Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 42
Текст из файла (страница 42)
н Определить наибольшее (зар) и наименьшее (шу) значения функций з указанных областях: 232, х = ха + Кз — 12х + 1бу, есан ха+ Оз < 20. э б. Экстремум функции векторного аргумента 217 М Функция з непрерывна в замкнутом ограниченном множестве (ха+ уз < 25). Поэтому, согласно известной теореме Вейерштрасса, она иа этом множестве достигает своих точных верхней и нижней граней.
Очевидно, эир з(ш( з) равен наибольшему (наименьшему) из значений функции з в точках возможного экстремума на множестве (ха+ р < 25) или в точках возможнога условного экстремума, если х + р = 25. э Поскольку система э,' = 2х — 12 ж О, з„' = 23+ 16 = 0 не имеет решений, принадлежащих множеству (хэ + рэ < 25), то зир э и вИ э достигаются на окружности хэ + рэ ж 25. Составляя функцию Лагранжа Ф = ха + рэ — 12х+ 1бр+ Л(25 — хэ — уэ) и решая систему Ф, = 2х — 12 — 2Лх ж О, Ф„' = 2р+1б — 2Лу = О, ха+ р =.
25, находим две тачки возможного условного экстремума М! = (3, -4) и Мэ = (-3, 4). Вычисляя значения функции э в этих точках э(М!) = -75, з(Мэ) = 125, заключаем, что эир э = 125, цб з = -75. З 233. и = хз + 2рэ + ззэ, если зз + рэ + зэ ( 100. М Аналогично предыдущему примеру иэ системы и',=2х=0, и'„=4р=0, и,=ба=о находим стационарную точку М! = (О, О, 0), принадлежащую множеству (хэ+ рэ+ зэ < 100) . Составляя функцию Лагранжа Ф = х' + 2рэ + Ззэ + Л(100 — хэ — рз — ээ), мз системы Фэ=2х — 2Ах=о, Ф'„=4р — 2Ау=о, Ф',=бз-2А*=О, хэ+р +э! =100 находим три точки возможного условного экстремума; Мэ = (10, О, 0), Л! -- 1; Мэ (О, 10, 0), Лэ = 2; М» = (О, О, 10), Лэ = 3. Из равенств и(М!) = О, и(Мэ) = 100, и(Мэ) = 200, и(М») = 300 вытекает, что зир и = 300, »пЕ и = О. М 234.
и=х+р+з,еслихэ+р (з(1. м Легко убедиться, что функция и не может иметь экстремума во внутренних точках области определения, поэтому зори и ш(и достигаются мли па основании конуса О ( х + э у ( 1, з = 1, или на боковой поверхности конуса э = х + р, 0 ( з < 1. 2 2 э Пусть 0 ( хз+ рэ < 1, з = 1. Составляя функцию Лагранжа Ф = х+ у+ 1+ А(1-х' — р ), из системы ф' =1 — гЛ =О, ф' =1 — гЛЗ= О, х'+Р'=1 находим четыре точки возможного экстремума: Теперь находим точки возможного экстремума функции и ж х + р + хз + р, если О ( 2 ха + р < 1, Имеем и', = 1+ 2х = О, и'„= 1+2р = О.
Отсюда и мз условна з = ха + рэ ! 1 »! получаем еще одну точку возможного экстремума (--, —, -). 2' 2' э Вычисляя значения функции и в найденных точках, заключаем, что лири = 1+ъ»2, ш1 и = ! 233. Согласно принципу Ферма, свет, исхадшций из точки А и попадающий в точку В, распространяется по кривой, для прохождения которой требуется минимум времени. Предполагая, что точки А и В располоэкеиы в различных оптических средах, разделенных плоскостью, причем скорость распространения свата в первой среде равна е», а во второй зэ, вывести закон преломления света.
