Главная » Просмотр файлов » Антидемидович 2 - ряды

Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 22

Файл №1113363 Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович) 22 страницаАнтидемидович 2 - ряды (1113363) страница 222019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

2 (2) Из неравенств (1) и (2) при усяовии, что ]х — хз) < 6, ]у — уз~ < 6, где Ь = ппв [Ьз, †' ), получаем неравенство фх, у) — /(хз, уз)] < й — + - = х, гй которое доказывает непрерывность функции у в любой точке (хз, уэ) е с, ь 27. Пусть функция Г непрерывна в области С = ((х, у): а < х < А, Ь < у < В), а последовательность функций з » р»(х), п Е Я, сходится равномерно на [а, А] и удо- влетворяет условию Ь < р (х) < В, я Е М. Доказатг» что последовательность функций г»(х) = 6(х, р (х)), и Е М, также сходится равномерно на [а, А].

4 Поскольку функция у непрерывна в замкнутой области С, то она равномерно-непре- рывна в этой области. Следоватеяьио, ге > О 36 = 6(е) такое, что неравенство [6(х, у ) — )(х, у )[ < з (1) справедливо для всех х Е [а, А] и у', у» Е [6, В], которые удовлетворяют 'неравенству ]у'— х»] < 6. В сиду равномерной сходимости на сегменте [а, А] последовательности (зз»(х)), Ч6 > О (в том числе и дяя 6, указанного выше) ЗФ г» Ф(6) такое, что (р чр(х)-р»(х)[ < 6 зп > )г", ур > О и гх Е [а, А]. Покатая в неравенстве(1) у' = р чр(х), у» = у»(х) (Ф»эг(х) у»(х) Е [6, В]), получаем неравенство йх р Ь ( ))-Х(х, р.( ))~ < справедливое гв > 6Ь, 'гр > О и гх Е «з, А].

'Таким образом, последовательность й»(х) = у(х, р»(х)), в Е М, сходится равномерно на сегменте [а, А]. м 28. Пусть: 1) функция г непрерывна в обчасти В = ((х, у): а < х < А, Ь < у < В); 2) функция Ьз непрерывна в ннтерваяе ]а, А[ и имеет значения, принадлежащие интервалу ]Ь, В[. Доказать, что функция г (х) = у(х, р(х)) непрерывна з интервале ]а, А[. М Пусть (хз, уз) — произвокьная точка из области В.

Из непрерывности функции ~ в обпасти Я вытекает, что гс > О Э6~ = 6~(з, хз, уа) такое, что ]у(х, у) — у(хз, „)«<., (1) если )х — хз[ < Ьь [у — уз] < Ьз. Обозначим у = р(х), уз = р(хз). Из непрерывности функции у = р(х) на интервале ]а, А[ вытекает, что для указанного выше Ьь ЛЬз = Ьз(6з) тахое, что [р(х) — 4хо)[=]у — уз[ < 6ю (2) если [х — хз] < 6з. Следовательно, из неравенств (1) и (2) и из того, что у = р(х), у б]Ь, В[, есзи х й]а, А[, вытекает неравенство [У(х, р(х)) — Х(хз, Й(хз))] < е, справедливое при ]х — хз[ < 6 = шш(6з, Ьз) и доказывающее непрерывность функции Г(х) = 6(х, у(х)) на интервале ]а, А[.

и 29. Пусть: 1) функция у' непрерывна в обяасти В = ((х, у): а < х < А, Ь < у < В); 2) функции х = р(з, е) и у = М(з, е) непрермвны в области Я' = ((з, з): а' < и < А, Ь' < з < В') и имеют значения, прзнадяежашие соответственно интервалам ]а, А( и ]Ь, В(. Доказать, что функция Е(и, з) = У(Гз(з, з), 4(з, е)) непрерывна в обпастн В'. 122 $ 1.

