Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(-2)«1 ч ( — 2)«+' г (-2)« ' 1 / 1л(1+ 2) + лэ = — 2)а(1+ 2)+ 1 — —— вэ — 1 221 в 2.~ в 2(, 2 з «2 «1 «=э» Следовательно, (-1)«соз вх 1 1' 1п(1+2) 1 1 у 1 = -Пе 21л(1+2)+1 — —— = — 111 — — созх — зш х), е" ~ -1. оэ — 1 2 [ 2 2 у 2» 2 ««г Заметим,что ограничение е" р» -1 здесь можно снять. Действительно, если е" = -1, и та сових = ( — 1)". Прн этом получаем числовой ряд 2,' -„~ —,, равный —, (см. пример 230). 2 Кроме того, если совах = (-1), то - (1 — -сох х — хмвх) и -. Итак, 11 1 э Е = ( (-1)«сових 1 У 1 = — (~1 — — соз х — х эш х) вэ — 1 2(» 2 »ух е (-т, х]. Далее, в силу 2т-периодичности суммы этого ряда, значения повторвютса. ° .
246. ~~» ««э 4 Легко находим, что «« » Д~-~ СОЗ «Х Чэ 2", „„Ю «„ в! с-~ в! » а ««э Найти суммы следующих р»щов: 04Т С; (("- )')'(„) « (2в)1 М Дифференцируя этот ряд по х дважды (в интервале сходимости )х! < 1) и умножая вторую производную его на 1 — х, после иекоторык преобразований рядов получаем диффе- 2 ренциальное уравнение относительно искомой суммы 5(х) ряда: (1 — хэ)5 (х) — хЯ'(х) — 4 ж О.
Производя в нем замену независимого переменного х по формуле 2 ж аг»вшх, приходим к уравнению 5«(2) = 4, из которого находим Я(2) = 222+ С,г+ Сэ, С1, С2 сопли Так как Я(0) = Я'(О) = О, то отсюда получаем 5(х) = 2(агсип х), ф < 1. Нетрудно найти,что числовом ряд ( ( в 1 ~ ) (ги)! являющийся аначением данного степенного ряда при х = х1, в силу признака Гаусса, сходится.
А тогда, по теореме Абеля и иа основании непрерывности функции х — 2(згсз1а х)2 на сегменте (-1, 1), можем утверждать, что Я(х) = 2(агсмл х) при (х! < 1. > 248. — 1+ ' + ' +.... ' а+1 (х+1)(х+2) (х+1)(х+2)(х+3) 3 Т. Суммирование рядов. Вычисление определеииык интегралов с помощью рядов103 и Прежде всего устанавливаем область сходимости. Для етого, замечая, что общий член ряда аи = ', х ф -й, й б у(, начиная с некоторого достаточно большого номера и (и+1)( +2) ...
(и+и) ' имеет определенный знак применяем признак Гаусса. Имеем —" = 1+ -* — и . Отсюда, и и(и+1) в силу приведенного признака, следует, что ряд сходится только при х > 1. Найдем теперь сумму 5(х) данного ряда. С атой целью представим общий член ряда в виде аи —— ( а! (а+ 1)! а Е 1")'((1), х — 1 ( (1+ х)(2+ х) ... (а — 1+ х) (1+ х)(2+ х) ... (а+ х) н вычислим частичную сумму Яи(х) рассматриваемого ряда: 3! 4! + (1+х)(2+2) (1+а)(2+х)(3+х)/ + а! (и + 1)! (1+х)(2+х) ...
(а — 1+х) (1+а)(2+х) ... (в+х) 1 (а+ 1)! 1 (в+ 1)аи 2 — 1 (х — 1)(1 + х)(2 + х) ... (а + х) х — 1 х — 1 а1 а1 а2 249. — + + ... при условии, что х > О, а > 0 и ряд у аг + х аз + х аз + х а =1 расходящийся. ч Представляя общий член 3и(х) ряда в виде 3 (х)— агаг .. а (аз + Х)(аЗ + Х) ...(аи41 + Х) 1( а1 аз, .. аи агат , аи+1 х ( (аг + х)(аз + х) ... (а + х) (аз + х) ...
(а +1+ х)/ находим частичную сумму о' (х) данного ряда: аг 1 (' (' азат агагаз 5 (х)= — +— + аг + х х ) 1 аз + х (аз + х)(аз + х) / + азат аз азазазаз (а2 + х)(аз + х) (а2 + х)(аз + х)(аз + х) + . + азазаа ... аи а1аз ... аз+1 ... -,„,, -;...))= а1аз ... аи41 (аз+ а)(аЗ+ Х) ... (аи+1+ Х)/ ' аг 1 агат — + аз+к х аз+а Так каК Поскольку ряд сходится, а члены ряда положительны и монотонно убывают, то, в силу примера 13, справедливо соотношение йщ (и + 1)аи = О. Принимая его во внимание, получаем Я(х) = йп Я (х) = †, х > 1, в 1 и и х — 1 0< < 1 а2аа ° .