м Пусть г! — время прохождения света в первой среде, ь! — во второй. Тогда (рис. 1) — Эз = — „„. Требуется исследовать на экстремум функцию Т = Г! + Гэ = ь —, + „„., при условии, чта 1=абба»+ баб аз. 218 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Записав фующию Лагранжа Ф = — „„, + „„э, + А(1— азб о, — 3 16 аз), из системы азш ог Аа Ф, — — — — о, сз созг ог созг аз 8зш аз АЬ аг созз ог созз аг 1= агбог+ Ьзбог найдем,что в стационарной точке выполняется условие зш аг зш ог Л= — ж— с! сг Рис. 1 Отсюда и из последнего уравнения системы можно найти число А, а затем углы аг и аз.
Но делать этого не будем, так как в дальнейшем конкретнме значения этих величин нам не понадобятся. Для проверки выполнения достаточных условий находим второй дифференциал +2о з ' ( — Л)) эаг+( +2Ь з ( ")) ог' В силу условия (1), в стационарной точке И Ф = г а г Ь Наг+ б >О. с~ созоз сг соя ог Следовательно, функция Т имеет минимум, если выполняется равенство — — ь = — ', кото- "1 "г рос дает нам закон преломления света. и Упражнения длв самостоятельной работы Найти экстремальные значения следующих функций: 151. х = хз + ху+ Кз — Заз — ЗЬу.
152. х = х'+ у~ — 2хг+4ху — 2уг. 153. х = ха + — 9х + 2Т п н 0 < х < а, О < у < а, а > 3. 154. х= (а — х)(а — у)(х+у — а). 155. з=(асозх+Ьсозу) +(амвх+Ьмпк) . 156. в = хкх(4а — х — у — з). 157. в = хг + кз + хг — ху+ 2х+ х. 158. а = * ~з ~', х > О, у > О, х > О. 159. в = — * + †" + †*, х > О, у > О, х > О. эзэ ' ' ' ' з+з э+э э+з' 160. бхг+ бух +бхг+4х — 8у — 8х+5 = О. 161. 5хз+буг+ бзг — 2ху — 2хх — 2ух-72 = О. 162 хзу Зхуг 4 бх Ф уз Ф Ту Ф хг Зх 14 О 163 хз + уз + хз 2аг(хз 4 уг 4 хг) Найти наиболыпее и наименьшее значения следующих функций, связанных указанными условиями: 164.
в ж х+ у; — г+ — ж —. 165. в ж х у х; 2х+ 33+ 4г = а. г г г гзц 166 в = хз+ 29г+ Зхг; аз+ уз+ хг 1 с+ 29+ Зх = О 167. в = хух; х+ у+ з ж 5, ху+ ух+ хх = 8. 168. в = хз 1-уз Фаз; [х Фтк 1вхж О, (хз 4уз 4яз)' = ахз 4Ьгрг+сгхг. эг г эг з г г 169. в ж;ч + Лат + р, х + у + х = 1, Ьх + ту+ ох ш О.
170. Неравекство Адамара для определителя третьего порядка а Ь с в = аз Ьг сз аг Ьг сг имеет вид )в(<1,еслиа +Ь +с =1,аг+Ьг+сг=1, аз+Ьз+аз= 9 6. Экстремум функции векторного аргумента 219 Доказать это неравенство. 171. Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы иаименьшек. 172. Найти точку, сумма квалратов расстояний которой ло данных точек была бы наименьшей.
173. Найти наибольший объем параллелепипеда, если сумма его ребер равна 12а. 174. Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 21 и 2с описать наименьший по объему эллипсоид. 176. Через точку (а, $, с) провести плоскость, образующую с плоскостями координат тетраэлр наименьшего объема. 176. В данный конус вписать пркмоугольный параллелепипед наибольшего объема. 177. Каком нз конусов с данной площадью боковой поверхности Я имеет иаиболыпий объем? ««« 1Т8.
