Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и подставляя в результаты значения * = О и у = 1, получаем систему уравнений Зу' = О, 2+ Зуе = О, 2+ Зуе ю О, из которой находим у' = О, уе = -з, уе' = -з. и 103. Доказать, что для кривой второго порядка ахз + 26ху + суз + 2»6х + 2еу + ! = О справедливо равенство — (уе) 1 М Из уравнения кривой получаем 1 ! у = — (-(6х + е) ш с Находим вторую производную: (Ьз — ас) х + (Ье — сЫ) (Ь вЂ” ас)(ез — с !) — (Ьс — оЕ) 1 у с ((Ьз — ас)хе + 2(Ьс — сд)х+ сз — су)з Отсюда получаем равенство 1» (Ьз — ас)(ез — с!) — (Ьс — сд)з»1 з з (у") з = ((6 — ас)х + 2(Ье — сд)х+ с — с!) с зг дз ез ег д ег е» ду ег Для нашего случая имеем дз -Зуз уз дз хз — — — — — з Зе ху.
дх Ззз — Зху зз — ху' ду зз — ху' Учитывая, что х = х(х, у), находим вторые производные: (,з .у)„Р у.(," „) ("-*.).;.Ъ- (З.ж--р) 2 уз дхз (зз у)з (зз — ху)з ' 3 / е1 ! е» -з (3 — ху) ~я+у-) — уз ~2»- — х) аз з/ дх ду (з' — ху)з — ху)~з+» ) — уз( — х» з з з »-з! '1»»-з ) зз -2зху — ху (зз у)з ( з у)ъ ( з у)г дз, Зу з дуз (зз ху)3» ( 3 105. х = тДз:уз Зд /яз уз из которого следует равенству (1).
в Длл функции з = х(х, у) найти частные производные первого и второго порядков, если: 104. ' — Зху =а'. М Частные производные функции з, определяемой уравнением Р(х, у, з) ю О, находим по формулам 3 3. Неявные фуцицнн и Аналогично предыдущему имеем — —7 з Зд-у' + /ха уа -з( з ) /ха,ас а( * ) Из условия следует, что -г з з г соз = — +1 /ха — уз ха — уа зд— ~/хг — уг /ха уг ' Используя этн равенства, получаем х азу'. х' — уг ' ау Найти Из и о~з, если; 106. *- =1в -'+1. М Считая, что 3 = з(х у), в результате дифференцирования получаем з4х — хйа у УБ — зЫУ за г уа уз Их — хууг — уз Йх+ зз Ыу = О. Отсюда х(УУх+ зйу) у(х+ з) Дифференцируя Равенство (1) и выполняя упрощения, находим у(х + з) й х = х йх йу + (х Му — х Ыу) 1х — у 4з', откуда на основании равенства (2) окончательно получаем г(+ )з 107.
з — х се ьтсзд— У ч Дифференцируя, получаем (~)з (з х)а Таким зке способом нахоДим ф = --ал — а, ха Р Уз. Находим вторые производные, используя найденные первые производные: дгг (ха — уг) (а+х — ) — хз 2х (х — У ) (з+ -а — з — 2зх ох (ха уа)а ( г уг)г ( г уа)г дгз (х — у )х е — хз(-2у) (х — у )а ~а:-'„-у + 2ху» хуз з а Лх Лу (хг — уг)г (х' — уа)г (ха — уг)г аа, (х' — у') ( — уй) — уз(-2У) (г уар ( а уа)а' х 158 Гл. 2. Двфферевцвальвое всчвслевве фувицвй веиторвого аргумента отаода ((з — х) + уз+у) д(з- х) = (з — х)ЫУ, или (г — х) ду (.-*)2+ угу+ у Определив из равенства (1) (Гг + 2хГ2) дх + (Р1 + 2УР2) еу Р,'+2 Р,' (3) вычислим сумму 2Р2((з — х) Ых + (з — у) ду) дх+ Ыу+ дз = ,+2», Из равенств (2), (3) и (4) находим второй дифференциал: 32 4(Г1 Ргг — 2Г1Г2Г12+Гг Р11) (( )24 г ( )( „)е у (, „.з (уг) (Р,'+ 22Г1)1 !(Рг'+ 2хР2) Лх + 2(Г1 +2хР2)(Р1 + 2УР2) ехеу (Р1 + 2УР2) зу (Гг + 22Г2) (Р(+ 2 Г~)1 2Г1 ((х + ~(у )(Рг + 22Г2) Половина аозффнцнеита прн дх ду равна —.
Следовательно, З'1 ге ее' дгз 4(з — х)(х — у) ,з „ , , „ г (Гг Ггг 2Г1Г2Г12+Гг Г11) дхду (Г, +22Г,)з (Г1+2 Гг)з Гг+ 22Гг 14 О > 109. Найти д'з, если: а) Г(х+ з, у+ 2) = О; б) Г (-*, ~) аз О. м а) Последовательно дифференцируя, получаем Гг'(бх + йз) + Гг(еу + бз) = О, Г11(де + Ыз)з + 2Г12(бх + йз)(ду + Ыз) + Гз~з(ду + дз) + (Гг + Гз) д~з = О.
