Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Замена перемепмьпс 'г Я Используя выражения для ус и усс, ззлнсаиные в полярной системе координат (см. примеры 138, 140), находим Я „гвг„сг (гс ссс т-г Нс ТСс К- (г~ + 2т' 3, т совн — ГЯпзсЯО. (та+ г'2) Р з с + ~сс'ос гвгсюг 2 с г — Ис г 142. В системе уравнений йх — =у+ух(х +у ), — я-х+йу(2 +у) 2 2 С)у 2 с)2 Й перейти к полярной системе коордмнат.
Я Диффереицмруя равенства х = т сов Я, у = г вы Я ио 2, получаем систему 82 с(т Взс сзу дт 8Я вЂ” = — соввс — тапир —, — = — яввс+тсовзг —, с(2 с(2 а' и 82 81' из которой находим 8Т с(х Ву . Нас 1 / Ьх , с(у — — ССЯВс+ — ЯП Р, — ( — ВГЯЯ+ СОВ Я) 41 82 а ' 82 т (, 81 82 Учитываа, что —, = гв1а ус+ хг совР, ьас = -гсов р+ йг всп У, окончательно ьс з ь з . с з ь ьс сгу сз 143. Преобразовать выражение Я = х — — У вЂ”, вводя новые функции с112 с122 ' я = агс18 у.. Я Дифференцируя равенство вс = ыс28 д, находмм ь ьс *-"-у— 2+ 2 сг находим —, я о Отсюда г —, я х " — у —.
зьг ь ь* ьс ьс,о Днфференцмруя поспеднее равенство, окончательно пояучаем 8 у зйзс'г 82У с(гх — ~г — ') =х — -У вЂ” Я.Я сН 1 ТЦ У сУЬ2 сувг Отсюда г = =-и~~та *Се 2Г 14О, (*' + 2)'у" Я (х + уу')'. Я Дифференцируя равенство (1) из примера 128, получаем ь„сус т +2à — тт, с(у с Ат 2 сг з у= —, г= —, Ьс (гссевя гявя)з ьг с,з с, С,'сс'С'=,',,С,сссС'= следующем виде: г (гг+ 2г — гто) гзг з сг г'сов вс — тяпу ~ О.
(т' сов вс — тяп вс) (т' соз я — с як сс) Мян Г(тг + 2т' — Гто) я т, > 141. Кривизну плоской кривой К =, выразить в оовяриых координатах г и (у**( (1+ у*") ' 174 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Вводя новые независимые переменные 4 н »1, решить следующие уравнения: дг дг 144. — = —, если б = х + у, О = х — у. дх ду' дг дг ди дг де у.дл ( х+ге, дг ') дх а, а /» а » „,'Г а, а а, дг дл ди дг де 1 дл ( У+лег дг ~ дг — = — — + — — = — — + +— аа = а.
а, а, а = а а »З а,»а, а, / а Отсюда »в» е Ре -*в Таким образом, данное уравнение представимо в виде у 1 в» е» »е« - в е» 1 — — „' .-* в ха+у +ел дг дг 1 — =е, или — = —.и е — х де ' до 2 149. х — + у — = —, если и = 2х — х и е ж —. з у дх ду г ч По правилу дифференцирования сзожиой функции, имеем д дг / дх 1 дг / у д 1 дг дг / дг '1 дх / 1 у дг '1 дх ди '1 дх/ дз '1 гз дх/ ' ду ди ~ ду/ де ~л гл ду/ и Имеем д. дг дО д. до д. дг д. д.
дб д. дл д. д. — = — — + — — = — + —, — = — — + — — = — — —. дх дО дх дл дх дб дл' ду дб ду дл ду д~ дл' Отсюда †' — — ьд 2 в = О. Таким образом, решая ураннение — = О,находим г = рф, илн е е е» в» е вг — ез Еа= г = р(х+ у), где За — пронзвотьная дифференцируемая функция.
> дг дг 1 45. у в — х — ю О, если О ж х н О ж хз + ул. дх ду е» е» е» е» е < Вычислял производные — »х — + — 2х, — = — ' . 2У, находим у — — х — щ у — = О. вл, вз е* вл — е< Отсюда г = ае(О), или х = р(х + у ), где р — произвольная дифференцируемая функция. за дг с — — дг 146, х — + 1/1 + ул — = ху, если и ж 1в х н е = 1н (у + а/1 + ул) . д 1/ ду и По правилу дифференцирования сложной функции, имеем дг дг ди дг дз дг 1 дг дг ди дг де дг 1 — = — — + — — = — — — = — — + — — =— х ~ О.