Найти площадь э эалнлса, полученного при сечении зллипсо«ща — *, + к««+ — ', = 1 плоскостью )я+ ту+ э« = О. э 2 «« 1Т9. Провести к эллнпсоиду —, + г«т+ —,, = 1 касательную плоскость с наименьшей а« суммой отрезков на осях. « 166. В сегмент эллиптического параболонда « = -т+ — ",, вырезанный плоскостью « =?«, вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшим объемом. Ответы Глава 1 1.
Сходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходится. 5. Сходится. 6. Расходится. 7. Сходится. В. Сходится. 9. Расходится. 10. Сходится. 11. Расходится. 12. Сходится. 13. Сходится. 14. Сходится при а > -. 15. Сходится при а > —. 17. Сходится при а > 1. 18. Сходит! ! ! т ся при а > 1. 19. Сходится при а < -1. 20.
Расходится. 21. Сходится. 22. Расходится 23. Расходится. 24. Расходится. 25. Сходится. 31. Сходится. 32. Сходится при -1 < д < 1. ЗЗ. Сходится. 34. Сходится. 35. Сходится. 36. Сходится, 37. Сходится при аюбом о; абсолютно сходится при а > 1. 38. Сходится условно при а > О. 39. Сходится условно.
40. При а > р+ 2 сходится абсолютно; при р+1 < о < р+ 2 сходится условно. 41. При а > О сходится, при О < а < 1 сходится условно. 42. Сходится условно. 43. Расходится. 44. Сходится условно. 45. Сходится условно. 46. Сходится условно. 47. Сходится условно. 48. Сходится условно. 49. (с! — 1)(«/е — 1). 50. " .
51. ††' . 52. с — 1. 53. ††, 54. †' . 58. а) ' ~г- Дг-тр ' ! ' ' ' ' и ' Неравномерно; б)неравномерно; в) равномерно; г) равномерно. 59. а) Неравномерно; б) равномерно. 60. а) Неравномерно; б) равномерно. 61. Во всех случаях сходится неравномерно. 62. а) Равномерно,б) неравномерна. 63.а) Равномерно;б) равномерно.
64. а) Неравномерно; б) равномерно. 65, а) Неравномерно; б) равномерно. 66. а) Неравномерно; б) равномерно. 67. Неравномерно. 68. а) Равномерно; б) неравномерно. 69. а) Равномерно; б) неравномерно. 70. Неравномерно. 71. Неравномерно. 72. [х[ < 1; неравномерно. 73. ] — оо, +со[; неравномерно. 74. ] — оо, +оо[;неравномерно. 75, ] — оо, +со[; неравномерно.
76. х > О; неравномерно. 78. Может. 85. а) Да; б) нет; в) да. 86. —. 87. 1. 88. О. 89. 1п —. 90.!пг. 94. Нет. 103, 1. 104. 1. 105, О. 108. со. 107. 4. 108.;. 109. —. 110, —. 111. ~ а т ", 2 « а ««Я- (-16" — -4«). 112. ~7 ~ юв -(а+1)х~"«', 113. ~ х "~ — „ ««О «о а«о «=! «=! «о 120. 9 — — ' ) — 'мп з (я+ 1). 121.
— „Е -~--а)т юп Ьгг. ««! а=! ™ 122 ! «! !«(а -г«123 аш1+2 «!«! ! «т *- ! ! «« т-! ' аш + с !«««-! «1 ««! 124. ювг — аш 3+ 2 ~„— „... ((ив 2 — юп3) сов21тх+ 2йт(соа2 — сов 3) юп 2йтх). з 125. — ~ — „тд-а!в гас. 126. ~ Я-;.;";сов«». 127. ~ (( — )-П"-;вшах. а«! «! =! е««! « 128. «); е «соагптя. 129. -мпх+ 1 (=;!)-вшвх, [я[< х. -т 130. ! — ! соех+ ~ ~ф —,«соапя, [х[ < г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