аз+1 (аг+х)(аз+ х) ... (аз+1+а) (1 и'1 1+ 1 1+2~ з г Гл. 1. Ряды и ряд с положительными членами может расходиться только к бесконечности, то бш агат ... а т! — О. (от+ х)(аз + х)... (аее! + х) Следовательно, я(х) = йп яе(х) = еа. П 250. — + — + — +,... 1 †1 — х' 1 вЂ Ч Представляя частичную сумму ряда в виде ( ! 1 х + + + + "+ г 1 — х! 1 — ха ' " 1 хг 1 ~ хг" ! ' получаем 1/ х' 1 ~.(*) = — ~ — + ~.(х) — —.. — —.) 1-х "' 1+ха" 1' откуда 2 1 !+1 Если же (х( > 1, то Иш Я„(х) = — ',. !-» 1 1 Я (х) = — — —.
! Погтому, если (х! < 1, то Бш Я„(х) = —, и Следовательно, сумма ряда если Я(х) = ю — если ф< 1, (х1 >1. м 251. 7' (1 — х")(1 — а"еы =1 м Рассматривая частичную сумму о'„(х) ряда х о (х)= — — + (1- х)' (,1+ х (1+ х)(*'+ х+1) + хг «-! + (хг + х + 1)(хг + хг + х + 1) (1 + х + ...
+ х" ') (1 + х + ... + х") +...+ и замечая, что 1р х 1 ... ~ х"-г (1 р х р хг р .р о-!)(1.р х .р .р х ) 1 р .р .р о 1 р х р р хе-!' о б )Ч '! (1), получаем хг 1+х+...+х х 5„(х)— (1 х)2 1.ь х .~, ~ х» (1 х)г 1 х +1' Отсюда следует, что если (х( < 1, то 5(х) = йш я„(х) = ( у-,т. Если же ~х( > 1, то я е о(х) = 1пп 8е(х) = дфоп, где 5(х) — сумма ряда.
М т 7, Суммирование радов. Вычисление определепиыл интегралов с помощью рпдов107 С помощью разложения подыитегральной функции в ряд вычислить следующие интегралы: о 4 При )х) < 1 справедливо разложение — т-ч (-1)" (2п — 1)!!х~"т' ) ~ (гп) й(йп+ 1) »=! (см. пример 108). Разделив почлеино зтот ряд на х, х ~ О, и проинтегрировав его в пределах от 0 до 1, получим ! (з (х+ 'Т+ х ) ~"- (-1)" (2 — 1)й! (2п)!!(2п+ 1)! о «=! 253. ~х" '1п(1 — хг)йх,р>О,О>0. о < Данный интеграл, вообще говори, является несобственным, позтому ! г- ! хг '1п(\ — х')йх= 1)гп ! х" '1о(1 — х!)!1х. ьз з ! 'гз с! ! Поскольку прн 0 < х < 1 справедливо разложение 1п(1 — х!) = — т~ ~, то =! з~ ~" — (1 — сз)з"+г п(оп+ р) 2~-~~ п(до+ р) '! (1 „)! ьг о(дп + р) — (1 — сз)" ~ Замечал, что оба степенных ряда сладятся при с! и г! = О, на основании теоремы Абеля, имеем х" '1п(1-х!)Их = йп сз! 'у ' — йп (1-сз)'~ (с!) ((1 — хз) ) т 1 ьо ! п(оп + р) „ ао п(он + р) 2 ' п(тн + р)' а о ч С помощью однократного применения метода интегрирования по частям приводим данный интеграл к виду ! ! ! ! !" 1лхох 1пх 1в(1 — х)!(х ж — ~1п(1 — х) !(х — ~ 1вх!(х+ 1 —.
з а о з ! /' )л (х + зг'1 + х~) х ! 254. /1пх 1л(1 — х)(х. ! ' г! = г! ~-~ п(оп+ =! Гл, 1. Ряды Считая, что О < хэ < х < 1 — зэ, записмваем соответствующие разложения в степенные ряды: х» !в(1 — х) ю — ~ —, ) хш-~ —, (1 — х)" )в(! — х) (1 — х)» ' з 1 — х и «»1 Поскольку 1- э 1пх !п(1 — х)Нх= Бш ! !лх !л(1 — х)Нх, эо У э э-+э,, то из (1) почленным интегрированием степенпыт рядов, на основании теоремы Абеля, полу- чаем 1 (1 — еэ) "1 — х "~ (~: -" ы-!О (»(в+1) О СО 1 т э«« ВЬВ. ~,*" .