Предел фуикции. Непрерывность 4 Пусть (ао, ео) — произвольная фшссироваинаа точка из 22', а хо = р(ссо, ео), уо = тс(ао, ео). Из условия 1) вытекает, что оз > 0 За = а(е, вщ уо) такое, что (Х(х, у) — Х(хо, до)( < з, (1) если (х — хо~ < а, (у- уо( < а. Из условия 2) следует, что для указанного выше сг 36 = 6 (и) = 6(с, ао, ео) такое, что при )а — ао) < 6 и )е — оо) < б справедтивы неравенства (р(а, е) — ог(ао, зо)( < а, (сб(а, о) — сб(ио, оо)( < а.

(2) Из неравенств (1) и (2) непосредственно следует, что (сс(ог(п, е), сб(а, о)) — Х(зс(ао, оо), сб(зо, оо))( = (Г(а, е) — Г(ао, оо)) < о при (а — ао( < 6, ~е — зо( < б, т. е. что функция Г непрерывна в точке (ао, оо). Поскольку (ао, оо) — произвольная точка из сс', заключаем, что функция Г непрерывна з области й'. > Уцражиемил для самостоятельиой работы 1.

доказать, что функция (х, у) с Ах~+ Вхгу+ Сху + Вуг, (х, д) Е л~, имеет в точке г (О, 0), по меньшем мере, тот же порядок малости, что и р си (х + у )г. 1 2. Показать, что для последовательности а си —, и, сп Е Н, имеем Ьп (йгп а„) = йщ ( Ьв аи ), тем ие менее Ьп а ю пе существует. и и и 3. Доказатьи что дсш последовательности аии ж — "' ", а, сп Е Я, двойной предел йш а си т и и существует, в то время как Ьп (Ьп аи ) ф йсп ( Ьп аию) . Выяснить, существуют ли следующие двойные пределы: и с 1 г)+с" ' ' и-с с-стим - г т' с и»с и с Ьис 7. Показать, что функции у(х, у) = -г — "~~, д(х, у) = —; — т — - стремятся к пулю, если точка (х, у) стремится к точке (О, 0) вдоль любой прямой, проходящей через точку (О, 0), но эти функции не имеют предела в точке (О, 0).

Найти пределы: с о *" -о о-о г г г *ссиге <Е с *=с,—, с, ». ». с с с с~о+" 1 ) *-о з о С помощью "е — б" асс ждеиий доказать непрерывность следующих функций: 12. 6(х у) = 1 + х' + у' ( , д) б )й'. 10. 6(х, у) = чгГ+ Рз, (*, у) б И'. 14. Доказать, что если фуикция (х, у) с-с г" (х, у), (х, у) Е Иг, непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности и мопотоииа ио одной из иих, то оиа непрерывна по совокупности переменных. 10. Исследовать па равиомериую непрерывность в Кг функцию = /Р + да )п ' , хг + дг ~ О, ,6(О, О)аи О.

,~ г~р' 10. Доказатги что функция у(х, у, з) = зш(хо + уз+ зз), (хс у, з) Е К~, ие является равномерно-непрерывной в пространстве Ио. 124 Гл. 2. Дифференциальное ксчисление функций векторного аргумента ~ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 2.1. Частные производные. Пусть функция х ~ 1(х) определена в области Р простэпанства К; (еы ез, ..., е )— стандартный базис этого пространства, а хз = (х„хзэ, ..., х„,) — точка области Р. э Определение 1. Разность У(х)-Д(хэ) называется волиым приращением функции У е точке хз, а 1(хо+(хэ — х,)еэ) — 1(хо), 1 = 1, т — частным пРиРащением фУнкции э' во переменной х в точке хэ.

Определение 2. Если существует конечный предел )пп у(хо+(хэ -*,')е ) -у(хэ) эт1, (Ц э э х, — хэ э то он называется частной производной функции У е точке хе во переменной х, и обозначается †(хэ), или у,'з(хэ), нлн Рэ)(хо). ду дх. Функция г имеет в точке хэ частную производную Д. тогда и только тогда, когда в этой *э точке справедливо равенство ~(хо +(кэ *э)еэ) Пха) = ( д— (ха)+ а(хэ хэ)( (*э — хэ) о йз йз При этом величина Хй т Ь!йэ+ Лайз+ ...

