Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Покюкем, что частные производные Уу и Уу' разрывны в точке (О, О) и неограничены в любой ее окрестности. С этой целью выберем последовательность (х„, у„), сходлщуюсл к точке (О, 0), н такую, что соз -2 — г = 1, т. е. -2 — У.ю 2нт.
Пусть, например, 1 ! ОУ ' * ФУ 1 1 — — у ю —, всМ. 21Гвт' 2 „~их' Поскольку г 0 и у„ -~ 0 при в оо, то последовательность точек (в, у ) попадает в любую окрестность точки (О, 0). Прн этом соответствующав последовательность значений функции Яз , у ) = -2тулт, н б Г(, стремитсв к -оо. Следовательно, частнал проиэводнав Д разрывна в точке (О, 0) и неограничена в любой ее окрестности. Аналогичные выводы справедливы и относительно,гу. поскольку гу(0, 0) = уу(0, 0) = О, а приращение 2ау(0, 0) представимо в виде 2аУ(0, 0) = (за+ уэ)мв —, = ра(р), где а(р) = рмп — 0 прм р = /Р+уз О, то функции 1 диффереицируема в точке (О, 0).
р дзв д'в „2 Ув 38. ПрОВЕрктЬ раавиотВΠ— уз —, ЕСЛИ: а) В = В"; б) В уэ ЭГССОЗ д*ду дуде' ' 1((у ° а) Имеем -у в ° 2увэ - (1+у йгв), — Уа2увз 1вв, — =2увв (1+У )вв). дв „, дзв „*,, д» ° дзв дв:-!,: члйуфдв ду ' 0*ду 130 Гл. г. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента э*«э' Отсюда непосредственно следует равенство — ж —, справедливое для всех точек (х, у) лузу зуэ в области определения смешанных производных: 0 < х < оо, -со < у < оо. б) Аналогично предыдущему находим смешанные производные 1 2 э дг э ди 1 г-- ди х 2-- ди * э 22-- «и 2-- — «« --(Ху-Х ) 2, — «е -(Ху-Х ) 2, — = -(Ху -Х у ) 2, — = — (Ху-Х ) 2 дх г дудх 4 ау г дхду 4 и убеждаемся, что они равны з области их определения: 0 « — ' 1. У Эти примеры иллюстрируют утверждение о равенстве непрерывных смешанных произ.
водных, отличающихся порядком их вычисления. в х2 2 39. Пусть 2(х, у) = ху, если хг+ у ~ О, и г(0, 0) = О. Показать, что ду(0, 0) ф х2 ~. у2 ' Уэ (О, О). ч При хг + уг ~ 0 имеем х' — у' 4згу' хг — ' 4хзу ©х, у) =у — + хг+уг (х24у2)2«У( «х2+уз (х2+у2)3' Если х = у = О, то производные у«(0, 0) и уэ(0, 0) находим непосредственно из их определения; у (О 0)=лш ' ' =Вш — =О, Уэ(0,0)«ейш ( 'у) ' ) =1пп — =О.
э О х ох "'уг у э гу Пользуясь этими значениями, находим смешанные производные: ,(,э(0,0)«ейш " ' ' =йш — =-1, У„'(О, у) — У.'(О, 0) . -у' уэууу 2 (О О) = Б у"( 0) ~"(~' ) = )и — = 1 *-о х э эг Отсюда убеждаемся, что у,«У(0, 0) ф Д',(О, О), Заметим, что в точке (О, 0) не выполняютск достаточные условия равенства смешанных производных. В самом деле, при хг + уг ~ 0 находим х' — у' г' ох'у' 1.",(х, у) = У,".(х, у) = — ~1+ У = У* хг+уг ~ (хг+уг)гг« ' Поскольку последовательность (М„= (-', -)) стремится к точке (О, 0) при я оо, и « 1пл 2 У(М«) = йш ээ«(М ) = т+ (1+ Г.гзцэ), то смешанные ироизводныс терпят раз- ««« рыз в точке (О, О). Ь 40, Существует ли Уээ(0, 0), если ~(х, у) = хг при хг +уз ф 0 и ~(0, О) ««Ог х2 дуг г„«„г .2« ч ПРи хг + Уг ~ 0 имеем Уэ(х, У) = ф-ф~.