э и Полагая ! = е а™, получаем один из интегралов, вычисленных нами в предыдущем примере: Поэтому имеем хая 1 зэ * — 1 24 э 256. Разложить по целым положительным степеням модулк х, О < <!э < 1, полный эллиптическим интеграл первого рода э Р(й) = ,4:»»т; э П Поскольку хэ з!пэ х < йэ < 1, го возможно разложение (см. формулу !'т', !5): (2п 1)" э» 2 (1) йэ; э„, (2»)!! 0 В силу оценки йэ"ь%!)-'-'ипэ»!з < (зЯ"„лхэ» < йэ» и сходимости ряда ~ йэ", ряд (1) схо-' » 1 дится равномерно (по признаку Вейерштрасса) по !з.
Кроме того, члены ряда (1) явлшотся непрерывными функциями, поэтому, по одному из свойств функциоиальиыт рядов, рассматриваемый функциональный ряд молсио почлеиио интегрировать. Имеем 0 э г(») +~ » -й»» х (2з — 1)!' г» ~ . э» 2 (2х)!1,/ » э о "9 Т. Суммироваиие рядов. Вычислевие определеииык витетралов с помощьш рядов 109 зп «12п-12! Отсюда, пользуясь равенством ( ип роо2 = — — „', окоичательио иаходим 2 (2«) ! о 1+~ и РВ )" й2« Доказать равенства: 1 257.
~ — *ж~~ л Поскольку 1 1 2~ е-«1*1 1(х, о о где 21пх, если 0(х (1, О, ы 2=0, та 1 1 Л вЂ” = / ~ —,(р(х))" Ых = ~> —, / рп(х) Ых, йя (" (-цп „" (-цп Г „ о откуда, иа основании примера 190, г), получаем нужную формулу. В 258. 2« ппэ « — если пай, е соз(зшх)сов охях = 1 211, если п = О. о < разлагая функцию х1 е"'*сов(ошх) в ряп, находим /" о" соз(ошх) = Ве(о*) = Ке ~ ~~ опо О«О где х = со* =созх+оыпх.
Полученный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно иа всей числовой прямой и функции х 1 сов йх непрерывны, поэтому ряд можно почлеипо интегрировать вместе с функцией х 1-~ соз вх. Имеем Вычислить иитегралы 259. хмп х 1 — 2а соз х + ез о 2« «пв« ч 1 е соз(вшх)созвхлх = ьу 2 91 о Опо 2« е ' сов(илх) лх = о сов йх соз пх Лх = —, если в В ГО, и о1 а 2 Е .~' — 1 соз йх ох = 2т. > й1/ о Гл. 1. Ряды М Пусть [а[ < 1.
Пользуясь примером 104, находим « « 1= ™~ !)х=з~~~[ а" 'хз)ппх!)х. 1 — 2асозх+ аз о о 1 Поскольку фуккции х ! хмпвх непрерывны на [О, х[ и функциональный ряд справа, в силу мажорантного признака Вейерштрасса, равномерно сходится (здесь [а" 'хз1п ох[ < т[а[" и ряд 2,' [а[" сходится), то рассматриваемый ряд можно почвенно интегрировать. «=1 Имеем (-1)" » 1 )[ -„)а(1+ а), если а ф О, если а = О. =1 Пусть ~а[ > 1. Тогда, преобразовывая подынтегральную функцию к виду хмпх аг(а 2 — 2а 'созх+!) и пояьзуась полученным выше результатом, можем записать )а[ > 1.
Пусть а = 1. Тогда исходный интеграл имеет вид Функция 1, если ! — если О, есяи гжб, 0<2< -", 2' 1)»+1 1[,»1 ах У ' = х)а2. и »1 Пусть а = -1. Тогда интеграл расходится, так как ххб — — при х х. «2 г Таким образом, окончательно получаем -„'1п(1+а), если -1< а < О, ияи 0 < а <1, х ж если а=О, -1и (1+ 1), если [а[> 1. М 260. ~)п(1 — 2асозх+ аз)!)х. о непрерывна иа отрезке [О, Я.
Следовательно, она иитегрируема, т.е. последний интеграл имеет смысл. 1! +1 Кроме того, ряд 2,' "=-" — в силу признака Лейбница, сходится. Поэтому цо теореме « »=! Абеля Гл. 1. Ряды 112 Вычисляя обратные матрицы и подставляя ик значение в равенство (1), получаем зе /1 !зг 262. 5 = ~(и+ 1)А", где А = ~ ', =о з з < Паскалеву I 5=~(и+1)А = ~А =И! 4) ) =О =з то Упражнения длк самостоятельной работы Кайти суммы следующих радов: и 1 =2 =2 ьз ОО 136. ~ "— „. 137. 2,' изе""*, х > 0. 133.
и ! и=! е ! 1 -з1 С помощью разпозкения подьзнтеграпьной функции в ряд вычислить следующие интегралы (в примерах 145 — 148 А — постоянная матраца) ! ! з 142. ( ег!(х)!!х, где ег!(х) =.з ) е"' !!! — интеграл вероятностей. о а ! 143. ! и (х) ах, где е! (х) = — ) — "; ' !!à — интегральный синус. о з ! 144. ! мп(зцгх) ох. 145.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