дх ди дх де дх ди х' ду ди ду де ду де /1 + ул' Используя зги равенства и то, что х = е, у = з)ае,нз условия получаем †„ + — * = е зд е. и в* в* дг 147. (х + у) — — (х — у) — ю О, если и = 1в;/ххз з+ ул н е = агсзб —. дх ду х М Аналогично предыдущему примеру имеем дг х дх у дл дг у дг х дг — = — — + дх х'+уз ди ха+уз де' ду ха+уз ди хл+уз дз' В* Е* Подставляя зти выражения в данное уравнение, получаем — „— е — — О. > дг дг У 148.
х — + у — = я+ хз+ уз+ гз, если и = — н з = г+ хз+уз+гл, дх ду х < Имеем 1тб 14. Замена переменных Отсюда д» 1 д» д. дх д, =,+2,д.+л а* ду ж1+2,о**+ухе. Тогда данное уравнение запншетса в виде 2» — +" — х д«д« д» «д 1+2,д«+.Уг д« Полагал здесь 2х = а+ з, к = з, - = —, после упрощений получаем— з»,д«' * »ь«' »з фа. и / 1'д»'1 /д '1 з з 150. Преобразовать выражение А = — + —, полагая х ж из, у = -(з — о ).
),дх) ),ду) ' 2 и Дифференцируя х как сложную функцию, получаем систему дх дз дх дз ду дг дз д» дз дх дз ду дх дз — = — — + — — = — е+ — а — = — — + — — = — з — — з ди дяди дуда дх ду ' де д*дз дуде дх ду ' из которой находим д» д« д, з — +»в д» д» дх аз+в» д«д« +за фО ду „з+„з Следовательно, из которой находим д« дз д» ду образом: дз 1 дх д« Данное уравнение преобрзэуетса следующим д» х — х Уе дх х — з д» д» д« д« у 14 О.
> д» дх 152. Преобразовать уравнение (у - з) — + (у+ з) — = О, приняв х за функцию, а д. ду а = у — з, е = у + з за независимые переменные. м Полагая в равенстве (б), п.4.2, ю = х, а ж у — з, е ж у+ х, имеем дх «дз дх 1 дя «' — 1 ду — — дя — — бу 1+ — ( ду+ — дя+ — ду дв ~ дх ду ) де ~ дх ду (аз + зз)з аг «. „з дх дх 151, Преобразовать уравнение (х — з) — + у — = О, дриизв я за функцию, а у и з за дх ду независимые переменные. < Запишем равенства (б), п.4.2, полагал в нем а = х, з = у, ю = х.
Получим дя )дх дз 1 дх Их»» Гбх+ бу~+ йу. дх(дх ду ) ду Сравнивая коэффициенты при оя н Ну, иалучаем систему дя дх дх дз дх 1ж — —, Ою — — + —, д. д*' д, ду д„' 1ТО Гл. 2. Дпфферемцпапьное исчисление функций векторного аргумента Сравнивая козффициенты прн Ня и Ну, докучаем дя дз дя дз дх дя дз дя дя д» 1=- — — + — —, 0= — — — — + — + — —. да дя дэ дх' ди ди ду дэ дэ ду' Отсюда д» и д» в* э а в в» в + д» д» вЂ” О в» д» д.
—,»+ — „ д» д» дз дз » В (у ) + (у + ) ду д д д де а» д» д д» После упрощений окончательно находим дя дя и 4' дх де 1 — + — = — ~этЬО, — ф — !.Ь да дэ э '» ' ди дэ! 2 » ~2 /д21 1дз'4 153, Преобразовать выражение А = ( — + —, приняв х за функцию и и ( дх) (ьду) ' хг, э = ух за независимые переменные. ° Анаяогнчно предыдущему црнмеру имеем дх 2' дх дз 4» дя 1 дз дз Й: = — ( хая + я — Ыт+ я — Ну ) + — ( яду+ у — Й:+ у — ду да ( дх ду ) дэ (ь дя ду Для определения — н — получаем систему д» 8» д В» дх дх дз де дз 1=2 — +я — — +у — —, да ди дх дэ дх' дк 02 дх де дз 0 = Я вЂ” — +2 — +У вЂ” —.
