Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 36
Текст из файла (страница 36)
М 182. Вывести приближенные формулы с точностью до членов второго порядка для соз х 1+я+у выражений: а) —; б) агс10 —. сову' 1 — х+у а) Пользуясь формулами сает =1 — — +о(2 ), — =1+0+4 то(У ) 22 2 2 2 1 — у справедливыми соответственно прн 2 0 и у О, получаем 2 1 2 1 2 2 2 2 2 Х вЂ” у ж1--х +-у +х 2(у )+у о(х ) 1 —— 2 2 2 б) Обозначая 1(х, у) = агсгб —,, вычисляем у(0, 0), ву(О, 0), езг"(О, 0): У(0, О) = агсзб 1 = —; г(У(х, у) = зг 2(1+ у) Ых — 2х еу 4 ' ' (1 — х + у)2 + (1+ х + у)2 ' 4(0, О) = з(х; й .г(х, у)— -(2(1 + у) лх — 2х яу) (2(1 — х + у)( — ах + Ну) + 2(1 + х + у)(Ых + Ыу)) ((1 — х 4 у)2 + (1 + х + у)2) а~у"(О, О) = -24хлу. Далее, пользуясь формулой Маклорена г'(х, у) — У(0, 0)+ яУ'(О, 0)+ — а У(0, О) + ..., где ях = х, йу ж у, получаем искомую приблизкенную формулу 1+в+у зг агсгб ж — + х — ху.
> 1 — х+у 4 183. упростить вырикение ое(х+ у+ х) — сов к сов у сов 2, считая х, у, з малыми по абсолютной величине. М Используя формулу Маклорена для сает, имеем 1 созхж1 — —, созуж1- —, сазхж1 — —, сол(к+у+2)ж1 — -(к+у+в) . 2' 2' 2 2 190 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций вектораого аргумента Заменяя в дамном выраженим косинусы полученными приближениями и отбрасывая величины выше второго порядка малости, находим 1 соз(х+ у+ з) — созх соя усов з ш 1 — -(я+у+ з) — ( 1 — — ) ( 1 — — ) ( 1 — — ) = 2 ж1 — -(х +у +з ) — (ху+хз+уз) — 1+-(х +у +х )--(х у +х з +у з )+-х у з 1 з з з 1 з 2 2 1 2 з з 3 2 2 1 2 3 3 2 2 4 В -(ху+ хз+ ух), !ь 184.
Функцию Р(х, у) = -(У(х+ Ь, у) + У(х, у+ Ь) + У(х — Ь, у) + У(х у Ь)) - У(х, у) 1 4 разлоясить по степеням Ь с точностью до Ь». < По формуле Маклорена, имеем з з Х(х, у) = — У+ЬУ, + — у»з+ — У,'~+ — У,» +о(Ь )+ 1 с Ь» Ь» Ь»ч» 4~ ' 2 * б 24* з з » з з » Ь сс Ь» Ь ш +У+ЬУ„+ У„,+ У„,+ У„, +о(Ь)+У-ЬУ.+ — У.,— — У..+ — У. +о(Ь)+ Ь» Ь „, Ь»сс 2 з » Ь» Ь ч» + У вЂ” ЬУ + — У» — — У'»+ — У с + о(Ь ) 2" б" 24" где значения функции У м ее производнык У!"1, в ю 1, 4, вычислены в точке (х, у). После приведения подобных получим Р(х, у) (Уз» + Уз») + (У» + Уз»)+ 0(Ь ).
