Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Используя формулу Лагран!ка и равенство (1), находим 22(Ц вЂ” 22(0) = 1(21, 91) — у(хэ. Уэ) = 22 (6) = = (Х1 22)УХ(Х2 + 6(х! х2) 92 + 6(У! Уэ)) + +(у! — Уз)1„(х +6(х — *) Уз+6(у! — У)), 0<6<1 (2) Согласно условию, существуют такие постоянные Ь1 и Ьг, что [1,[<йы [У„'[<Еэ У(х У) ОЕ. (3) Из соотношений (2) и (3) вытекает неравенство [2 (Х1, 91) — 2 (Х2, 92)[ <» [Х1 Хэ[ь! + [91 У![12. (4) Пусть г > 0 произвольное.

Тогда, выбирал 6 = ппв ! — ', — '11, для любых точек (Х1, у!) !22!' 2Ь1У' и (хэ, Уз) таких, что [х1 — хэ[ < 6 и [У1 — Уз[ < 6, из (4) получаем неравенство [1(Х1, У1)— 1(хэ, уэ)[ < х, доказывающее равномерную непрерывность функции 6 в области Е. В 48. Доказать, что если функция (х, У) ! у(х, у) непрерывна по переменной х при каждом фиксированном значении у и имеет ограниченную производную по переменной у, то эта функция непрерывна по совокупности переменных х и у. М Согласно условию, ВМ > 0 такое, что [гг(х, у)[ < М длк всех точек (х, у) из области С определения функции у.

Пусть з > 0 произвольное, а (хз, уз) — любая точка из С. Тогда [У(х у) — Х(хз! Уз)[ < Щх, у) — У(х, уо)[+ Щх, уз) — ~(хо, уз)[ «< <» [Уэ(х Уз+У(У вЂ” Уз))[[У вЂ” Уо[+ [6(х, Уо) — 6(хз, УзИ (2) В силу непрерывности функции У' по х, при у = уз В61 = 61(е, уз) такое, что [у(х, уо) — У(ха уа)[ <— (3) если [х — хо[ < 61. Иэ (2), (1) и (3) получаем [У(х у) 1(хз уо)[ » <М[у УО[ + < г 2 если [х — хз[ < 6,[у — уо[ < 6, где 6 ж ппа (+, 61), что и требовалось доказать, В 49. Пусть (х, у, х) ! Р„(х, у, х) — однородный многочлен степени в.

Докаэатгч что я"Рз(Х! у, 2) = В! Р„(11Х, бу, ЮХ). ч Пусть (х, у, х) — произвольная точка из области определения функции Р . Так как Р— однородный многочлеи степени и, то для него справедливо равенство Р„(гх, ту, 12) = 1" Р„(х, у, х). Вычислим и-ю производную от обеих частей этого равенства. Очевидно, Р~ "1(ГХ, гу, 12) = в! Р„(х, у, 2). (2) 134 Гл.

2. Дифференциальное ксчислеиие функций векторного аргумента Обозначая левую часть равенства (1) через Р(1) и последовательно дифференцируя, находим др„др„аР„>' а а а '1 Р'(1) = — "х+ — "у+ — "х = ( — х+ — у+ — х) Р„, дх ду дх \ дх ду дх ) дэР дэР дэр„дэР дэР азР > д Р '(0 = — х + — у + — ха+2 — ху+2 — ха+2 — ™ух ю — х + — у+ — х дхэ дуэ дхэ дх ду дх дх ду дз з< дх ду дх Даяее, методом математической индукции легко дохазать, что Р " (1) = (х — + у — + х — / Р„(1х, 1у, 1з). <> >' д а з'>" [, ах Зу д.у) Поскояьку Є— однородный мнагочлен степени и, то частные производные первого порядка — однородные многочяены степени о — 1 (см.