ди ду дэ дэ ду Отсюда в* 2д* д. -в — „ д -и— д д» дх 1 — з— в« 2 д» 2 (ад* + эа») ду я *+у» х2(и .1.э *)' д* д~ 2 в»+ в» в» в Следовательно, х и — 2хи +и'((д') +( — ) ) А- , Г дх дх12 з ~и — +э — ~ фО.Ь '( ди дэУ' я» (а в* + э ~ ) ди ди да 154.
Преобразовать уравнение — + — + — = О,полагая б = т, 0 ж у — т, Г = 2 — х. дх ду дх М Дифференцируя и как сложную функцию, находим ди ди ди ди да да ди ди дс д~ де д(' ду до' дз д(' Следовательно, — + — + — ш — = О. и д«д«в» в» ' в вэ в»-дг Перейти к новым переменным и, э, а4, где »д = м(и, э), в схедующих уравнениях: 155. у — — я — ж (у — я)з, есяи и = ет + у, э ж — + —, ю ю 1п з — (е + у).
дх ду я у < Пользуясь формупами (7), пА.2, получаем В» В» 4 В» д» 4 » — „»*- —;,. В, — »-иэ» Следовательно, данное уравнение запишется в виде дм уз дю д *.дм 2яуз — — — — + уз — 2яуз — + — — — яз ж (у — я)з, да * дэ ди уз де НЛМ, Ш2СХЕ УПРошенмй, — = О. > д» 14. Замема перемемиых здз здз з 1 1 1 1 156. х — +у — =з,еслиижх,етв — — —,юж- — —. дх ду ' ' у х' з м Примеияз формулу (7), п.4.2, находим частные производные вв ! д з в,зз ев Ф ! ! дх ду Х подставляя которые з дамиое уравнение, получаем в = О.
> вн в, дх , д. 157. (ху+ з) — +(1- у ) — = я+ ух, если и = ух — х, е = хх — у, м = ху — з. дх ду < Используя ту же формулу, что и в предыдущем примере, находим вв Вв Ь Вв дх — + — з — У дз в«в« в щ д в +в + ду э +в в в в«в« Отсюда и из данного уравнеимя получаем (ху+х)(е з+у)+(1 у )( х+ в,х+1) — у+ — х+1 или, после сведения подобных членов, — = О. !« в 2 ~з дз'! !т дз1 здх дх 158. х — + у — юхз — —,еслих=зев,у=ее",з=юе дх) ( ду) дх ду' ц Для определепиа в и — как функций от в„и — „запишем смстему (9), п.4.2: в* в« вв Вв дх У дюЪ дз дю дм дх дю дх т ди!1 дм — ( 1 + и — у! + — е — = (1 + ю) —, — и — + — !!1 + з — т! ю (1 + те) —. дх (, д.
Г ду да ди' дх де ду ~ д У' = д Отсюда дх (1+в)в„дх (1+'")в вв в в в в — в вв вв в дх 1+и — +е — +ие — — У 1+и — +е — +зе —— в«в в в в в !вв, Таким образом, в новых переменных и, е и и данное уравиеиие имеет следующий вид: млм, после упрощений, (ив ) + (е — ") =ю~в —. > Преобразовать к поляриым координатам т и зт, полагая х = т сов з!, у = тба зт, следующие выражения: ди да да ди 1ди«!' (диз!' 159. а) ю = х — — у —; б) ю = х — +у —; в) ю = ~ — ) + ( — / = ду дх' д* ду' (,дх,т (,ду/ ' и Имеем да ди дт да дв ди да дт ди д!е — = — — + — — — = — — + —— (1) д.
д дх др дх' ду д. ду др ду' !ы вт ев е Проиаводиые —,, —, — „и — находим из сметем, полученмых в результате дифферемциро. заика равенств х = гсов р, у = т зш !«по х и у: дт . де дт . др 1=совр — -тмеу —, О««созе« вЂ” — тзшр —, дх дх' ду ду' дт дз! . дт ду! О = зш р — + т сее р —, 1 зш е — + т сае !Л вЂ”. дх дх' ду ду' 178 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векториото артумента Отсктла ду сову ду т дт ду вшу — = сову ах ' а (2) Равенства (1) запишем а вале да да . ди сову — = — иву (- — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
