Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Найти д,*, если г(х, х+у х+ у+я) = О, 123. Найти д,т, если г(хх ух) = О. 124. Найти — *, д— , — *, —, если г'(х, у, х, и) = О, ф(х, у, з, и) = О. 126. Показать» что хд +уз +х —, =О, если из = Зх — 2у+х, и = х +у +г . д» д» д» з з з д» д» 126. хи+ уз = О, из — ху = 3, нри х = 1, у = -1 принимаем и = » = 2. Найти дч и д»» д»дз' д» д» 122.
Найти — и — если х = а соз и кв з, у = Ь соз и соз э, х = с соз и. д* дз' ~ 4. Замена переменных 4.1. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные. Пусть дано некоторое выражение У=У х,у,—,—,... Зу 4~у (1) Дх Зхз ' содержащее независимое переменное х, функцию х» у(х) и производные от у ло х до некоторого порядка, Требуется перейти к новым переменным — независимой переменной Г и функции от нее г» и(г). Причем зти переменные связаны с прежними переменными х и у уравнениями х =1(Г, и), у = у(й и).
(2) (3) 1;:„-:.'--.,~ (;:::„,';-' -. Используя равенства (1) — (3), получаем У=у г."",Р,",.... 4.2. Земана переменных в вырзнжлклх, содержащих частные производные. Ограничимся случаем двух независиммх переменнмх. В остальных случаях поступаем аналоги пю. Предножлким, что задано выражение дх дх А=г" хух,— — ... 1 ' ' 'даду'"' (1) содерлыщве незаансимме переменные х, у, фущщию (х, у) » х(х, у) и ее частные проивводиме. Нинсжз нелавкснмьгл переменкам х, у и фугщнки з требуегсл ввести коаые иезавксимые 1бб Гл.
2. Дифференэцгальное начисление функций векторного аргумента (4) (б) дв (др ар дх ) дш (др д»Ь дз ) дХ дХ д» вЂ” — + — — + — — + — — = — + —— ди (,ду дх ду/ де (,ду дх ду/ ду дз ду' из которой находим Эе Э» Э» ЭЭ Э» — — + — — —— ах э» ээ э ээ ээ аз + Эее» Э»Э Э с э.э э (7) Э» Э» Э» Э» Э» Э Э» Э» Э» Е» Частные производные второго порядка определяются из равенств, полученных в результате вычисления первого дифференциала от уже найденных производных первого порядка. Если же переменные и, е, в связаны с прежними переменными х, у, г уравнениями х ш ((и, е, в), у ш у(и, э, в), х = Ь(и, е, в), где функции у, у и Ь достаточное число раэ дифференцируемы, поступаем следующим обра- зом.
Используя инвариантность формы первого дифференциала в равенствах дх /ду д( д( /дв дв дх = — ~ — Ни+ — бе+ — ~ — Ыи+ — Юз)) + =а ~д д. аш~аи д. дх /ду ду ду /ав дв + — ~ — еи+ — аз+ — ~ — еи+ — ее)) = ау ~аи аэ дв (ди а, дй дй дЬ /дв дв = — еи+ — ае+ — ~ — эи+ — Ые) (8) ди де дш ди дз и сравнивая коэффициенты при аи, дэ, получаем систему Э» Эе Эе из которой находим — и — как функции — и —. Э» Ез Э» Э»' 124.
Преобразовать уравнения: а) у'у'» — буха х; нрэльйв у за нолуэо лезэвнслэвую перемою»ую. дЬ дй дв = — + — —. де дв ди' дй дй дв = — + —— де дв де' (9) б) у»зугэ ууу»у»у'»+ 32у ш О переменные и, е и новую функцию (и, е) ~ в(и, е). Переменные и, з, в выражаются через х, у, * с помощью равенств и ш в(х, у, з), з ш »Ь(х, у, х), в = х(х, у, з), (2) где функции э», »э и х достаточное число раэ дифференцируемы л — ",' е", ,-4 О в некоторой Ргшз,»1 области. Для решения поставленной задачи достаточно выразить аргументы функции Г через и, е, в, э~, —, ....