пример 42). Отсюда следует, гго частные производные и — го порядка явяяются однородными многачзенами нулевого порядка, а следоватеяьно, являются настоянными, т. е. не зависят ат 1. Поэтому можно записать Р (1) = х — +у — +з — Р„(х, у, з). >' а з д'>" (3) дх ду дх ) Сравнив (2) н (3) и заменив х, у, х ма Ых, еу, дз, падучим доказываемое равенство.

В э 50. Пусть Аи = х — + у —. Найти Аи н А и = А(Аи), есзи, а) и = дх ду' хэ Гуэ' б) и = >в >/хэ-<- уэ. 3 зз Е а) Имеем Аи = х — ~ — *~> + у — < — *~< = х-А:* — + у= — зу — = — — * = -и. В = З, з,*„з, Зз,„,*зз) — <.з,„*„з,,з,'*„з>з = силу однородности операции А, Аэи ж А(Аи) = А(-и) = -Аи = -(-и) = и. з б) Аналогично Аи = х — (1в згхз+ Уз~ +У вЂ” ~>в >Ухе ЧУэ) = — + — У вЂ” =1, А и = — з,( ~/ з„ ( Ъ' / —,зтзз ззез*— А(Аи) = А1 = О. В (ди аи г диз дэи дэи дэи 51.

Пусть зази = — 1 + ( — ) + ( — ), ззэи = — + — + —. Найти 2>зи и >,дх ) >,ду) ( д ) ' дхэ дуэ дхэ ' 1 Ьэи, есзм и = хз + уэ + зэ ° з, ° ° ° ° .= сзт; ' и,,-.. "=Я) (-;) (2) =(-й)' (-2)' (-й)'х-,', Поскояькуз()з(з)э+зз()з++ З' зз З з з з** з' з з з з то Ьзи = =э+ ", = --, + — з ж О, г ~ О. В зз зз— 52. Доказать, что форма дифференциалов произвольного порядка функции (б, О, б) з у(с, О, б) сохраняется при замене аргументов б, О, Г линейными функцмями: б = езх+ азу+ оэз, О = Озх+ бэу+ бзх, б = сзх+ сэу+ сзз. м Вычисляя второй дифференциал функции; >Р1 = у<э азс~+ ф ыу~+ Усз изь э+ 2>газ изс йу+ 2 У<и< ас аз+ а~ йу аз+ ~1 вас+ Уздэу+у< 4~Г и замечая, что, в силу линейности функций <,', О, б, имеют место равенства й~д = О, зэу = О, 4~Г = О, пояучаем з'У = ( — ад+ — О+ — зГ1 1. >сд д д (,дб ав аб 12.

частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 133 Методом математической индукции легко доказать, что /д д д д"1= ~ — 44+ — йу+ — К) Л ~дУ ду д~ ) т. е, что форма дифференциалов произвольного порядка сокранлетск при замене аргументов линейными функциями. Ь Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложиык фунхций (х, у, г — независимые переменные): 5З. з =1~,1хг+ уг'. М Дифференцируа з как сложную функцию, получаем Ни=1'И(гг'ха+Уз) =1' " ", й'и=4(1') " "+1'д /хг+ г 1 /хг+Уг тг Так как ехлх+уг(у ~ хг(х+уду ~ (уй:-хду) г' 1 о+'~ то окончательно находим хг 4 уг /( "г+ „г)з ' 54. з ж 1(с, л), где с = х+ у, л = х — у.

и Поскольку аргументы С и в явлюотся линейными функциями, то форма дифференциалов произвольного порядка сохраняется (см. пример 32). Поэтому, вычисляя дифференциалы лв = Л д(+ 1г йд д о = 1й 44'+ 21гг 44 де + Лг лл где 1г = е, уг — — з, 1г, = „,, 1гг = е, 1гг =,, и вместо лс и Й~ подставляя их значения, найденные из равенств 4 = х+ у, ч = х — у, получаем дз = Л(гх+ ИУ)+1г(дх ~Ь) до= 1гг(дх+ <Ы + 2ЛгФ Ф )+1гг(дх — ЫУ) . > 55. о гз 1(4, г1), где ( = ху, гг = *-. у М Дифференцируя и как сложную функцию, получаем ,уЫх — хя'у до = 1г ( у й + х г(у) + Л у "а =Лг(удх+хг(у) +2Лг +1гег ( )+2Лйхду-21г' " . > 56. аьз1(х,у, з),где х=г,у=гг, з=гз.

