Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поэтому точки Мэ,в ие валяются зкстрег ь г «« / мальными, м 221. и = хугээ, если к+ 2у+ Зх = а (х > О, у > О, э > О, а > 0). е Составив функцию Лагранжа для вспомогательной функции з = 1и и Ф = 1п х+21п у+ 31пэ+Л(а+ 2у+ Зх — а) 212 Гл. 2. Двфферевцвальиое исчисление функций векторного аргумента Далее находим второй цифферецциал а~Ф = 2А(с!я + с!у + с)з ) + 2* с)я ау + 2У Ыз йз + 2з Ыу Ыт, а нз уравнений связи получаем соотношения х с)х+ ус)у+ зйз = О, йя+ с(у 4 Нг = О. Проверим выполнение достаточных условий для точек Мс и Мю Для зтих тачек (2) (3) т Ф'„=-с13т+ Л = О, Ф, '=- сСОУ+Л ж О, Ф, = сгт з + Л = О, получаем точку воаможного зкстремума к = у = а = -. Так как пс т у гл з/ т тс 1 то в точке (-, —, а ) функция имеет максимум, равный —.
Ь з з г 225. аж — + — + —,ослик +у +т =1,ксоза+усозВ+ясоат=0(а>5>с>0, к у т ат 'оз сз ' саят о + соаз В + саят г ж 1) . Ч Составив фУнкЦию ЛагРанаса Ф = — *+ — "з+ — *-А(та+Уз+аз — 1)+Н(х соя а+УсозВ+ я сазу) и приравняв к нулю ее производные по з, у и з, получим систему 2з 2У 2т Ф, = — — 2Ак+ 1ссозо = О, Ф„= — — 2АУ.)-дсозВ = О, Ф, = — — 2Аз+ исоа т = О. (1) Умножая первое равенство системы (1) на к, второе на у, третье на з н складывая их, получаем равенство / з 3 тт 2 ~ — + — + — ) — 2Л(за+ уз + я ) + Н(комо+ усозВ+ ясазт) = 0 А ссз $2 сз) т=у=2А, тж-4А. Тогда нз (1), (2) н (3) получим равенства Н'Ф = 2Л((йт — лу)' + лзт + ат' + Оу ). Отсюда следует, чта при Л < О (т, е. в тачке Мс) йзФ < 0 н в зтай точке функция о имеет максимгм (им„= —,) .
ПРн Л > 0 (т. е. д тачке Мс ) аоФ > О, лозтанУ в зтай тачке мс †,ееу! функция и имеет минимум ~о „ =— 3 об ) Аналогична устанавливаем, что в точках Мь и Мь функция и нме.т максимум . е / — ), а в тачках Мт и Мз — минимум ~ а,,„„= — - —,). и 2еЗ. к = ту+ уя, если к~ + у~ ж 2, у+ т е 2 (г > 11, у > О» г > О). ч Образовав функцию Лагранжа Ф = *у+ ут т цт ' ут — 2) 4 к(у -г с — 2! н составив систему Ф'„=у+2Ат=О, Ф,',саге-т-~.2АУ+К=О, Ф',=.У~.У=О х +У =2 У "т=у найдем числа А, н и координаты стационарной точки: к = у =- т = 1, .Л = — -, н =- — 1 1 Запишем второй дифференциал с)~Ф = 2Л(Из~+с)У ) + 23к3У Ф 2с)у йг и лолалсим в нен Л = — —. Тогда получим а~Ф = -с)к' — с)у + 2с)гс(у Ь2 с)ус)т.
Из уравнения связи следует, чта 2' НУ = -Нз = -Ыт. позтаму а Ф = — с)кт — 3с(ут — 23с~ < О. Таким образом. ь точке (1, 1, 1'1 функция и имеет максимум, равный 2. В 224. о .= мл к ага ума з, если г + у+ з = -' (т > О, у > О, - > О). г Ч Составляя вспомогательную функцию Ф = 1а мл т + !л но У + !л зш т + А (г Ф у т т — -') н систему т б. Экстремум функции векторного аргумента 213 созга соаг !1 созг т +, +, =О, — ' — Л вЂ”,-Л вЂ” — Л аг 1 г )' ыпг о зшг;у ппг ттт созг а соз !у соз а" Ог ' сг ) с!11 агсг агЬ Нели Л! л Л! — корни этого уравнения, причем Л! < Лг то и „= Лг, и»о = Л: 228 с,г+ х! х„ х» — + — -с ...