в 185. Разложить по степеням Ь и Ь функцию 1.„У(х, у) = У(х + Ь, у + Ь) — У(х + Ь, у) — У(х, у + Ь) + У(х, У). и Сначала запишем разложение функции (Ь, Ь) м У(х+Ь, у+ Ь) по формуле Маклорена: ( ) ( ) дУ(х, у~ д~Ях, у) Ьз дзУ(х, у) дх ду +2 дз + +ЬЬ ' + — ' +»' — (Ь вЂ” +Ь вЂ” ) У(х,у). (1) дзУ(х,у) Ьз дзУ(х,у) " 1 У д д!" дхду 2 ду ' в! (1 дх дуУ' »з Представляя символическую запись в-го дифференциала в следующей форме: м ж д д т-с в. „„д" У(х, у) дх ду) ' л-~ »в!(в — »в)! дхс» ду» '» »з в! „„. '!"У(х, у Ь.д»У(х, у) +Ь.д»У( х»»в!(в — »в)! дхв ду" дх» ду" » 1 разложемне (1) запишем в виде дУ(х, у) дУ(х, у) Ьз Фах, у) дзУ(*, у~ )Ьз дзУ1х, у дх ду 2 дхз дх ду 2 дуз Ь"Ь»-" д»У(,, у) ~ 1 У' „д"У(х, У) „д"У(х, у~) д-» ~-~ »в!(в — »в)! дх»сду»-с» ~-~ в! \ дх» ду» з с»З 192 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Аналогично, если й = 2» — 1, то 1(1, 2» — 1 — 1) ж О. Следовательно, интеграл (2) отличен от нуля только в том случае, если й = 2», 1 = 21»: 2» 1(21», 2» — 2т) = — ! свози раш " ~~ !» <бр. г о Вычисляя этот интеграл интегрированием по частям, получаем 2т — 1 1(2т, 2» — 2пз) = 1(ут — г,г — г +2). 2в — 2»1+ 1 Отсюда саедует, что (2т — 1Н2пз — 3) ... 3 1 1 О, 2») (2» — 2пз + 1)(2» — 2т + 3) ... (2» — 3)(2» — Ц (2»2 — 1)!!(2» — 2т — 1) !! 1(О, .2в).
Пользуясь тем, что 1В~, 1 „„т 1Ы „„ 1 1 2п 2 . 2 (2» — 1)!! 2т / т / (2и)!! о о получаем (2т — 1)В(2» — 2т — 1)В (2в -1)В (2»1 — 1)!!(2в — 2т — 1)!! (2» — 1)!! (2»)!! (2»)И Далее, учитывая, что (20 — 1)!! = „"„= 2 1,', окомчательно кмеем то-ыотю1' мю! 1(2пз, 2» — 2т) = (2т) !(2 в — 2т) ! (3) Заменяя в раэложенмм (1) 1 на 2», 1 на 2т и используя равенство (3), получаем (2»)! (г )!(г -г )! д'»1(ху) Я-и (2»)! ~-» (2по)!(2» — 2т)! 22»и!т!(» — пз)! дхз дУзп 2 п»1 па »»зп»з о и а п»1 оо оо где 23ж — + —, И оа' ' Разложить в ряд Маклорена следующие функцми: 187. У(х, у) = (1+ х)"(1+ у)п.
и Имеем ~(х, у) ж~(0, 0)+31(0,0)+ —,д'5(0, 0)+ .... Вычислим в точке (О, 0) значения функции и ее дифференциалов: У(0, 0) = 1, 4(0 О) = тЬх+»23у, И~ДО, О) = пз(пз — 1) Ьх~ + 2ти Ьх Ьу + и(в — 1) 2302, Покатав здесь 23х = х, »ау = у н подставляя результат в равенство (1), получаем разложение функции (х, у) 1 У(х, у) в ряд Маклорена; 1(х, у) = 1+ тх + »у+ - (1»(по — 1)х + 2тиху + в(в — 1)уз) + .... И 2 з 5.
Формула Тейлора 103 188. !(х, у) = 1а(1+ х + у). ч Поскольку (х, у) и 1+ х+ у — линейная функция, то форма дифференциала любого порядка обладает свойством инвармаитностм. Поэтому у( ) ~~,п~( 1) -1 (в+ у) ~,п ~( 1) ~п о ~ «-п1 «1 ««1 и О « — х у, (х+у~ <1. и гп!(о — от)! 1 ~ а 189. !(х, у) = е* вн1 у. и Ряд Маклорена для функцки !(х, у) = !(О, О) + ~ — 1) х — + у в ) !(О, 0) д и! ~ дх ду) преобразуем следующим образом: !(х у) ы ~~' ( х + у ) !(О О) = 1/ д д! и! ( дх ду) «о "-- и!х у"- д"У(0,0)," " * у«- дпу(0, 0) и! д и гл((и-по)! дт,'"ду" х. 1я в т!(и ш)! дхыду» — »' =Е-Е ..
'- =ЕЕ ««о ~«о п«о «о Полагая и — »о ж й, получаем ~~" х"уо д"'"У(0,0! ~ 1 '-«е%! дх ду" Ма п«о Дтя нашего случая дюап!(х, у) д п~(с*вшу) и ! „т) Отсюда д +1!(О, 0) , хт ) (-1)", если й = 2о+ 1, дх"'ду" 2 '~ О, если й = 2«, Подставляя последнее выражение в формулу (1), получаем 1)п «2«»1 е'юлу=~ ) ", (х(с,(у(с о. м по!(2» + 1)! 190.