< Аналогично предыдущему Яз = Л й+ 1г21 й+ 1зуз й = (1г + 211г + 31 1г) й, йз = 1,", й'+ 1гг4тг йт'+ 1г",91' йг + 41г",г й'+ бт'1г", й'+ 121'1юа й'+ 21,' й'+ 411,' й' = = (Угг+ 41 1юа+ Ут 1зз+ 411гаг+ аг 1гз+ 121 1гз+21г+ 611з) лг . И и = 1(Е, гг, С), тле 4 = хг + уг, П = вг — уг, 4 = 2*у. 15б Гл. 2. Дифференциальное исчнсление функций векторного аргумента < Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, имеем Эи — Я(гхдх+ 2УЭУ)+(г(2*Эх — 2УЫУ)+(гз(гудх+2хду), Эи = 4(й(хйх+УЭУ) +4(гг(хдх -УЭУ)'+4(зз(Уй+*ау)'+ + Ву»г(х~ йг - уг Эу~) + Ву,",(х Эх+ уйу)(у Эх+ х Эу) + + В угег(х й — у Эу)(у Эх + х ау) Э 2Яах + ау ) + гуг(дх — Эу ) + 4(г й Эу.

и Найти а"и, если: 58. и = ((ах + Ьу + с г) . м поскольку в данном случае форма дифференциалов инвариантна (см. пример 52), то Эи = (1»(Э(ах + Ьу + сх))" ж )4»1 (а Эх + Ь Эу + с Эг)1». 1» 59. и = у(ах, Ьу, сг). С В силу инварнантности формы дифференциалов в-го порядка (см. пример 52), имеем та а а д»им ~ — ай+ — ЬЫУ+ — сдг) ((г,г, т), '1а а1 а где г = ах, 1 ж 6У, т = сг. Ь 60. и = у(г, 1, т), где г = а1х+ Ьгу+ с1г, 1 = агх+ 6гу+ сгг, т = ага +6гу+ сгг. < Используем инварнантность формы и-го дифференциала (си, пример 52). Имеем 1» д Э"и = ~ — Эг+ — 41+ — Эт~ 1(г, 1, т) = ~(а1дх+61ЫУ+сг Эг) — + 'с да д1 дт дг ди х Эти ~ха 1 ~х — = 1"-, — = у» — + 1"- — 1'— дх т' дхг тг т тг Аналогично находим г г г г г аи»У,Ь,У ав — ж( -+1--1 — — жУ'-+1'--У'— дуг тг т тг> д г г тг Таким образом, »х +у +г тг + -(' — (' ж У» + -(' - -( = ( + -( = 1'(т).

» тг т т т 62. Доказать, что если функция и ж и(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа сги ы Эти дги ( х у — + — = О, то функция е = и ~ —, — также удовлетворяет етому уравнению. дхг дуг г+,г' г+,г т м Вводя для удобства обозначения р = -ту-т, т6 ж -гд-т, имеем * +г ' »гФг де, др, дтЬ де, др, дгЬ вЂ” =иг — +иг —, — =вг — +ва —, дя ах Эх' ду ду ду' д'е» /ЭР1' г ЭР дб» lдт6~' г д'и ~ а'тд — =иы1 — ~ +гам — — +игг1с — ) +иг — +иг —, дхг '1ахУ' ах дх агах! ах дхг' дге» (а ~ и ЭР аа» (дуг~~,дгу — = „~ — ~ +㠄— — +~',( — ~ +,— +,—, дуг [ ду) ду ду 1 ду) дуг дуг' а а т» + (аг й + Ьг Эу+ сг й) — + (аг Эх + Ьъ Ыу + сз Эг) — ) ((г, 1, т).