(1) (2) Дифференцируя равенство (1): ((» — х)г + уг + у) д~ (» — х) = -2((з — х) д(з — х) + у Ыу) д(з — х) и подставляя в результат выралсение для 4(з — х), найденное из (1), получаем г „з 2(у + 1)(з — х)((2 — х)г 4 уг) ((2 х)2 + ~ + у)1 дг 108. Найти —, если Р(х+ у+ 2, х +уз+22) = О. дхду' Л Последовательно дифференцируя данное равенство, находим Г1(дх+ ду+да)+Гг(2хдх+ 2УЫУ+ 22дз) = О, (1) Р11(дх+ ду+ 42) + 2Р12(ух + ду+ 42)(2хдх+ 2уду+ 22 Ыз) + + Р(14~2 + Ргг(2х Ых + 2у Ыу+ 22 42) + 2Г2(дх~ + ду~ + Ыз~ + яд~2) = О, где Г,' — частная производная по первому аргументу, Гг — по второму. Найденное из первого г! равенства выраясение 2хдх+ 2УЫУ+ 2242 = -ф(дх+ Ыу+Ыз) подставляем во второе, В результате после преобразований имеем -Г Ге 2Р'Г'Ге — Г' Гз (Г1+2Г2)222122+12мгы(1х+1+дз)2Р1(122+22+22)(2) Гг 3 3. Неявные функ»П»и 159 Из равенства (1)иакодим первый дифференциал: ,1 Г1 1Ь+ Гз зу Г1+ Г1 и вычисляем суммы Г1 ~х+ Г» ~у»'2)ох — еу) Газ»+ Г» еу Г1(зх — зу) »х+2»ж»х —,, =...
ау+о»=оу— Используя зтн соотношения, из равенства (2) находим второй дифференциал; я 2 = -(Г1 +Гз) (Гз Г11-2Г1гзг12+Г! Г»2) (хх — зу) . б) Имеем Г~»зх — хе» Г~»ку — уе» (3) »' 2»2 равенство на» и еще раз дифференцируя, получаем 2 о») з (»дх — хо»)(»ау — УЫ») о (»оу- У~Ь),, „2 + 12 »2 »2 (3) находим первый дифференциал: Г1' ах + Гз ау хГ,'+ УГ,' Умножая это „, (»ох — х 11 2 Из равенства и вычисляем суммы 1» = (хг1 + УГ») 1(гз Г11 2Г1Г»Г12+ Г1 Г»2) (удх — яду) > 110. Пусть х = х(у, »), у = у(х, »), » = »(х, у) — функции, ооределлемые уравнением дх ду д» Г(х, у, ») = О. Доказать, что — — ж -1, ду а ах З» Ш ч Предпола»ая, что х = х(у, »), из тождества Г(х(у, »), у, ») ш О накопим —, = -ф..
з» Поступая аналогично и в других случаях, получаем ау г,' а. г„' а. Г„" ах Г.' Из найденных соотношений вытекает равенство Уд»» 111. Найти — и —, если кх зу 1Ь 1Ь х+у+»=О, х +у +» =1. з м Даннал система опредш1ле» функции х = х(») и у = у(»), производные которых нъколлтся по формуле (5), п.З.З. Дифференцируя равенства (1) по х, получаем систему зх ду ях Ыу — + — +1=0, 2л — +2У вЂ” +2»=0, 1Ь йх ' Юз дх НЗ Квзоймй МВ2МВМ аз у Ш ж * Х 92 у Ш ,укх — хну ,удх — хду »Гз ~ р ~ »11У У11»»Г1 (5) хг1 + угз ' хГ,'+ УГ» Решая равенство (4) относительно кз» и используя равенства (5), находим второй дифференциал; 160 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента ~Ь Иу йх йу з з 1з 112.
Найти —, —, — — прн х = 1, у = -1 х = 2, если * +у»э -э, х+ у+ х = 2. ,Ь' Ых' Ьз' 1эз М Предполагал, что данкам система определяет фупкцин х = х(э) и у = У(х), дпффере»ь цированием ее по х получаем лк йу йх йу 2х — + 2У вЂ” »з х, — + — = -1. йз йэ ' йх йэ Полагаю в (1) х»» 1, у = -1, х»» 2, получаем систему йх йу — + — = -1 »)» й йх йу — — — =1 й» йз из которой находим — »з О, -а = -1. а»» Длю нахождения вторых производных продифференцирдем равенства (1) па % 2х — +2У вЂ” +2( — ) +2~ — ) =1, — + — =О. йэз зэз зх йз ' юхз эзз Полагаю в этик равенствах х = 1, у»э -1, — »з 0 и -к = -1, получаем систему, решал ь э э» 3» которуш,накодим Рх 1 з~у 1 хзз а' йхз 113.