!(х, у) = е* соз у. и ггспольэуем формулу (1) мз предыдущего примера. Для этого находим производные и вычмсляем их значения в точке (О, 0)1 г"2«п = н 1-»..., 1 2„ о-г +и Пользуясь формулой (1) из презшцгу'цсго примера, окончательно получаем оп пп е сову жЯ.фз~ г зв!(2и1 (х) < оо )у! < оо. Ь 194 Гл. 2.
Дифференциальное исчисление фупкдий векторного аргумента 191. а) у(х, у) = вшх злу; б) у(х, у) = соахсЬУ, о а) Находим производные до азу( ) д 22( 1пх 1!У) / вш(х+ — ) вЬУ, если 9 = 2а, дУ д* ду ) оп(х+ — ) слу, если Й ж 2в+1. Полагая здесь х = О, у = О, имеем д вью(0, 0 дх дув = (-1)', если т = 22+ 1, 9 и 2в+ 1, ды" У(0, О! с = 0 в остальных случаях. дх ду" Используя формулу (1) из примера 189, получаем ( 1о 2221 2 21 вш х вЬ у — ~~ ~, )2! < со, )у( < оо. (22 + 1)! (2н + 1)! ' б) Аналогично предыдущему случаю находим д'о+!у(х у) д~+1(с, хсь у) ) сов(х+ — ) сЬУ, если 9 = 2в, дУ дх дг":~ сов(х+ — ) влу, если 9 = 2о+1.
Отсюда дог" У(0, 01 — — '-~ = (-1)', если ш = 22, 9 = 2в, дх- ду д'"+ьУ(0, 0) ы 0 в остальных случаях. дх ~ дуз Подставляя найденные значения производных з формулу (1) нз примера 189, получаем сов х сЬ у = ~ ~~ 1 — — -, ф < оо, ~у! < оо. > (2в)!(2в)! 22 =а 192. У(х, у) ы вш(х'+ у'). о Используя известное разложение 1)о-1 2о-1 (2а — 1)! справедливое лри )в) < сю, получаем прн а = хз + уз формулу маклорена для мп(ха + у ): ( 1) 1(х2 + уз)во 1 мп(х +у)=)~~, х +у <+оз.м (2в — 1)! о=! 193.
Написать три члена разложенкя в ряд Маклорена функции ! + )!22,1 в и Прм )х( < 1, (у( < 1 имеем 1 и* )=3(1+! + Г (à — 1)х+") 2 в ,((г, у) = Щ 1) + ~ — ((г — 1) — + (У вЂ” 1) — Д1, 1). д д '1" «)( дх ду ««1 Преобразуя данную формулу ((* У)=Ей~(* 1)д +(У ')О)~б('')жЕР~ ю( — ° ). д*-д,--- 1 / д д'1«1 а!(х — 1)ю(у — 1)«ю д" ((1, 1) ««а «а ъ«а и обозначая п — ш = й, получаем .г'(г, у = 2 ~-~ ч (г — 1) (у — 1) д +" г" (1, 1) а«а «1«а (2) Находим производные д«аау(г, у) д ~та(г*+г) д 'г» дгг" дг дуг дг"' ду" дг ду" в в"Ргы г затем вычисаяем их значению в точке (1, 1): — — - -~ = е и, додставяяя в формулу (2), поаучаем ~(г,у)же ~ ~ *, )г)<оо, )у)<оа. М а а «г«а 195. Пусть г — та неявная функция от г н у, опредеаяемая уравнением гз — 2гг+ у = О, которая при г = 1 и у = 1 принимает значение г = 1.
Написать несколько членов разложении функции г по возрастающим степеням биномов (х — 1) и (у — 1). м Из условия задачи саедуег, что г(1, 1) = 1. Находим частные производные от г как от неявно заданной функции: дг 2г д. =За 2г' 2(Зг — 2г) в' — 2 (бг — ' — 2) г дг 1 ду Згг — 2г ' в дгг бг — — 2 в* бг — * в* вг дг г дуг (З вЂ” Зя) ' дгг (Згг 2з)г дг ду (Згз — 2*)г В точке (1, 1) дг дг дгг дгг дзг — ж2, — „=-1, — =-16, — ж10, — =-б: дг ' ду ' дгг ' дхду ' дуг Испоаьзуя формуау (2) предьгдущей задачи, получаем г(г, у) = 1+ 2(г — 1) — (У вЂ” 1) — 8(я — 1) 4 10(* — 1)(у — 1) — З(у — 1) + ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
