! Интегрируя обе части полученкого равенства, находим У(х) = (1 — х)1а(1 — х) + х + С.
Поскольку у(0) = О, то отсюда следует,что С = О. Итак, у(х) = (1 — х)1п(1 — х) + х. Как видкм, здесь вполне применим метод суммирования рядов Абеля (см, п.7.2). Поэтому имеем 1)о+! о+1 — йщ ~ = йщ ((1 — х))в(1 — х) + х)ж 21п 2 - 1. > я(п + 1) -эао п(п -Ь 1) * -гьо =1 =! 22Т. 7 ~-~ (о+ 1)(о+ 2)(о+ 3) ч Представляя данный сходящийся рлд с помощью метода неопределенных коэффициентов в виде разности двух сходящихся рядов: и ~~ ~(и+ 1)(п+ 2)(п + 3) 2 лэ (о + 2)(н + 3) 2 х-э (и+ 1)(о+ 2) ' применяем метод непосредственного суммирования. Для каждого нз двух последних рядов имеем =! Следовательно, о ж -.
> СО 228. ~ ~', щ Е 77. ! < Преобразовывая частичную сумму Я ряда к виду 'к() „')='ф к„') '(Ь '~)) получаем 1! 1 1 11 Яж йщ 5«ж- ~1+-+-+ ... +-). » »-ээ и! 1 2 3 о!у 1 1 1 229, — + — + — + 1 2 ° 3 3.4 5 5 ° 6 7 Н Приводя данным ряд к виду ~ИЬ-Ь) (Ь-Ь) -)=~' где Я вЂ” сумма ряда, рассмотренного в примере 226, получаем 1 1 1 1 — + — + — +... =5!2 — —.Ь 123 345 567 2 230. ~~ ««2 < Преобразовывая ряд к виду оо оо «2 з 1 н используя результат примера 228, находим, что Я 231.
~~1 «2(«+ Цз =1 ч Разлагая общий член ряда на простые дроби, находим 2« -1 71 1 „2(«+ цз 1« „+1) 1 3 «' («+ ц' Поскольлку Е 1 («+ Цз «1 Оо 1 ОО 11 2 );~ = 1 «(«+ ц «1 «1 = — -1, 6 то Е '1« — 1 2 2 =7 — -т «2(„+ цз 3 «1 232. ~ ' к л «(2«+ Ц ч Представляя частичную сумму Я«ряда в виде « / 2««1 Я„м~ ~~- — — ) =2~~ (--( — + — )) =2 1— О 1 О 1 З«»+1 / и пользуясь Формулой 1+-+ ... +- =1п«+С+к«, е О, «оо, находимого Ыт 5« 1 ! 2 ' ' « «о 2(1-1п2). В 233. ~ 2"(«+ц «1 ««о Ппфференпируя степеи (2х)«+' Š†„, = 2хез« о почленна,получаем Ч" (и + Ц2"+1х« 2хе *)' м «у и1 ««о откуда, полагая х = 1, находим ~ 3("м2 3 в «.' 234. '% 3 7 Суммирование рядов. Вычислщгие определенных интегралов с помощью рядов 89 Гл. 1.
Ряды 1ОО М Общий член ряда разлагаем на простые дроби: 1 3 3 1 1 яг(п+ цз(я+2)2 4п 4(я+2) 4яз (я+ цз + + + + 1 -3 2 4(я+ г)2 2я(„+ 2) 1 1 1 + — + 4«2 (я+ Цз 4(я+ 2)2 + Суммируя ряды Е 1 3 я(я+ 2) 4' окончательно находим Е 1 к' 1 = — — 1 —— ( +2)2 8 4' =1 2 1 2 к 8' (+ЦО 8 »«1 1 Е 1 пз(я+ ЦО(и+ 2)2 п«1 22 39 4 1б 235. '~ п«О '"" М Замечая, что значение степенного ряда ( ц 2 41 1 ( ц 2 1 ( цп 2«О1 "ж-*7 — - T =-(ХССЕХ-ООВ*), !Х(<СО, (2» + ц! 2 с-~ (2п)! 2 х-«(2» + ц! 2 п«О п«О «=О прн х = 1 совпадает с данным числовым радом, имеем Е (-Ц'я 1 — = -(сов 1 — юв Ц.