Найти йе, йэ, йзз, И~э, если з+ э»» х+ у, уз1ве — хзш э»з О. ч Дифференцируя данные равенства, получаем систему йе т яэ = 0х+ йд, усов зйз — хсоээИэ = аз э йэ — аз зуд, решая которую, находим йз (хсозэ+ шве) Ох+ (хсоээ — паз) 0У (усове -ив э) дх+ (усове+шли) йу йэ— х соз э + у соэ в хсоээ+ усоэз Длл нахождения вторых дифференциалов продифференцирдем систему (1). После простых преобразований получим усоэзз з- хсозэй э»з (2соз эйх — хэшэйэ)йэ+(уэшзйз — 2соэейу) йз, йзе+йзэ = О.
Отсюда 4з ш -йэ— (2 соэ э ох — х зш э йэ) йн + (у ив з йз — 2 соэ к йу) йз .н у соэ е + х соэ э 114. Найти йз, йэ, йзе, о~э прн х = 1, у = 1, в»э О, э о —,, если е соз — = —, е* шп — = У У ъ/2 У ~4' ч Дифференцируя обе части данной системы, имеем хЦз з,(х ° „уй„,йд — — е* яв— Полагая здесь х = у = 1, е = ее зэ+ 4 йуээох~ йе+зэ -йу = чу х х из которой находим ез = -(ох+ ху), Пэ»з — ед -(ох — Ыу). 1 т 1 2 4 2 (2) э Н е* соху э Ю э» зш У ха У Уз ь/2 хйз — зйх " э дйэ — эйу»)у + э* омв у у' Л О, э = —, получаем систему Далее, дифференцируя равенства (1), получаем е* соз —. — ер мв + у хз у уз ю (1хде — ебх1~ ( У3(ю — юбу33 ~ -", е хди — еЫх + е соз — ~ ) — ~ — 2е* мя —.
у х2 ю хзя~е — 2(хбе — идх)ех " ю утехе — 2(убою-юбу)ЫУ с* ив-. + с соз —. + х у У (1х3(е-ебх12 (убою — бу) 1 " ю хбеу хз Полагая в последних равенствах х аз у = 1, е = О, ю = -, получаем систему Ы з — 2 беях — Ы с+ 24юбу — — 3(у +Не — (Ыю — — Ыу) — 24е (ею— 2 2 2 г 1 3Г 2 2 2 2 I 32 3(хе — 2дю3)х+ Ы ю — 2дюду+ — бу + Вз — (Ыю — — ду) + 2де (ею— 2 Из систем (2) и (3) находим е'и = дх~, лтю = -'(ду — ~Ь)~. > 22 115. Пусть х = 1+1 ', у = 12+1 2, х = 13+1 3. Найти — у, — х, — у, Ых' Йх' ~Ь2' убю-югу =О, У таю — юбу = О.
У2 -'бу) =О, (з) '-бу) =О. 4 < Система определяет две параметрически заданные функции; х =1+Г, х =3+3 32 + 1-2 и 13 +Г 3 Следовательно, бзу — „(Й) г(1 — 1-2) а з ~Ь2 "* 1 — г 2 33 — = 2 111 + -), т 34 Ы 21 — 21 3 / 1т 11 Гх Б и е3 23'-21 ' Ез =О (г'+ —,',+1), т~ы; тх е 1 — 1" и ~Й) б(г -1 ') ххз м 1 1-2 и жб(3+-), г~ы. > 416. Пусть х = 32(е, е), у = О(е, е). (1) Найти частные производные первого и второго порядков от обратных функций е = з(х, у), ю = ю(х, у). ч3 Дифференцируя равенства (1), получаем систему 3Ь = — 3(з+ — 3(», ду = — бе+ — 3)ю, ди др дй д11 (2) де д» ' де дю из которой находим дифференциалы от обратиык функций: 1 1дй др 1 1 /дй д33 йе = — — Ы~ — — Юу, Ы~ = — ~ — йх — — Ыу), 11дю дю )' 11де де где 1 = и Оя — яя яя. Кз равенств (2) пояучаем де 1 ди де 1 дгз дю 1 дг) дю 1 д32 — ю (4) де 1 де' ду 1 де' дх Х де' ду Х де' 1б2 Гл.
2. Диффереицивлытое исчисление фуикцвй векторного аргумента Дифференцируем систему (2); О ж — ела+ — еле+ — ба +2 — яабе+ — хе, др ду З'~Р л З'~Р длр э да де двл да де деэ О = — х в+ — б е+ — ха +2 — бабе+ — ле ЗО ай, а'О, алд З'О дв де дат да де дел и находим вторые дифференциалм от обратных функций: 1 Пдр Зла ЗО а'р'), )'ар Зэй аа З'р') е~а = — ~( — — — — — ) да~+ 2 ( — — — — — бабе+ 1~,,(,д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