ПользУЯсь опРеделением пРоизводной, находим у~(0 0) 1,, у(х О) у( ) гш 0 «о х «»0 х Поскольку предел 2 Э У.'(О, у) — Г.'(О, О) . Ф У у У О У не существует, то производная ~"„в точке (О, О) также не существует. > 41. Доказать, что если дифференцируемаи функция (х, у, э) 1 э(х«у, У), (х, у, э) е с, удовлетворяет уравнению * — +у — + — = уу ОГ ау ау дх ду дэ 3 2. частные производные в двфферевцвалы функции векторного аргумента 131 то она является однородной функцией степени р. 4 Рассмотрим функцию У(Схо, Суо, Сго) (2) Са Она определена, непрерывна н дифференцируема для всех С ) О, для которых точка (Схо, Суо, Сго) Е С. Вычисляя производную функции Г, получаем вырюкенне, числитель которого равен С(хоУ,'(Схо, Суо, ого)+УоУг(Схо, Суо, Сго)+гоЛ(гха, Суо, Сго)) — УГ(гхо, Суо, Схо) (3) Заменяя в равенстве (1) х, у, г на Схо, Суо, ого соответственно, приходим к выводу, что выражение (3) равно нулю. Следовательно, Го(С) = 0 и Г(С) = С = сопог.
Для определения константы положим в (2) С = 1; таким образом, С ю г(хо, уо, го). Отсюда, пользуясь равенством (2),иолучаем 1(гхо. Суо, ого) = С~1(хо, Уо, го), (хо, Уо, га) Е С. > (2) Ни ю — (х дх + у Иу + г Ыг), 1 гг г 1 з И а= — (Их*+дуг+ляг) (хдх+ гу+гсС )г— 42. Доказать, что если С вЂ” дифференцируемая однородная функция степени р, то ее частные производные Сг, Сг, Г,' — однородные функции (р — 1)-й степени.
а Поскольку à — однородная фуюсция степени р, то справедливо равенство С (Сх, Су, Сг) ю С" У(х, у, г), причем вырюкение в левой части дифференцируемо. Дифференцируя последнее равенство по х, получаем Сг(гх, Су, Сг)С = Сг(г(х„у, г) или Сг(гх, Су, Сг) ю Сг 'Г,(х, у, г). Из последнего Равенства следУет, что Уг — одноРоднал фУнкциа степени Р-1. Дла пРоизводных Гг' и Г, доказательство аналогичное. и 43.
Пусть (х, у, г) » и(х, у, г) — двюкды дифференцируемал однороднал функция и-й степени. Доказать, что д д д)' х — + у — + г — ~ а = п(п — 1) и. (1) дх ду дг ) 4 Поскольку а — однородная функция, то она удовлетворяет уравнению ди ди ди х — +у — +г — = пи. дх ду дг Заменял в этом равенстве х, у, г на Схо, Суо, Сго и дифференцируя его по С, получаем о гогого о Н г кои, + Уои„+ гои', + Схои,г + Суок„г + Сгои,г + С(2хо кои„„+ 2хогои„+ 2уогоиг,) = = п(кои', + дои'„+ го а',), где производные вычислены в точке (Сха, Суа, ого). Полагал в последнем равенстве С = 1, имеем г о г о г я о о з г *оа г + узах*+ гоа о+ 2(хоуои г+ хогои, + уогоагг) = (и — 1)(хоа + уоа„+гоа,). Отсюда и из равенства (2) неиосредстзенно следует, что д д 31' хо — +уо — +го — а = и(п — 1)и.
