Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 29
Текст из файла (страница 29)
в !+~/2 1 94. Пусть функция х 1-! 1"(х) непрерывна прн а < х < 1 и у 1-~ Оо(у) монотонно возрастает н непрерывна при с < у < л. В каком случае уравнение оо(у) = у(х) определяет функцию у = 11 (у(х))? Рассмотреть примеры: а) кв у + зЬ у = х; б) с " = -о!во х. ч Функция у = оо '(!'(х)) определяется следующим образом: для любого фиксированного значения х б]а, 6[, т.е. для фиксированного значения У(х), ставится в соответствие то значение у, которое является решением уравнения р(у) = у(х). Поскольку функция оо непрермвна и монотонно возрастает на интервале )с, й[, то уравнение оо(у) = А имеет единственное решение у ж оо '(А), если число А принадлежит множеству значений функции Оо, с < у < а.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение у = 1« '(1(х)), если множества значений функций р, с < у < й, н у, а < х < 6, имеют общие точки. Рассмотрим примеры. а) вшу+ ей у = х. здесь функция у 1-! оо(у), -оо < у < +со, непрерывна. Пользуясь формулой Тейлора, находим, что производная Оо(у)=созу+сйуж 1- — + — —,, + 1+ — + — +, ы2 1+ — + — + г.
4. " ') [, г. 4. " ') [, 4. З. — со < у<+со, положительна. Следовательно, функция у ! х(у)! -оо < у < +со, монотонно возрастает. Поскольку множества значений функций р(у) ш иву+ злу, -оо < у < +оо, и 1(х) ы х, -со < х < +со, совпадают, то уравнение иву+зЬу ы х определяет единственную функцию у = о1(х)З -оо < х < +со, обращающую зто уравнение в тождество.
б) е " = — мвох, В этом случае множеством значений фУнкции у ! Оо(у), Оо(у) = с -со < у < +со, является полубесконечный интервал ]О, +оо[, а мноясеством значений функции 1(х) = — зово х, -со < х < +оо, — сегмент [-1, О]. Поскольку зти множества не имеют общих точек, то уравнение с "= -аао х не имеет решений. М 95.
Пусть х = у+ оо(у), (1) где оо(0) = 0 и [р'(у)[ < й < 1 прк -а < у < а. Доказать, что при -с < х < с суще«таус« единственняя днфференцнруемая функция у 1 у(х), удовлетворяющая уравнению (1), и такал, что у(0) = О. ч Иэ условия следует неравенство — = 1 + р'(у) > О, -а < у < а, обеспечиваоощее а« строгую монотонность непрерывной функции х ж у+к(у), -а < у < а. Пусть с = шш([х(-а+ 0)[, [х(а-0)[). тогда, в силу строгой монотонности функции х = у+к(у), кзлсдому х б]-с, с[ соответствует товько одно значение у б] — а, а[, для которого у+ р(у) = х. Повтому иа ] — с, «[ существует функция у ж у(х), обратная дяя фунвцим х = у+ р(у) и тоже строго моноииоиаз.
А так как уравнение (1).при у 0 нмаэт решение х = О, то у(0) О. 3 3. Неявные функции 153 Покюкем, что функция у = у(х) диффереицяруема. Пусгь хо, хо +гйх Е)-з, с[ и Ьх ~ О, тогда уэ, уз+Ау Е] — а, а[, где уз — корень уравнения хз = у+ р(у), гйу ~ О н гйу -~ О при 23х О. Поскольку существует предел Ь* . /, и(уз+ 23у) — р(уз) 1 ~ ж1+р(уз), дз»а Ду др э [ 233 то из тождества — = л- Убеждаемсл в сУществовании пРоизводной -к. Следовательно, 4* 1 4 Ь функциз у = 1(х) дифференцируема на ) — з, е[. и 96. Пусть х ь у(х) — неявная функция, определяемая уравнением х = йу+ь(у) (1) где постоанная й зй О, у ~-~ р(у) — днфференцируемая иериоднческая функция с периодом ! и и такал, что [р (у)) < [й[.