Ь (2я+ Ц! 2 ззе. ~,( ",. ." +" Ч Разлагая дробь --Π— „— — на простые, мажем написать, что 1 «-1 1 О ( цц -1 1 ' ( ц «42 л-« «2+я — 2 3 ~-и я — 1 Зхз ~-О п+2 п«2 ««2 п«2 1 / х х 3 = -1в(1+к) — — ~-1а(1+ х) +х — — + — !, Зхз ~ 2 3,) Отсюда,прнменл« теорему Абеля, находим ( Ц» ( Ц х»-1 2 3 яз + я — 2 * 1-О х-О яз + я — 2 3 18 «з и 2 0 < !х) < 1.
221 т'О2г12" — 'ю~!... (2я)! и Представляя данный рлд в виде суммы двух сходящихся рядов: " (-цп (-цп ) '~» и 2п+~~ (2я — Ц! (2п)! и 1 п«О н замечая, что сумма второго рада равна сох х, вычисляем сумму первого ряда. Имеем ( цп 2п 1(х) = ~ ~~ ~, = хОО(х), и 1 "1 У. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помонгью рядов 101 где 00 р(х) = ~ (2и — 1)! «1 Интегрируя почяенно этот рад, находим р(2) )22 l о 0 2 -1 «-1 — (-1) = — ыв х, 2 ~ (2и — 1)! 2 откуда 2)(х) = --ив х — -соэх, саедоаатеяьно, 1(х) = — -(эшх+ 2 сох х), а х х Я(х) = 1 — — ! соа х — — эы х, (х~ < оо, в 0 2 2 « 238.
'',« ««з Ы Пусть х > О. Полагая х = уз, имеем 2 « 0) 2 2« Е(г +Ц! =Е(г +1)! ="''(У)' «0 «» 0 2 «1 где В)(У) = ~" "!22«ы)у . интегРиРУа этот Рад почаенио, полУчаем «.1 2 =: ('.".»=-' 2«-1 51(!)42= у-~ ", =-у32(у), 0 ..1 ' где у2 -1 Е (гп+ Ц!' «1 Аналогично находим «2« Яз(2) 42 = — ~З = — (з)( у — у). 2 (2в+ 1)! 2у 0 «1 (г) 0()=2 ' ' =-(( 0Ц вЂ” -«,), * 0, )(0)=0 и х 1 21)т/х (2п+1)! 4 ~,,/х (заметим, что в точке х 0«0 правая часть этой формулы, иа основании теоремы Абеля, равна ее предельному значению при х - +0). При х < 0 выпоянаем аналогичные выкладки. В результате приходим к такому ответу: 0(*) = 2" †« - (~(* + ) — '-*), . ), 0(!) - .
° пх«11' Ы 2/: (2о+ 1)! 4 1 ~/-'ж с помовгью почяенного дифференцирования найти сумму рядов! 239. ~ 1:2) и(2и — 1) Дифференцируя обе части равенства (2) по у, находим функцию Яэ, Точно так эке иахо. дим функцию Я) нз уравнения (1). Окончатеяьно имеем 102 Гл. 1. Ряды ч Дифференцируя данный рлд почвенно дважды (в интервале скодимости степенной ряд можно почленно дифференцировать лвэбое число раз), находим ~ (х) м 2~(-1)" х 1" ~ = —, )х) < 1.