+ Ьтйт, где й =, — произвольный йт вектор пространства К~, называется дифференциалом функции 1 з точке хс и обозначается дэ(хо), а матрица линейного отобрюкения Л: К~ ~ К называется производной функции 1 в точке хэ и обозначается г'(хо). Полагая в (1) х = хэ + кэе, получаем равенство ((хо + (х, — х,)е,) - у(хэ) = (Ьэ + а(х„ хэ))(к, — х,), нэ которого, в силу пункта 2.1, следует, что Еэ = ус-(хо). Следовательно, длл дифференциала ду(хо) получаем формулу дУ(~) = — (х,)й, ф — (х,)й, + ... + — (*,)й ду ду' ду дхэ дхз дхт или, если йэ = х, — х = дхэ, э оэ(ко) = — (хэ)бхз+ — (хо) Ылз+ ...

+ — (хо)Их „ дУ дУ дУ дхэ дх, дх,ч а для производной у'(хо) — равенство м( ) ~аУ( ) дг( ) дэ ( )) (г) где о(х„, хс) 0 при хэ. -~ к,. э 2.2. Дифференцируемые функции. Определение. Функция )': Р К, Р С К~, называется дифференцнруемой е еочке хэ б Р, если полное приращение функции г е этой точке монна представить в виде Х(х) — э (хо) = Ь(х — хэ) + а(х, хэ)~!х — хэ~(, (1) где Ь[х — хз) = Ез(хс — хасэ) + Хз(хз — кээ) + ... + Ьы(э — кэ ) — линейное отобрансние пространства К~ е К, а а(х, хэ) -~ б ври х хс. г 2. частные кроиаводиые и дкфферекциалы функции векторкото артумекта 12б Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция 1 имеет в окрестности точки хо частные производные -г-(х), у = 1, гп, непрерывные в точке хо, о г то она дифферснцируема в этой точке.

Если функция 1 дифференцнруемая в каждой точке области Р, то она называется диффсренцаруемой в области Р. 2.3. Частнъте ироизводные сложной функции. Если функция 1: Р -» М, Р С М~, дифференцируема в точке х б Р, а функции р,: С Р, С С М", г' = 1, т, имеют частные производные в точке С б 0 и х = (хг(1), ггг(1), ..., т (1)), то д(1 о р) д1 дзч дгг дх, д1а (1) т ~ — (Х) — '(т), й т1, П, ут (С,, Сг,..., 1„). 1 2лд Дифференцируемые отображения. Определение. Отобрагсвнис 1: Р М", Р С М, называется диффсренциругммм в точке хо б Р, если ариращенис 1(х)-1(хо) отображения 1 в точке хо представимо в виде 1(х) — 1(хо) т А(х — хо) + о(х, хо)Цх — хоЦ, где Агг Агг .. Аг хг — х о Аю Аы ... Ага хг -хг А(х - хо) = о А»г Аг .. А» хт — х», — линейное отображение пространстваМ в пространствоМ", а о(х, хо) 0 при х хв.

Если отображение 1 днфференцнруемо в точке хо, то Ач = в ' (хо) и оп 'г Вгг д1 д1 д1 дхг дхг ' " дхт называется производной отображения 1в точке хо и обозначаетса 1(хо). Если отображение 1: Р М", Р С М, днффереицируемо в точке х б Р, а отображение д: Р Р, С С М, дифференцнруемов точке 1б С и х = д(1), то (1о д)'(Ф) = 1(х) д'(1) нли в матричной форме д1„д1. д1. ду„ду ду„ дх, д, "' дх дт, ас, "' а~„ д(1„ о д) д(1» о у) д(1» о у) И, дт, '" дта 2.б. Частные вроввводвые к дифференциалы выствк кормиков. Пуст Функивя 1; Р -» М, Р С Мт, имеет частные производные в некоторой окрестности д(хо, у). д(1г о д) дт, д(1г о д) дз, д1г д1г дЬ дхг дхг дхн д1г дЬ д1г дхг дхг ' ' дх, д(1г о д) д(1 о д) д1г д1г дтг дта д(1г о д) д(1г о д) дт, "' дт дхг дхг дЬ д1г дхг дхг д1'д дх дЬ дх, дуг дй ' дуг дсг дсг дга дуг дуг дсг "' дса 126 Гл.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,81 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее