Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента Определение 1. Если функция х эуг-(х), х б Я(хг, 6), имеет в точке хг частную производную по переменной х„то се называют частной производной второго порядка или второй частной производной и обозначают — (хг) или Х,т(хс) дз у' г дх;дх, При этом, если э' ф э', то частная проиаводная называется смешанной. Аналогично определяются производные порядка выше второго.
Определение 2. Функция у' называется и раз диф4сренцаругмой в точке хо б Р, голи она имеет в некоторой окргстности этой точки всг частные производные (и — 1)-го порядка, каждая иэ которых является диф4сргнцируемой 4ункцигй в точке хг. Теорема. Если функциг у" дваждзг ди4фгргнцирусма в точке хг, то в этой точке выполняюгася равенства — (хг) = — (хэ), э, 1 = 1, д'у да у (1) дх,дх„ дхрдх, Из этой теоремы получаем следующее утверждение; смсшанная производная и — го порядка д" э тд ьз д, аз+па+ ... +и х, ь, ... ь,' ч 'з нг зависит от порядка, е котором производилось диффсргнцированиг.
Определеине 3, Дифференциалом второго порядка (или вторым диффсрснциолом) а~!' дважды диффсренцирусмой функции / называется ди4фгренцивл от функции х ь а((х), т. г. бзУ'та(аг). Аналогично определюотся дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал и-го порядка и раз днфференцируемой функции у вычисляется по формуле l д д д й") = ( — й, + — йз+ ... + — 1 '! у (2) (,дхз дхз ' дх 2.6. Производная по направлению.
Градиент. пусть фунхцнв (х, у, з) э-~ У(х, у, э) днфференцнруена в области Р с к~ н (хг, 1и, зг) б Р. Если направление ! задается направляющими косинусами (сога, сов д, сов т), то дроиэ. водная по направлению ! вычисляется по формуле д,У д,( д1 д,( — т — сов а + — сог д + — сов т, д! дх ду дз Определение. Градиентом функции у' е точке (хг, уг, зо) называется вектор, обозначагмый символом йгай У' и имеющий координаты, соответственно ровные производным —, —, вычисленным в точке (хг, уг, го). ез вэ ог Таким образом, йгайУ = — г+ — у+ — й, дз, д2 . дз' дх ду дз причем в этом случае можем записать, что —, = (а, йгай У), где а = (сова, сов д, сог 1). вг Градиент функции э в точке (хо, уг, зг) характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке (хо, уо, яз). Следовательно, (Я) =)!.
йл~= Вектор йгаг) У в данной точке (хо уо, хо) ортпгонален к той поверхности уровня функции ,1, которая проходит череа тачку (хо, уо, зо). ЗО. Найти У,'(х, 1), если У(х, у) = х + (у — 1) ажжв, — . у у з 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 127 М Согласно определению частной прожшодной, имеем У(х + Ь, 1) — У(х, 1) У,'(х, 1) /л йш Ь Так как У(х + Ь, 1) = х + Ь, У(х, 1) = х, то х+Л вЂ” х . Ь У„'(х, 1) = Бш = Нш — =1.
в л о Ь л оЬ 31. Найти Д(0, 0) и У„'(О, 0), если У(х, у) ю,о/хуу. Является ли зта функция дифференцируемой в точке (О, 0)У м Исходя из определения частных проиэводнык, имеем У(х, О) — У(0, О) . ч/х 0-О *»о х *-о х у„'(о,о)=й у('у) у(') =й '/б'у =о. о о У о-о у Для исследования дифференцируемости данной функции в точке (0,0) запишем ее приращение в этой точке: У(х, у) — У(0, О) = фху = а(х, у),/хо+ уз где а(х, у) = /Уху у— /* Поскольку й) = е = О, Ьэ = о — — О, то для дифференцируемости необходимо, е* оо чтобы функция (х, у) ) а(х, у) была бесконечно малой при 1/хо+уз О, т.
е, при х 0 ну- О. Пустьх=-,у=-,пЕМ;очевидно,х Ону Оприл со, Таккак 1 1 последовательность точек (-, -) при л ~ со стремится к точке (О, 0), а соответствующая /1 1' им последовательность значений функции (а(-, -)) = )т- /1 стремится к +оз при л оо, то функция а не является бесконечно малой лри х О, у О. Поэтому функция у недиффер/шцируема в точке (О, 0). в 32. Является ли дифференцируемой функция У(х, у) ю 1/хэ + уз в точке (О, 0)1 и Находим производные У(0 0)=йп) ' ) ( ' =Бш — =1, Уо(0 О)/хйш ' ) ' =йш — =1. о х *-ох ' " ' „о у о оу Представим приращение функции У в точке (О, 0) в виде У(х,) У(0 О) '/" 3+„з .1,„,) ('/ з 1.„'о у) У/(О 0) .)У)(0 0)у+ (х,) / э+уз 3 где а(х, у) = -~™-*=ю оо+Оо Поскольку последовательность з з (.(-' -')) = -' - ( — '') / э л не является бесконечно малой при л со (т.