Доказать, что у = — + й(х), где и — периодическая функция с периодом ~й[и. М ОтООРажЕНИЕ А, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РазсиетВОМ АУ и -*„— Х(ЬКС, ПРЕОбРаЗУЕт МНОжЕСтВО С) — м, +ю[ в себя. Покажем, что это отображение сжимающее. Действительно, для любых функций у и х из С) — оо, +ос[, пользуясь теоремой Лагранжа, получаем р(Ау, Аз) = шах [Ау — Аз[ = шах ~ и(з) — 1з(у) — шах — [у — з) < !р'(б)[ -оо<з<аа «е ~ й - «з [й[ < шах — шах [у — з[ = шах — р(у, г), [и'Ы)[ [и'Ы)[ <з«- [й[ — «*Е «*е [й[ где с находится между у и з. Так как [р'(у)[ < [й[, то О < 9 = эвах ~~ )1 < 1. Следовательно, р(Ау, Аз) < Вр(у, х), и сжнмаемость отображения А доказана.
Таким образом, согласно теореме п 3 1, существует единственная функция у Е С)-оо, +со[, удовлетворяющая уравнению у = Ау, т. е, уравнению (1). Эта функция является пределом последовательности уэ= — — —, у =-- — (в=2,3,...). х и(О) х и(у„э) й й ' " й Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем у = -„ + р(х), где 1 й(х) = -- йш 1р(у„-э(х)). Покажем, что функции х ~ р(у„1(х)) (и = 2, 3, ...) периодические по переменной х с периодом [й[и.
Для доказательства применим метод математической индукции. Прн в = 2 фунвция х 1 И(уэ(х)) периодическая по х с периодом [й[и. Действительно, согласно условию, и(х х и) ж р(у), поэтому и(уг(х+ [й[ )) ж р ~ — — — 2[ ж р(у (х) + ба й) ж р(у (х)). /х+ [й[ р(О) ) Далее, предполагая, что функция х ~ р(у„э(х)) имеет период [й[и, получаем равенство и(у„(х+ (й[и)) = 1о ( — — -и(3„1(х+ [й[и)) /х+ [й(и 1 й й /х 1 Зэ(- — -р(у -г(х))+ издай) = р(у„(х)+издай) = Ээ(уа(х)), иа которого «яддуву, что [й[и — ивриод фуивции х ь эз(уа(х)) ио парзрушпгой х.
154 Гл. 2. Дифференциальное всчвслевве функций векторного аргумента х'у'+ *'+ у' — 1 = О, (1) то при ху > 0 справедливо равенство — + =О. Ых яу (2) Л-хс /~-у а дифференцируя равенство (1), получаем 2хуз йх+ 2хзу Ыу+ 2х йх + 2уЫу = О. Отсюда находим х(1+у )йх+ у(1+ с~)йу= О, (3) Из равенства (!) следует з 1 у з 1 х 1 уз 1 х 2 з г х = —,у = —,х=~~ —,у=~~( —. (4) 1 + уз' 1 + хз' () 1 + уз' ~)( 1 + хз Если х н у одного знака, т. е.
если ху > О, то, заменяя в равенстве (3) х н у нх значениями (4), получаем 1 — у, 1-хз — (1+ у ) Ых + 11 — (1+ х ) Ыу = О, т/1 — у» 4х + ф — х' йу = О. 1+ уз '3[ 1+ха Отсюда непосредственно следует равенство (2). И 99. Дохазать, что уравнение (х +уз) = а (хз — уз), с 140, (1) в окрестности точки (х, у) = (О, О) определяет две дифференцируемые функции у = уз(х) и у = уз(х). Найти у[(0) и уз(0). М Для достаточно малого с > О и шобого фиксированного х б] — с, с[ из уравнения (1) находим два значения: у»с х(х) н у ю -х(х), где р(х) = Так опредеаеннаа функция х ~ у(х) непрермвна на ] — с, с[ и определмть четыре непрерывные функция: ] у(х), есаи О ч х < с, ) -т(х) -х(х), если -с < х < 0; Уз( ) ][ у(х), уз(*) р(х), -с < х < ; у (х) -р(х) -с Х(0) = О.