С этой целью запишем дифференциалы равенств (2): аи = — Нх+ — Ыу+ — — ех+ — ау дш дш дш (дх дз (3) а, ау а. ),ах ду дй дй д»Ь (дх дз бз ш — Ых+ — еу+ — — ех+ — ду а* а, а, (ьах ау д ав дХ аХ аХ (д а. ев = — Ыи+ — бэ = — ех+ — Ну+ — ~ — »х+ — »»у (б) ди дз дх ду дх (~дх ду Заменяя в последнем равенстве эи и бе их выражениями (3) и (4) и приравнивая коэффициенты лри ях и яу, получаем систему 169 9 4.
Замена перемениьси М Сотласно правилу дифференцирования обратной функции, имеем >1у 1 Гх Ж зз ,1з „ лх~ ~ еу зз с 3 зс зс з з Заменяя в равенствах а) и б) производные, ~, ~~ н,, толька что вычисленными их 4Х Зс Ес зчд значениями, иолу чаем: а) "„-у+х~ — ) О>б) азт О'» 2, 125. преобразовать уравнение у + -у +у = О, приняв х за функцию, т = ху за независимое переменное. < По формулам (3), л.4.1, находим ду 1 Ых хз' хз' и Зг 1,1 1 1 ( зхз зх,с ь зт ,сс зс (2) Из условия задачи и равенств (1),(2) окончательна получаем -сбу 4 у -с б / -с с)91 -зс /б у бу ) а' бхз Ит'1 Д.) ~И Ц' бу буба 1 (у 119 й >х (1 бх ы % И с' 11 ы зс Заменяя в данном уравнении х на е', производные у' н у" — вычисленными выше нх значениями, получаем — +у=у.
» Фу зтз 127. уы ' ~у, есви т = )в (х(. Вводл новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференциальные уравнения> 126. хауз+ ху'+ум о> если х =е'. < Имеем 170 Гл. 2. Диффереиииалаиое исчисление фуииннй векторного аргумента ч При * ~ 0 имеем с(у с(у й с(у вбвх 1 с(у с(зу 1 4 т1 с(у'1 1 (сПу с(у '1 с(х йНх й ~х! хй' с(хз хй~зй! хг(йг й)' Таким образом, данное уравнение пряобротает вид Фу ~Ру — — 3 — +2 — — бу=О.
и йз йг й 128. (1 — х')у« — ху'+и'у=О, лик=сова Ч Вычислим производные уу 1 й 1 4у с(~у 1 4 у 1 ссу'1 1 с(~у созт с(у 4 ь«,(у зшт й' бхг в) Зй(; З й! «шзв йг ввоз й' ьс Подставляя их в данное уравнение и заменяя х на сов П получаем бгу — +и'уоб.м йг 129. у + уЗЪх+ — у=б, если х=)в зб —. «с сл сЪзх 2 и Имеем с(у 1 с(у . 4у 4гу ы, сс У, ву'з . з 4гу . с1у — = — — = з)в Ф вЂ”, — = вш  — ~ма 1 — ! = ив 1 — + ав Фсоьс —. Ь* й й' Ы й1 й! й й' ьс А так как 1Ьх сх — совз, —,„, ш ив З, то з г сс г у +у11сх+ — у=вш З( — +оз у =О.
т .г сеу г з ,бгх (,йг ,сг Отсюда — з + глгУ = О. > сзо.„" ° сс.С,'с,С.с,=о. =.,( — ,')~ссСсс). о ° ф Находим производные « « о 4у Ои ( 1 Г )з р(х) ( 1 Г )з Йи р(х)и'1 ( 1 à — = — ехр — — (р(б)сК вЂ” — иехр --) рфс(4 = — — — ) ехр — -!з рЯс(( 4х 4х ~2/ ~ 2 ~2,/ ~ (,Ь 2) ~2) «о о «о с(гу сз Ри с)и и с)р ир~(хй 1 / — = ( — — р(х) — — — — + — ') ехр — ) рЯ4б с(хз 1, с(хг с(х 2 с(х 4 ) ~ 2,/ «о После подстановки их в уравнение получаем — + ~у(х) — -~ — — -р (х) и = О. р 4г„ / г( ) 4хз 1з 4 2 131.