е. лри х О, у 0), то а(х, у)1/хо+у~ ~ о(~Р + уз) при х -~ О, у -~ 0 и функция у недифференцируема в точке (О 0). в 1 33. Исследовать на дифферекцкруемосш в точке (О, 0) функцию У(х, у) = е '+ ' при х + уэ > 0 и у(0, 0) ш О. < Как и в предыдущем примере, находим частные производные (О О) Ь У(~ ~)-Ю ) Ь ~,-4/ 0 о о х о ох /))л/)-и бл/л.л /)-| -', з-/. э о У .э еу 128 Гп, 2. Дифференцняяьное исчисление функций векторного аргумента Из того, что приращение функнми у в точке (О, 0) представимо в виде У(х, у) — У(0, 0) = ! ! ! ! е геру = п(х, у) 1/Р+ уэ, где п(х, у) = ! ' ь' ! ! е зрэ = -е рз, а -е рз -+ О при р = „эерг р ' р ~,/хэ + уэ -/ О, непосредственно сяедует, что функция У диффереицируема в точке (О, 0).
> 34. Показать, что функция У(х/ у) = 1/~ху) непрерывна в точке (О, О), имеет ватой точке обе частные производные /'(О, О) и Ур(0, 0), однако не является дифференцируемой в точке (О, 0). Выяснить поведение производных у„и ур' в окрестности точки (О, 0). и Пояьэуясь опредеяением частных производных; находим у(,а)-у(а,а) . Я*.щ .0 х у'(О О) — й ~(0' у) ~(0' О) — й р«э у р-з у Поскольку !.'гГ(0, О) = фхУ) /х /хэ + Уэ — = а(х, У)/р/хэ + УР, 1~Д*Ы ~хг+ ур где ! Р 11 э! п(х, у) =, и а(-, -1 = ' -! — ф О, /хз + !/2 '!о и/ ! ! !/2 1/' з! зэк то функция (х, у) ! а(х, у) не явяяется бесконечно малой при ~/хэ+уэ — О. Отсюда следует, что функция ) недифференцируема в точке (О, О).
Иэ соотношении /з/(О, Р) = /ау) 0 при х О, у 0 следует непрерывность функции / в точке (О, 0). Из равенства Ур(х, у) = -ф(збвх при х ~ 0 и того, что )цв У' (-„т, -„) = )пв х-" = +оо, следует, что производная у,' неограничена в окрестности точки (О, О). Это заключение справедливо и дяя проиаводной ур', М эу 3$. Доказать, что функция у(х, у) = —, если х + уэ р! 0 и У(0, 0) = О, терпит э+уз' разрыв в точке (О, 0), однако имеет частные производные в этой точке. М Из соотношений (-, -.г) (О, 0) (лрм и - оо) (1 11 .
! 1 ! Йа ~~-,,1= йш !-', = у60=2(0,0) з-со !и' и ) з-рр -'ь. + -'г 2 следует, что функция у терпит разрыв в точке (О, 0). Пользуясь определением частных производных, находим /„„= /! !!-/(! !), ! . /,. „, /!!! !!-/с!!, р О х *-зх ' " ' р о у р-з у 36. Показать, что функция У(х, у) = — = =, есяи хэ+ уэ 4 0 м,/(О, 0) ы О, в 1/хэ +,э ' окрестности точки (О, О) непрермвпа и имеет ограниченные частные производные У' и /р, однако недифференцируема в точке (О, 0). ч При ха + уэ зе 0 функция / непрерьпша как зяементарная. Из очевмдного неравенства (/(х, у)) = ) — ~,~ < р и мятого, что Бш " =О, получаем йш,/(х/у) =0= У(0, О). т/р*рр ! р з * о р р! р-р Таким образом, функция у непрерывна в точке (О, 0). 22. частные производные и дифференциалы функции венториого аргумента 129 Имеем 2 У1(в у) в в У во+уз ~ 0 у~г + уэ ( 2 + „2)Э' 2* ,У12(в, у) = —" —, в +уэ ф О, ГУ(О, 0) = О.
/ 2+уз 1(во+уз)2' ( Отсюда, пользувсь неравенством ~-фт~ < -, убеждаемсв, что ! У*'(з, у) ~ < — + —,, — < — ! 1'у(з, у) ~ < —, )з) )зу( )з) 3, 3 /~+ 2 гз+уо /вэ ь 2 2 " ' 2' т. е. что указанные производные ограничены. Запишем приращение функции г в точке (О, 0) в виде Ьг'(О, 0) = -вЯ== = а(с, у)р, где а(з, У) = —,фт, р = ~/вэ + уз. легко убедиться, что функцив а не ввляетсв бесконечно малой при к О, у О, а поэтому функция г недифференцируема в точке (О, О).
в 37. ПОКаэатЬ, Чта фуНКцИя /(Х, у) ы (З +у ) яп —, ЕСЛИ во+ у ф 0 И у(0, 0) Уз О, 2 2 имеет в окрестности точки (О, 0) производные Д н,(У', которые разрывны в точке (О, О) н неограничены в любой окрестности ее; тем не менее эта функция дифференцируема в точке (О, О). ч Если х + уз Ф О, то частные производные Д и Уу находим, пользуясь формулами и правмлами дмфференцированиво 1 2в 1, . 1 2У 1 у,'(в, у) = 2хма — — — соэ —, у'(л, у) = 2унв — — — соз —, з2+уэ з2+У2 во+до У во+уз 22+ 2 Уз+ у2 Если же з ы 0 и у = О, то производные у~(0, О) и (У(0, 0) находим, исходя из их следующего определении: 2 1 1) й 1(в,О) — У(0, ) й ™ М~ *-о з *-о в аналогично находим, что Уу(0, 0) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
