Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Заэ а. а,э/ (,а.а а а двд.) 111аб а', Зр Зэй\, 1'аЮ д' Зр Зэй ') б е = — — — — — — Юа + 2 — — — — — бабе+ 1 ~ ),да дел да дал) (~да авдо дв дезе,) Подставляя в эти равенства вырывания (3) для дифференциалов и собирая коэффициенты при ех, 2 ох ад и бдл, получаем а'в 1 ((Н Зэр Зр Зэб(адар /Зр аэб аб Зэр ~1аб ар адар~ — — — — — — — — + — — — — — — — + — — + дхдд 1э ~( де двл де дал/ де де 'т де дадо де двде1' ~де дв дв де1 и т.д.
и 117. Функция в = в(х) онределяетсе системой уравнений а = 1(х, у, л), д(х, д, л) = О, й(х, у, л) м О. 4в баи Найти — и —. бхл ' м Предполагая, что данная система определяет три дифференцируемые функции в = в(х)„у = у(х), л = л(х), дифференцяруем систему по х: ав З1 ад ад З1 а ад Зд бд ад Ь дй ЗЬ бд аЛ Ь + — + —, О= — + — — + — —, О= — + — — + — —. (1) бл дх дд <Ь дл ех' дх дд ех дх бх' дх дд Б дл ех' Ил последких двух равенств находим проклводиые лд 1э лл 1э ах 1т' Е 1т' Гдв И = ИН(Я, 1Л ~ фл-~1Э 1а ее ф-~. 3 3. Неявные фующин 1б3 и Используя (2), из первого равенства системы (1) получаем аи а1 6 а1 6 а1 1 / Э1 а1 Э1') 1 23(1,у,ь) 1 з(1,у,ь) — = — + — — + — — = — (6 — +12 — +1з — ) =— Ух Эх 6 ду 6 дх 6 ( ах ду дз) 6 Э(х,у,«) 6' 22(х,у,г) зги Для определения —,з дифференцируем систему (1): аг„э21 Э21/аутг Э2113212 а21 ау д21 У, д21 ау ьз д1 агу а1 422 —" = — + — ( — )+ — ( — )+2 — — +2 — — +2 — — — + — — + — —, 422 дхг дуг (,ех) дзг (,ех) дхду Ух дхдз эх дудг дх хх ду дхг дг ехг' Эг Эту 14уьг агу 142~2 Эту ау агу 4» агу ау 4 ау агу ау агг 0= — + — ( — ) + — ~ — ) +2 — — +2 — — +2 — — — + — — + — —, дхг Эуг ( ез) дзг '1 ах) дхду ех дхдз ех дудз Ух ех ду ахг дг дхг' а'Ь Эгь Галат а'Ь14 ~2 Э'Л ау Э2Ь 42 а'Ь ау Уг ЭЛ агу ЭЬ агг б= — + — ~ — ) + — ~ — ) +2 — — +2 — — +2 — — — + — — + — —.
Эх аут (42) Эхг Ьг) ахау 42 дгдг ах Эуаз Ух Уг ду дхг Э. Эхг' Использовав формулы (2), последние равенства перепишем в более компактном виде: аи 1 Г д д д~ Э14у Э1У~ — = - ('6 — +6-+12-) 1+ — — + — —, акт=12(, ах ау а,) Эрах а.а ау агу ау 422 1 1 а а Э')' — — + — — =- —,~6 — +1,— +6 — ) у, (3) ду ххг дг ехг 12 ( дх ду дз) эл агу эь 4" 11 а э д')' — — + — — = — — (6 — + 1г — + 12 — ) Ь. ду ох~ д ях~ Р ( дх ду дг) Из последних двух равенств находим производные ау 1 1эу( а а а~' ЭЛ1 а а а(' — — — (11 — +12 — +1з — Л- — 1,— +12 — +12 — ) У ехг 12 ) дз (, дх ду дз) дг (, дх ду дз) 42 1 1эл1 э э а)' ЭУ1 а э а)' 2 6 +12 +12 ) У ~11 +12 +12 ) ь ахг 1,' '(,Эу (, дх ду дз) ду ~ дх ду д.) и вычисляем сумму д1 аг Э1 аг — — 2+ — — = — 2 — — — — — 6 — +6 — + 12 — Л+ ду Ых~ дг «хг 12 ) 1,ЭУ дг дг ду) ( дх ду дз) /Э1аь а1эл') 1 э а а')' ) + ( ) (6 +12 +12 ) У ( дг ду Эу Эг) ( Эх ду дз) — ' (6 — +1г — +1з — ~ Л+ ' ( 6 +6 +12 ) У (4) 1~~ УУ(у, г) (, дх ду дг) Р(у, «) (, дх ду дз) Наконец, ив равенств (3) и (4) окончательно получаем 4'е 2 (щу Л)1 а а а)2 щЬ 1)1 а Э Э')г г ' ~6 — +1з — +12 — ) 1+ — ' ~11 — +12 — +6 — ) У+ «хг 12 ~ Р(у, г) ( дх ду дг) 23(у, г) Л дг ду дг ) + — '-~ 6 — + 12 — + 1з — Л Р(У,у~1 д д дг 22(у,з)(, а ау а ) де де де 22® Нус1ь хгз1(е, з, и), у=у(е, з,гз),,=Ь(в,е, и), Найти дз' ду дз' 1дд Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и Дифференцируз данные равенства, получаем скстему де=у„с(и+Лс)е+г' дв, дужд„с)и+д„'аз+У с)в, дх=й„с(и+Ь'„де+ Ьс сдв. Отсюда вычисляем дифференциал дх Л»' ~,.' 