Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и вычисляем ик значения в стационарной точке (а1 ю з"„2): -2 1 х2421 2(1 .!. 4)2 ' х2422 1Я 4 у 2 ' ~ х2422(1.(- д)2 ' 1 (1) 1=1, й — 1, )=в+2,о, ха22,в — 1; ! -2 ,2 зэ-з(1,~ )2' "" зз 2»-1(1,1,)2 Как и в предыдущих прнмерак, вычисляем определители Ам, образованные из коэффициентов квадратичной формы и И з(М) = ~ з,э Йх, ух). 1 (2) 1 Поскольку числа ац в равенствах (1) имеют общий множитель —..., то, вынося его эа знак определителя, получаем о 2 1 2 1 1 2 0 2' 21 0 ... 0 0 ...
0 — 0 1 2' 1 ( (1 ! ))2м (3) 0 0 0 0 ... эх — "т — т Преобразуя определитель (3) к треугольной форме 2 ! -т 2 9 1 0 221 0 0 1 22 1 221 0 ... 0 0 1 (а(1+ 4))2 а затем вычисляя его, имеем А,з = -1 м )-1 , . Отсюда следует, что А1 < О, Аэ > О, Аз < (Ж1+2))2 2 '' О, ..., т. е, что квадратичная форма (2) отрицательно-овределенная. Поэтому функция з, а вместе с ией и функции х в точке М имеют максимум.
и Найти экстремальные значения заданной неявно функпии 2 от переменных х н у: 214. хэ 4уэ+ «2 Ох.~!у 42 10 = 0 и Функция Г(х, у, 2) щ хэ+у +22-2х+2у-42 — 10, (х, у, х) е %~, является многочленом, а поэтому непрерывна н днфференцнруема сколь угодно раз. Следовательно, в окрестности юобой точки (хо, уэ, хо), в которой Г = О, Р,' ф О, выполнены все условия теоремы 1, п.3.3, согласно которой уравнение Г(х, у, х) = 0 определяет неявную функцию (х, у) 1 2(х, у), принимающую в точке (ха, уэ) значение х,. Эта функция сколь угодно раз днфференвнруема. Для определения стационарнык точек и значения функции в нит составляем систему Р, и 2х — 2 = О, Р„' щ 2у+ 2 ю О, Р щ х + у + х' — 2х+ 2у — 42 — 10 = О, из которой находим М'1=(1 -1), 21=-2; Мз=(1,-1), 22=6.
Поскольку цроизводнал Р,' % 2 — 4 в точках (1, -1, -2) н (1, -1, 6) отлична от 'гуля то уравнение Г = 0 в окрестности кюкной иэ этик точек определяет иелвиую функцию (х, у) ~ х(х, у), принимающую в точке М, значение хо ! м 1, 2. 3 6. Экстремум функции векторного аргумента 209 Для проверки достаточных условий экстремума находим частные производные Е"2 2, Р", »х 2, Р,'„', и 0 и, пользуясь формулой (2), ц.б.б, вычислдем второй дифференциал в э стационарных точках.
Поскольку в точке М1 при х = — 2 62~ — (4)хэ+ Зуэ) > 0 4 а в точке Мэ при х ж б Л = - ~ (Зх + 4(у ) ( 0 4 та Х»»»=-2,24»„ыб Прн я=1, 3=-1. М 215. хэ 4 у + 22 — хх — ух+ 2х+ 2у+ 22 — 2 = О. < Иэ системы Г»Ш2х2+ 2 0Р»ш23 э+2 0ГШх+У+вххУ24-2х+2У+22 — 2=0 находим стационарные точки и эначения функции М, =(-3+4/б,-3+Я).
21 ы-4+2 6; М, »х(-3-ь/б,-3-4/6), 22=-4-губ. Находим производные Г,' = 22 — х — у+ 2, ~Р» — — 2, Р„, = 2, Р,'„= 0 и, убедившись, что Г, ~ 0 в точках М1 и М2, вычисляем второй дифференциала этих точках; 1 (62+» 2) 42(М) 1 (6 2+» 2) Следовательно, 24»1» = -4 — 24/б в точке Мт и в„„„= -4+ 24/б в точке М1 . и 216. х' + ув + х' — 2аэ(хт + уэ + х') = О, а > О. < Для определения точек возможного экстремума решаем систему Г,ш4х — 4а х=0, Г =4у — 4а у=О, Гшх +у +х — 2а(х +у +2)=0, З 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 и* которой находим шесть стационарных точек и шесп, значений функции: М1 = (О, 0), 21 = ат/2; Мэ = (О, 0), 22 = -а4/2; Мз,в = (жа, жа), 24,4 = а»/1+т/3; Мв,в = (ша, жа), 2,, = -а4/1+ 4/3.