дх ду д.,/ Так как (хо, уо, го) — произвольная точка, то равенство (1) доказано. и 44.о..., ......=,дт~г~г...1ь„. 4 Обоаначая со = хг + уг + «г и последовательно дифференцируя выражение и = /и, находим 132 Гп. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента (х + р +з )(ох~+40~+ох') — (хИх+убу+з<Ь)~ (Л)' (,~р зх)г4(,!х,! )з+( й 4 )з > О. > (тур)з 45. Предполагая, что х, у малы ло абсолютной веднчнне, вывести приближенные фор- мулы дла следующих выражений: а) (1 + х)з'(1 + у)'"; б) 1в(1 + х) 1а(1 + у); з) агстб — , 1+ ху ч Пусть функция (х, у, ..., з) ь у(х, у, ..., х) дифференцируема в окрестности точки (О, О, ..., 0).
Тогда ((х, у, ..., з)- т(0, О,, 0) = Г(О, О, ..., 0)а+ Гз(0, О, ..., 0)у+... +1(0, О, ..., 0)з+о(р), Отбрасывая величину о(р) и перенося 1(0, О,..., О) в правую часть, получаем приближенное равенство У(х, у, ..., з) = Х(О, а, ..., О)+).'(О, О,, О)х+ К,'(а, О, ..., О)д+ ... + у,'(О, О,, О), (1) Поскопьку нредложенные функции дифференцируемы в окрестности точки (О, 0), то со- ответствующие приближенные формуяы принимают следующий вид: а) (1+ х) (1+ у)™ щ 1+гох+озу, б) !в(1+ х) !п(1+ у) ху; в) асс!6 -,*Д гз х + у. И 46.
Заменяк приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить: а) 1,002 2,003з 3 004з ~ б) ' ~з~гтгг сазе',ох; О'. в г, )аз"' и а) записывал равенство (1) из предыдущего примера дкя функции у(х, е, з) = (1+ х)(2+ в) (3+ з), имеем (1+х)(2+у) (3+з) 1 2 3 +2 3 х+2' 3 у+2 .3 з. Подставдяа в зто равенство х = 0,002, у = 0,003, з = 0,004, получаем 1,002 2,003 3,004 103 + 0,216 + 0,324 + 0,432 = 103,972.
б) ЗаПИСаВ дза фуНКцИИ Г(Х, у, Х) ж, ез ПрИ6ЛИжЕННОЕ раВЕНСтеа 1(Х, у, З) П-з) Ч()+ )' 1+ 2х+ аз — -' и пакагаЯ х = 0,03, У ж 0,02, з = 0,05, полУчаем 1,03 1+0,06+0,0066 — 0,0125 1,054. ' О,югер )и /Г ГЗ7Г-'Е ь+г-ь.п -ог,,-аи, ф,Оу + й,9Р + сд — азб 2,95. г) В приближенном равенстве (см. предыдущий пример) гх 1 Ух 1, х т т т, т 1 Ми 1ь- — Х ) Фй !ь-+ Хг! Щ Ма — аб — — СОЗ вЂ” аб-Х+М — — Г-Х 16 У 14 г' б 4 б 4 Б соаз- пакагаем * = 0,017, тогда !и 20' зб46' = 0,5 — 0,366. 0,017+ 0,017 = 0,502. 12. Частные производные и дифференциалы функцвц векторного аргумента 133 д) Записывая для функции (1-х)ььз приближенное равенство (1-х) аз 1-х н полагая в нем х = 0,03, у = 0,03, получаем 0,97!'21 щ 1 — 0,03 = 0,97. В ! ! 47.
Доказать, что функция у, имеющая ограниченные частные производные у и 62 в некоторой выпуклой области Е, равномерно-непрерывна в этой области. М Пусть (х1, 91) и (хз, уз) — две произвольные точки из области Е. В силу выпуклости области Е, точка (хэ + 2(х! — хэ), уз+ 2(У1 — 92)) принадлежит области Е при 0 <» Г » <1.
Функция 22(1) = )'(хэ + 2(х1 — хэ), уз + 2(у! — Уэ)) имеет при Г к]0, 1[ ограниченную производную 22(1) = (х1 — хэ)) (хэ+1(х!-Хз), щ+1(У1-92))+(91-Уэ)62(хз+2(хг-хэ), Уз+1(У!-Уз)) (1) н 22(0) = 6(хэ, 92), 12(1) = 1(Х1, У1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