1.Р хз' э=1 Отсюда последователькым интегрированием но х дважды получаем т'(х) = 2агсьбх+С1, 1(х) = 2хагссбх — )в(1+ хз) +Сгх+ Сэ. Поскольку 1(0) = 1~(0) = О, то С1 = Сэ = О. Следовательно, Е (-1)"-'*'" = 2х ащсб х — 1в(1+ х ). в(2и — 1) »=1 Поскольку данный степенной ряд сходится иа концах интервала скодимости х и ю1, то, согласна теореме Абеля и непрерывности правой части, можем утверждать, что последнее соотношение справедливо при ~х! < 1, Ь 24() ть~ (2п+1)х" в! =о ч Обозначал сумму этого рида через о(х), (х! < оо, и интегрируа ряд почленно, получаем З +1 Я(х)ахи~ —,+С=хе* +С.
э Дифференцируя по х обе части этого равенства, находим Я(х) = (1+ 2х )е', ф < оо. М Используя метод Абеля, найти суммы следующих рядов: 1 1 1 241. 1 — — + — — — +,... 4 7 10 ч Рассмотрим степенной ряд З +1 ~~> (-1)" — = Я(х). =а Легко найти, что он сходится абсолютно н (х( < 1. Далее видим, что в точке х = 1 степенной ряд совпадает со стодящимся (в силу признака Лейбница) данным числовым рядом.
Следовательно, по теореме Абели, будем иметь 1 1 1 1 — — + — — — + ... = Ьп о(х). 4 7 10 ' 1-о Остается найти Я(х). Дифференцируя ряд пачленио, получаем СО ~'(*)=~.(-1)"*'"= ., )*)<1 ч э откуда Г Их 1 1+х 1 2х-1 (х)- 1 —,=-Ь + — ыстб — + С. l 1+ха З ,Гх +я+1 ,УЗ ,УЗ Поскольку 5(0) = О, то С ж --е. Следовательно, зчз' 1 1+х 1 2х — 1 Я(х) = - )в + — агссб — + —. Поэтому окончательно находим 1 — -+ — — — + ... м -1а 2+ -че. М 1 1 1 1 Ф а г 1о '" 3 зчз' 5 7. Суммирование рядов. Вазчислеиие определеииык интегралов с помощью рядов103 242.
1 — -+ — ' — — '' + ..., 2 24 246 М Поскольку прн )х) < 1 справедливо разложение (см. формулу 15»4 5) (-1)"(2и — 1)11 з„ (2п) И =1 и данный числовой ркд, в силу признака Лейбница, сходится, то, по теореме Абеля, получаем 1 13 135 1 1 — -+ — ' — — '' + ... = Нщ (1+ х ) з = —, и 224246»гю чгг 243. 1+ — — + — -+ " . 2 3 2 ° 4 5 я Сходимосп этого ряда показана з примере 167. Там же мы получили разложение (2о — 1)Н ха»+1 х+ =агсзщх, <х( < 1, с-~ (2а)И (2п + 1) »=1 из которого следует, что 1 + — - + — - + ...
= †. ° . 1З 3 З З» 1 Найти суммы следующих тригонометрических рядов: 244»))~~ Яп ох =1 и Рассматриваем этот ряд как мнимую часть степенного ряда l — =1л( ~, з=с», 0<)х)<11, и 1-зг ' »=1 где под 1л з понимаем ту его ветвь, длл которой )л 1 = О. Тогда будем иметь 5(х) = ') — '"* = 1 1 1 1пг!л — 1 = агс16 — = ~1 — х» 155 з »=1 — если 0<я<», з — если -х<х<0 = — зйл 15 — — агс15 (15 2 1 2/ 245. ~~1 (-1)" —,'"*.
» з ч Рассматривая ряд как действительную часть ряда з ж е', -т < х <ч з", Е ' (- )" пз можем записать ( — 1)" сових ч (-*)" жК ч из-1 ~ФИ~ 1 » з Поскольку функция Я 2т-периодическая и Я(хт) = О, й 5 Ж, то, нспользуа последний результат, можем написать, что — если 25т < х < 2(1+1)т, О, если х = 25т.в Гл. 1. Ряды 104 При условии, что з ф -1, последний ряд представляем в виде суммы двух сходящихся рядов: Е -л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