Далее, находим производные Г, = 4х — 4а х, Р 2 = 12х — 4а, Р„» = 12у — 4а, Р = О. Поскольку Г,'(М,) ув О, 1 = 1, б, то в окрестности каждой иэ найденных точек уравнение Г = 0 определяет неявную функцию (х, у) »» 2(х, у), принимающую в точке М, значение х„ 1 = 1, б. В точках Мб 1 ш 1, 6, вычисляем второй дифференциал а~ 2. 6' (М') — бх +46 3' (М ) — -"* + Зу 6'х(М1,4) =, 3'х(Мв,в) = -2(4(хэ+ 632) 2(бхэ+Зуэ) а1/3+ Зъ/3 ах/3+ Зь/3 Следовательно, в точке М1 функция имеет локальный минимум (х»»» = а4/2), а в точхе Мэ — максимум (х»4„= -а»/2), в точках Мв,в — максимум (э~ш ы а1/1+ 1/3), в точках Мв,в миним1м (ха1» атв 1+ \43). и Исследовать ка условный экстремум следующие функции: 217. х = х~+ хэы+. +а~, еслн х1+ хэ+-"+х = аа, а > О, т > 1.
< Составляем функцшо Лагранжа (си. формулы (2), п.б.б) 210 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и записываем систему Ф', =та*';" '+ЛтиО (т'ыТ,и),~ з,=ив, =1 из которой находим Л = -тиа ' и координаты х, = а точки М возможного экстремума и (а, а, ..., а). далее, находим второй диффереициал ИзФ = ти(ти-1) 2', э, залу и вычисляем =т его значение в точке (М, Л): й Ф(М, Л) = ти(ти — 1)а ~~т йз,, 1 Так как РФ(М, Л) > О, то в точке М функция з имеет минимум (з„„= иа"), й 218. и = зув, если зт + уз + вз = 3. а Аналогично предыдущему примеру составляем фуикциюЛагранжа Ф = куя+А(х +у + зз — 3) и записываем систему для определении Л и координат тачки воачожного экстремума: Ф'.
ти уз+ 2Лз ти О, Фр ти зз+ 2Лу ти О, Ф', = ху+ 2Лв = О, хз+ уз+ *э = 3. Из этой системы находим восемь стационарных точек: Мт = (1, 1, 1), Мз = (1, -1, — 1), Мз = (-1, 1, -1), Мв = (-1 -1, 1) для Лт - ---' и Мв = ( — 1, -1, -1), Мв = (-1, 1, 1), Мт = (1, — 1, 1), Мв = (1 1, -Ц для Лз = .;. Находим второй дифференциал функции Лагранжа ОзФ = 2Л(йхз Ф Оуз+ Ы)+2зйяйу+ 233эйз+ 2з3у3з (1) 1 Для Лт тэ -- и точки Мт имеем р а~Ф(Мт, Ат ) = — т(з~ — ау — Из~+ 2 ах ау+ 2 аз аз+ 2 ау 3з = -(ас — Ыу) — дзз+ 2(3с + Оу) Ыз, Заменяя в последнем слагаемом дифференциал Из его значением, найденным из уравнения связи в точке Мт, ав = — (т(з + Зу), получаем неравенство я~Ф(Мт, Лт) = -(йз — Ыу) — Ыв~— 2(Оз+ т(у) ( О, из которого следует, что в точке Мт функция з имеет максимум.
Для Лт = --' и точки Мз из (1) и уравнения связи получаем йзФ(Мз, Лт) = -эс~ — Иу~— йз — 2асау-2 ах аз+2 ау аз, ас = Ну+аз и следовательно, и Ф(Мз, Лт) = -(ав-ау) -аз 2(йу+ аз) < О, поэтому функция и в точке Мэ имеет максимум. Аналогично устанавливаем, что функция и имеет максимум в точках Мз и Мв. Во всех этих тачках ииы = 1. Для Лз = — и точки Мв из (1) н уравнения связи получаем Ы Ф(Мв, Лз) ти Из + Яу + Из~ — 2 йз ау - 2 Ия т(в — 2 3у аз, Ох + йу + Оз = О. Отсюда следует неравенство йзФ(Мв, Лз) = (3с — ау) + Нз~+ 2(аз + ау)з > О, из.которого заключаем, что в точке Мв функция и имеет минимум. Легка убедиться, что з точках Мв, Мт и Мв функция и также имеет минимум, причем иим = -1. й 219.