и д1 дт) гт. г, .=т»г „-,Сц, ~.*. т —...,.»г... »тг ди ди ди Показать,что 2ьи ж г(т), где 16и = — + — + — — оператор Лапласа, и найти функцию Эхг дуг агг Р. м Имеем 3 2. Частные производные и дифференциалы функцни векторного аргумента 137 О» в О*» в Зг» в Зг» где нг з ег зе еы,т ем Отсюда 23в = игг — + — +наг — + — + Вычисляя производные ~д~~ 2х(х' — Зу') д~у 2х(332 — хг) ддгг у — х ( г+,2)з дгб 2у(Зх' — уг) (.г+ г)з д~ф 23(у' — Зхг) дх (хг + уг)2 аб гху ахг (ха+уз)з ' а„г (ха+уз)з (хг 1 уг)г убеждаемся, что — — + — — =О, гтрг»О, ЬО=О.

ду аф дгг дф а ах ау ау Таким образом, из (1) и (2) и вз того, что Ьв = О, следует (2) 1 сгв — ( г + 2)2 ган = О. > 63. Доказать, что если функция е = е(х, 1) удовлетворяет уравнению теплопроводности де где — = а —, то функция в = — е» »ге ( —, — — ), 1 > О, также удовлетворяет згому д1 дхг ' авгг (, агг аггг' ' уравнению. и Находим производные 2 г ха Хог ег в,= (т- — + — — — + е 2гы 2ег722 4ег Я азтгг'"' азч'гз ! г в»г в е хе хе, еы + е а»гг, 2азг/12 4агчхгг азт'гз егтгг у где через а', и е",, обозначены частные производные функции и по первому аргументу, а через нг — по второму аргументу, и подставляем их з выражение в,'— а'в,",. После упрощений получаем 2 в 1 вг — ев, = — с а'в'тг Согласно условию, ег — а е",, = О. Позтому 2» 1 64.

Доказать, что функция в = —, где г г де удовлетворяет уравненюо Лапласа 23е м — + — а г г» г (вг — а егг) . г 2 в вг-е в,» =О. ~ , при г р' О дге дге — + — = О. ду' дх и Имеем де 1 дг 1 х — а х — а дге 1 3(х — а)дг 1 3(х — а) гз дхг гг га дх гг гг а* гг ах Аналогично находим дгв 1 3(у — Ь)2 дгн 1 31я - с)2 дггз гл гг ' ддзз гг гз дгг 2ху ау (х2.1.

у2)2 г (за+ уг)2 +2»гг ~ — — + — — ~ +ег ЬР+ ег 23О. (1) „ /др ад ар ад\ ~ дх дх ду ду,~ 133 Гл. 2. Диффереициалыюе исчисление функций веиториого аргумента Складывая последние три равенства, получаем 3 3 2 2 2 3 3 гьи = — — + — С(х — е) + (У вЂ” 3) + (з — е) ) = — + — = О, Н гз гз гз гз 66. Пусть функции иг = иг(х, у, з) и иг = аг(х, у, з) удовмтворюот уравнению Лапласа д»и = О. доказать, что функция з = иг(х, у, з) + (ха+ у + 22)иг(х, у, з) удоваетворяет бигармоническому уравнению Ь(1!»з) = О. и Последовательно дифференцируя, находим дз диг диг де диг г 2 диг 2 2 2 д иг 2 — = — +ух +Сх +у +2) —, — = — +2и,+4х — +Сх +у +2) —. дх дх дх ' дхг дхг дх дхз Аналогично д д и 2 2 диг ( 2)диг д диг 2 2 2 диг (г г 2)дие 2 — = — +2из+4у — + (х + у + 2 ) —, — »з — +2иг+4г — + (х + у + 2 ) —.

Характеристики

Список файлов книги