Позтому моясно есан 0<я<с, ,<я <О; < к<а, Предельная функция х» О(а) также периодичесхая с периодом ]Ци. Чтобы убедиться в этом, достаточно в очевидном равенстве 1 1 Ф(х+ М~) — Ф(х) = (Ф(х+ [й[м)+ -х(у - (х+]О] ))) + (,— р(у - (х)) -Ф(х)) ) перейти к пределу при в - со. Посхольку ка~кдое мз слагаемых равномерно стремится к нулю, то в пределе получаем равенство О(х+ ]х[м) — О(х) ж О, доказывающее периодичность функцнм р. Ь 97. Показать, что нри 1 + ху = с(х — у), где 1г — постоянная величина, имеет место равенство |Ы 4у (1) 1+ хз 1+ уз а Поскольку х ф у, то й = ~». Дифференцируя зто равенство, получаем 0— (х — у)(х Оу+ них) — 1+ ху)(Ых — Ыу) (х — у)з Отсюда следует соотношение (1+ хз) Оу — (1+ уз) йх = О, равносильное равенству (1). В 98.
оказать, что если 3 3. Неявные фуииции удовлетворяющие уравнению (1). Исследуем на дифференцируемость зти функции гтри х = О. С этой целью вычислим )о' (О). Имеем ги ) — гг) гзх * — Ы )Ах~,/аэ - Ахэ Иш а --о — Нш Оо -о Гзх /зз лхо — йш а* -о Аналогично находим )о' (0) = йш д(-*~~~-" = 1. Отсюда сразу следует, что функции уз о -оо и уо не имеют производной при х = О.
Поскольку у~г (0) = -и' (0) = 1, у(о(О) = )о~~(0) = 1, то функция уэ имеет производную при х = О, равную единице. Аналогично нз равенств уэ (О) = р' (0) = -1, уэ+(О) = -)о+(О) = -1 следует дифференцируемость функции уэ при х = О, причем уэ(0) = — 1. > 100. Найти у' при х = 0 и у = О, если (х +у) =Зху — у. (1) М Представим кривую, определяемую уравнением (1), в параметрическом виде.
С этой целью положим у = Гх. Тогда из уравнения (1) найдем х = ~ч)т. Подставив найденное О+с )'' зр-г' значение х в Равенство У = Гх, полУчим У = — о) . Заметим, что х = 0 и У = 0 пРи тРех О О~о) значениях параметра Г: гг ж О, Фз = АЗ, Гэ ж —./3. Остается вычислить производную от параметричесхи заданной функции при этих значенизх параметра, т. е. при х = О. Имеем Ыу (1+1~)(бт 41з) 41(31~ — Г~) Ых (1+ Гэ)(3 — ЗН) — 41(31 — Гз) Отсюда при 1 = О, г = х/3 и г = -и'3 находим уг(0) = О, уз(~/3) м ьГЗ, уэ( — ~ГЗ) = -Д.
° 101. Найти у', у" и уе', если хо + ху+ уэ = 3. м Пользуясь формулой а— = — т, получаем г зз /э' Ыу 2х+ у — — х ~ -2у; Зх х+ 2у' Я У (я+ЗУН2+у') — (2х+у) 1+2у' 13 о)хэ (х + 2У)з (х 4. 2„)з а~у 34 1б2х (1+ гу') = —, х ~ -гу. В ахз (я+Зу)о (х+ 2У)э' 102. Найти у', уз и уз' при х = о, у = 1, если х — ху+2У +х-у — 1= 0. з з м Трижды дифференцируя равенство (1): 2х — у — ху +4уу +1-у = О, -Зуе — хум + 12У'уз + 4уую — у'®' = 0 156 Гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