и = * у" в', если з + у+ з = а (* > О, у > О, з > О, ти > О, и > О, р > О, а > 0). а Очевидно, экстремальные точки функций и и э = 1аи совпадают. Поэтому будем исследовать на условный экстремум функцюо э та 1н и зв ти1а з+ и)и у + р!из при условии э+у+в=а.
Составляя функцию Лагранжа Ф ш та1аз+ и1к у+ р1и з+ Л(я + у+ з — а) и систему Фв = — + Л = О, Ф'„= -+ Л = О, Ф,' = — + Л = О, э + у + з = а, находим координаты точки воэмоткного экстремума: и = итй у = ие, з = рт, где В = — „ эта игр Поскольку второй дифференциал функцик Ф з итал~ иауэ раз а~Ф = — — — —— зз уз зз и образовав систему Ф'„ = — + Л м О, х Ф,=-+ЗЛ=О, х+2у+Зх=а, =3 э Ф'„= — +2Л = О, у получим Л и координаты стационарной точки; Л = --' х = у м э = -'. А так как второй а' дифференциал б Ф = — —, — У«- — —, в стационарной точке удовлетворяет условию У' г «а а а бэ 36 э г г «6 Ф...
— — («(х +бу +бэ ) < О, 16' б' 6 а/ аг «в«вЛ то функциа о, а вместе с ней и функция а имеют в этой точке максимум (иа«„= (-) /. М (б) /' 222. а = хух, если хг + уг + х' = 1, х+ у+ х = О. ц Приравнивая к нулю производные фунвции Лагранжа Ф = хух + Л(х~ + у + хг — 1) + И(х+ у+ х) по х, у и х, получаем систему Ф', = ух+ 2Лх+н = О, Фв - -хх+2Лу+ и = О, Ф', = ху+2Лх+и= О, решая которую совместно с уравнениями связи хг + уг + хг = 1, х+ у+ х = О, находим шесть точек возможного,экстремума: М, = р, —, -- /, Мг = (~, -у, чх/, Мэ = «( г г э э Л ,,--,б -~3) ° .Л= —,, 6 б.
Экстремум функции векторного аргумента 211 в точке (тй иц рг) удовлетворяет неравенству а Ф = — ( †,, + -„уу + †«г/ < О, то функция з«» «ВВ«1 """"' *'*'""( 'ь «)" " ( ..-«„-ааэ..-). х у э 220. и = хг+ уг+ гг, если — + — + — = 1 (а > 6 > с > О). аг 6« сг г г г е Дифференцируя функцию Лагранжа Ф = х +у + «+ Л ( «+ у«+ —, — 1) по всем переменным и присоединяя уравнение связи, получаем систему 2Лх, 2Лу, 2Лг хг уг эг Ф', м 2х+ — = О, ФР„м 23+ — м О, Ф', м 2«+ — = О, — + — + — = 1, аг э 6« сг аг 6« сэ из которой находим Л и точки возможного экстремума; Л«,г = -с, М«« — — (О, О, хс); Лэ, в = г -а, Мэ в = (жа, О, 0); Лэв = -6, Мэв = (О, ж6, 0). Для проверки достаточных условий находим второй дифференциал Н Ф = 2 (1+ — «) бх + 2 (1+ р) 30~ +2 (1+,«) «6«г. Из неравенств «6 Ф(М«,г, Л«,г) =2 1- — «6х +2 1 — — «бу >О, аг! «Л «Л аФ(М«в Лэв)=2 1 — — /«у +2~1 — — /««6« <О « ") следует, что в точках М«,г функция о имеет минимум (и««,« = с ), а в точках Мэ,«в г максимум (ив««* = а ) г И точках Мэ при Нх = О, дэ М О в( Ф(Мцв Лэ.в) ( «) О, Ыэ = 0 а Ф(М«,в, Лэ,в) = 2 (1 — — «/ «6х > 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