1 » п(г,»,») 1 п(з , ) п(з в) т)(з в) ~(»'„' > с(» Ь'„ Ь' з» г з» г е» г Следовательно, — = -л, — = -а, — = -л, где ' з» г вх г ' з* г 2>(Л у, Ь) Р(д, Ь) 2)(Ь, д) 2)(Л 9) З(и, з, в) ' Э(з, в) ' 1)(з, в) ' 1)(з, в) системе уравнений Г(х, у, х, Г) = ех. 119. Пусть функция х = х(х, у) удовлетворяет О, д(х, у, х, Г) = О, где à — переменный параметр. Найти и Имеем систему уравнений У» дх+ Узду+ 1» дх+ у" 41 = О, д*' де+ д', ду+у',Ух+ у, 'И = О. Отсюда с с с ~ = о ((У»дс ЛУ») "х+(Гхус Лух) с(У) = 1 ) д»сгх+Лз ду Л ) 1 с о(г »з~ ~дс де+ус еу ус ~ л(»91 Р(», с) * " З(», с) 1 = — — (Л дх+ 1э ду) 1» л Применим метод математической индукции.
Для этого прежде всего покажем, что формула Лагранжа справедлива при и = 1. Из уравнения х = х+ у«»(х) находим дх 1 д в( ) дх 1 1уес' ду 1 дд Используя этн формулы н равенство и = Л(х), получаем ди дг д $ в(х)»» ду дх ду ух» ди с(д д» $ дх дх дх 1 УБ'. 4» Отсюда — в В(х) —, ди ди ду дх' (2) и мм убеждаемсл в справедливости формулы Лагранжа прн и = 1, Остается доказать, что из справедливости формулы Лагранжа при некотором Ь ) 1 вы- текает справедливость ее при Ь+ 1, т. е. д"+'и д» л»с ди (3) Дифференцкруя формулу Лаграюка при и ж Ь, получаем д"+с и д" »ди д» с г'д »ди где 1 = — ~~'Щ 1 = -~-'х), 1» = — (~-'ы.
В гс( с) ' п(з,с) ' п(а') ' 120.Пусть и = д(х), где х — неявная функция от переменных х н у, определяемая уравнением х = х + ув(х). Доказать формулу Лагранжа 165 2 3. Ыеявнгле фуищил Используя равенство —,*, = р(х) — ', вытекающее нх равенств (1), н формулу (2), преобразуем вмраженне е ((р(х))"ф). Имеем д Г,де1 «,др д де де — ((Мх)) — ) = й(р(х)) — — — + (р( )) — = ду ( дх1 42 ду дх дхду = й(у( )) — р(х) — — +(у( )) — ( — ) = 1(22( )) — — — +(р( )) — Р( ) — ) = «2 до дх де «д (де') «42) дх де «д У дх1 Ых дх дх дх ( ду) 42 дх дх дх ( дхl «др дх дк «( д'е Ну дх де'~ = г(у)(г)) — — — +(у(х)) ( р(х) — + — — — ) = Ых дх дх дх2 д» дх дх ) = ((1+1)(22( ))~Я вЂ”,~ —,+(Мх)) ~ —,, = д, ) М(х)) ~ д,~. Отсюда и из равенства (4) непосредственно следует (3), м 121.
Функция х = «(х, у) задана уравнением )о(х+ху, у+хе ) ю О. дх дх Показать, что х — + у — = х — ху. дх ду < Дифференцируя равенство (1), получаем )(„удх-хду~ )/ хих-хихЪ У2 ) хт Отсюда ) — яЖ~)' ) ')') )))))) )' )' 42 =,, дх+,, ду, ХГ)+ У)«2 Р О. *(ХУ(+ УГ') У( Г'+ Уг') Следовательно, дх у(х㫠— * г)) дх х(хг( — у гт) дх х(хг",'+уг«) ' ду у(хг",'+уст) ' Умножая первое равенство на х, второе на у и складывая нк, убеждаемая, что дх дх х — +у дх ду хг'г + уг2 хг +урт 122. Показать, что функция х = х(х, у), определяемая системой уравнений .хсохо+у«1по+и) х ((ю), хяпо+усохо у (о), где а = а(х, у) — переменный параметр и у — произвольн«я днфференцируемая функция, удовлетворяет уравнению (-':)' ('-;)'= ч Дифференцируя первое равенство системы, получаем со«аде+ вша))у+ (-хюла+ юсова — у (а)) ла+ — = б.