хоу«+ хуу' — 2уз = О если я =в' и уш ивг', где и ми(1). Ь 4. Замена перемеппьзн < По формулам (3), п.4.1, имеем 12 4 (42) (Я+3 — „»+2а) е' (4", + 2а) е" гиц = ~ — +2и) е бх 42 '131 а~и аа +3 +2а Й' Й 4» Й2 31 Й Й2 42 22 42 (д1) ,1 з 4» Таким образом, данное уравнение принимает вид 22(а в аа аа г — +(31 +ц — + — =О, и Йз Й2 Й 135. Преобразовать уравнение Стокса у Ау 2, полагая а =, 1 = у (х — а)2(х — Ь) х — Ь' !х — а! 1в ~ — ~ и считая и функцией переменной д 1*- ь! < Из формул преобразованна при Я > О находим (а — Ь)е' а — Ь (а — Ь)и 1 - е'' 1 - е' Сяедовательно, Ау Аи(1 — е')з (ц (х - а)'(х - Ь)г (а - Ь)хе" Находим производные Ау -д , би — = Аа =(е ' — Ц вЂ” +а, бх 4* ж (2) бхз (а — Ь)е 42 бхз е' 42 Тогда уравнение запишется скедугощим образом; Ы а 0а — + (а + 3) — + 2и ж О.
р Йз Й 132. (1+ х')зу" = у, если х = 131 и у = —, где а = а(Г). созз' и Анькогично предыдущему примеру имеем »'с»224»ю 2 2 » 2 4 у а' созт — и миг+а мпт+исоз1» з — ж '", ' ж а'созт+июпт, — (и +и) соз д Ы дх где а' = — ". следоватехьно, —,(и + и)созе г = — ', или из ж О. ь 133. у»+ (х+ у)(1+ у ) ж О, если х = а+ г и у = а - г, где а = а(1).
< По формулам (3), пА.1, имеем 33 а' — 1 бзу 1 (а'+ Ции — (а' - Ци» 2и» ц +1' Йз а +1 (а~+ цз (а~+ цз 2 4 где и = — „, . Подставляя эти выражения в уравнение и заменяя в нем х и у соответственно иа и+1 и и — Г, получаем аз+За(а')з = О. З 134. уе' — хзу" + ху' — у = О, есяи х = — и у ж "-, где и = и(Г). м г' ч По формулам (3), п.4.1, имеем 4» 2 — -» бу я~т — Ыц 3~у — — — = -г — +ц, Дх 2 Й ' Дхз 172 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Аналогично поступаем, если '†' < О. » 136. Преобразовать уравнение (1-тз)зуб 4у = О, полагая з = СЬ Г, у = —, где и = и(1). сЬС ч Дифференцируя у как параметрнческн заданную функцию переменной Г, находим б' ат-б вт взу ивсЬЗ вЂ” исЬ1, в ° Ьз тб (и — и)СЬ а = и'сЬ1 — авьг 1 сыт б Отсюда м нз условна следует —, = О. » б,з 137. Доказать, чта шварцман а(з(г)) = — * — — ( — ) не меняет сваета значения *в'(1) з /вб(1) 1 в(Г) 2 (, '(Г),/ при дробно-линейном преобразовании у = вх(з) + 6 , вб — Ьс Ф О. сх(г) + й' и Имеем тз б з 2сз у = (вб — 6с) (сх+б)з' ~(св+б)з (сх+Н)з ) ' ~б з' бсзх без В 1 б з (ох+а)з (сх+Ы)з (сх+б)б ~ ' Отсюда (св+ Ы)з 2 1 а') се+ б у'в б ~(у(1)) = — , —- у 2 с' бсхб л' сх + д (сз-~- в)з з = т сов и, у = тиар, следую- Следовательно )=' (( " ")) 1 1 3 / у т в1в щ + гсов 'т ° з / У„,(, а тса,р1 т сов р, — тюли) =2т~йа»сав»~1+ ~ т'савбз — тмл а ~ ~'совет — тыв вт) ) Сравнивая равенства (1) н (2), после упрощенмй получаем ~ыа Иа Аи Из а (в — Ь) Преобразовать к полярным координатам т к о,полагая щие уравнению' 138.
—" = *+", < Используя формулы (3), п.4.1, находим — в1в зт+ т сов е У бт б. — саво — твш а б",ааа+тсови ом„>+в1вр соз о — ыв и бт бт После преобразований получаем — = т. » 139. (яу'-у)' =2*у(1+у ). ч Используя равенство (1) предыдущего примера, получаем з у бьз = Я(з(г)). » 128 у 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