В силу второго равенства системы, коэффициент лрн Ыа равен нулю. Поэтому дх ж -х сок а де — хмпа)гу. Отсюда дх дх, (дх) дх 2 2 2 ° 2 2 — = -х сох а, — = -хюк о) — + ~ — )) ж х сое «+ х жп о = х . М дх ' ду= ' ~д ~ ~ду) 123. Покааать, что функция х ~ х(х, у), заданная системой уравнений (х — у(а))2 ~ хт(ух — ох), (х — ((о))('(а) ~ ах, 166 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента где а = а(х, у) — переменный параметр и 1(а) — пронзвольнаа дифференцируемая функция, д. д удовлетворяет уравнению — — = ху. д ду М Дифференцируя первое равенство системы, получаем 2(л — Да))(дл — л' (а)Ыа) = 2х(у — а ) дх+ 2х (уду — ада). В силу второго равенства, коэффициент при Ыа равен нулю, а в силу первого равенства, у — а = р(» — 1(а))~.
Пользуась этим, получаем йл = -(л — 1(а)) дх+ —, — = —, — =, л р 1'(а). 1 хзу Йу дх л — 1(а) дл хзу л — Г(а) ' дх х ' ду л — г'(а) ' эл Зл л-Нь1 Отсюда вытекает, что — — = — "- = ху. р Залу л л-П1 Упразкнеимя для самостоятельной работы 82. хз + 2ху + уз — 4х + Зу — 2 = О. Найти у'л при х = 1, у а 1. 88. х+ у = е* ". Найти ул. 89. (хз + уз — Зх)з = ез(хз + уз). Найти у' при х = О, у = О, 90. ха + уз — Зху = О.
Найти у' при х = О, у а О. 91. Дамы уравнения хз - у + лз = 1, уз — Зх+х = О. Найти у' и л" нри х = 1, у = 1, л = 1. 92. Из системы х+у+х =х, я+у+э =1 з з з з з з а з найти у и л'. 93. Из уравнений аз+уз-лз = О, хз+2уз+Злз = 1 найти а~у и х~л, если х — независимая переменная. 94. Из уравнений х + уз = 2лз, хз+ 2уз + лз = 4 найти — „и З-дз в точке (1, -1, 1), если л — независимая переменная. 9$. Пусть х + у+ л = х, х + уз + лз = Зхул.
Найти производные функций у и л. 96. В точке (1, 1, — 2) найти первые и вторые производныефункций у и х, если х+у+л = О,з+ 97. хз+уз+ лз = 2л. Найти — т. 98. ха+уз+ аз — Зл =О. Найти з,' . 99. хсоз у+у сох л+лсоз х = з. Найти — * и — *. 100. ху+хл+ух = 1. Найти дл и о~л. зл. 101. Найти а~л в точке (х, х, О), если х + лз — Захл а у . 102. Найти вторые частные производные л, если зта функция от х и у определяется уравнением у = хр(л) + 9(л). 103.
Показать, что л, заданная как функция от * и у уравнением л = хр (-'), удовлетворяет уравнению конических поверхностей х —, + у — = л. Эл Зл зэ 104. Показать, что при у = хр(л) + 9(л) удовлетворяетсз уравнение злт ~т — (з.'„) 10$, Найти у' и у", если я~+у~ =4аху. 106. Найти у' и у", если х +у' — Злу=0. 102. Найтк у", еслм агсз63 = )в~/хл+уз, 108. Найтк у' прм х-= 1, у = 1, если х + уэ = х + у. 109.
Найти у' прм к = 1, у =1, если х +2уз — Зху =О. 11,0.Даиыуравненмяхз-уз+ха 1,у-2х+л О. Найтиу' н л'ария=1,у=1 л-*1. 167 111. х +уз+ ха = аь, х + у~+я~ = 3 . Найти у' и х'. 112. Найти — к — *, если за+ха+уз — Зх = а. дз дз» 11. Найти — *, если хз+ Зхз+Зуз — З(х+у+ з) =О. д» дз ' 114. Найти — *,, Зх, ы, — при Г = х = у = х = 1, если Г+2х+у+х гх 3, Гз+х +у +х = 4. д, д, д дз з з» ь 116. Найти ф, ф, — *„д при Ф = х = у = 1, х = -3, если Г+ 4х+ у+ з = 3, Г~ + х~ + уь — г 116.
Найти — *, если я»+у~+ с~ = 4з. 11Т. Найти — *, если хь+ уз+ зь = Зг. д»з ' д» дз ' 116. Нанти — * и — * если х — 2уз+хз — 4х+2х = 3, д д*дз' 116, Найти Ззх, если з + д-+ —, = 1. 120. Найти 4 х, если соз х+ созз у+ соз з = 1. »3 » »2 2 2 3 121. Найти — и —, если г (х — у, у — з, з — х) = О. д» д» Е» дг' 122.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