+ — = 1 (а„> О, ! = 1, и). !! аг а ч Имеем Ф =,'т г, тс Л 1 ~ — *' — 1 1 Из счстены Ф', = 2х. » Л вЂ”. = О. 1 = 1, и, нахален "! Л х = — —, 1=1 тн (11 2а! 1 н! ° 1азиеьия связи а 1авснств (1) получаем Л = — — —. 1=! 1 — —, гж1,и. Л ! ! (2) Нескольку бгФ = 2 2 ' Мх~ > 0 '!о з станнонарнся точке (2! функция и имеет мнннмгм !»! 227. и = х",+ хгт + .. + хг» (р > 1), если х! + хг Ф ... + х = а (а > О). / М Составлял функцию Лагранжа Ф = ~ тх" + Л ) а — ) х!), а затеи систему ! !»1 !»! Ф'„=рх„"' — Л=-О (й=1,и). ~ хг=а, ! 1 I тР ! получаем Л = у (-), хс = — „. Находим втоРой диффеРенциал т(~Ф = Р(Р— 1) 2 х" г Их~а н, вычислЯЯ его значение в 1»1 п стационарной точке, убеждаемся, что а~Ф = р(р — 1) 2 (-")" т(х~а > О. Следовательно, в 1=1 „т стационарной точке функция и имеетминимум (иот, = †„,, ).
Ь 228. а = х»'х ' ... х»" т если х; > О, х! + хг+ ... + х„= а (а > О, о; > 1, 1 = 1, в). и Заметив, что экстремальные точки функций и и и = 1в и совпздают, будем исследовать на локальный экстремум функцию и. Образовав функцию Лахранжа Ф = 2 о!1вх + 1 3 г тг из которого с учетом уравнений связи вытекает, что т + "т + —,, — Л = О, т. е.
что Л = и. Таким образом, иеии ж шах Л, иом = ппп Л. Решая уравнение (1) относительно х, у и х и умножая левые и правые части полученных равенств на созе, соз!у, созт соответственно, находим (с учетом уравнения связи хссео+ у соз !У + х соя г = 0); 214 Гл, 2. Дифференциальное всчвслеиие функций векторного аргумента / » Л ( Я х) — а н решив систему 1=1 Ф',„= — +А=О (4=1, и), ~ х, =а, хг р«1 получим значение А и координаты точки М возможного экстремума: » 1ч Л=--)г о,, а 2~ ха = — „(й ж1, в). о р«! )«1 » Найдем второй дифференциал: И~Ф = — ~ -'-4 Ых~г.
Заметив, что к«! / Лг» )«1 Ь«1 заключаем, что в точке М функция в имеет максимум ра...е« а » «! аг в,„жо аг ...о„" 229. Найти экстремум квадратичной формы и = ~~ аох,х, (ач — — а„— действитель- р«! » ные числа) при условии ~ х, ж 1. г р-! » / » а Образуем функцию Лагранжа Ф = ~, аох,хр+ Л (1 — ~ хг и составим систему р,)«1 =1 1 р -Ф, = (аы — Л)х! + амхг 2 1 -Ф»г = аг!х! + (агг — Л)хг + ...
+ар„х =О, + ... +аг„х»жО 1 2 -Ф = я «хр+ а гхг+ ... +(а»» — Л)х„= О. Система (1) имеет нетривиальное решение тогда н только тогда, когда число Л является корнем уравнения аы — Л аю ... а! ам аю — Л ... аг» =0 (2) я ! а»г ... а„„вЂ” Л Покажем сначала, что корни Л уравнения (2) действительные. Для этого обозначим через А симметричную матрицу (а!)) заданной квадратичной формы в. Тогда систему (2) можно записать в виде Ах=Лх, (3) где х — (х хг... х„), Предположим, что Л комплексное, т.
е. что Л = о+!д где ! = !/-П поскольку а,) — действительные числа, то х = и + )х. тогда из равенства (3) слелует Ав = пв — рэ, (4) 3 б. Экстремум функции векторного аргумента 215 Аю = Ви+ аю. (б) Умножая скалярио обе части равенства (4) на ю, а равенства (5) на и и вычитая результаты, получаем (Аи, ю) — (Аю, и) ю -!У((и, и) + (ю, ю)).
(б) Так как (Аи, ю) = (и, А'ю) = (и, Аю), где А* — транспонированная матрица, то из (6) находим д((и, и) + (ю, ю)) = О. Поскольку (и, и) + (ю, ю) ~ О, то Я = О, т. е. Л вЂ” действительное число. Пусть Л!, Лз, ..., Л вЂ” корни уравнения (2). Тогда для каждого Л„! = 1, и, нз системы (1) прн условии, что 2 ' х, = 1, находим точки возможного экстремума =! х1 1 х1 1 х1 )) ! ж 1 и. ("' "' — *-' Далее, умножая равенства (1) на х!, хз, ..., х„соответственно н складывая их, имеем ю 2 аох;хг-Л 2, хз = О. Учитмваяуравнение связи, получаем равенство и(х!, хз, ..., х ) = ,г=! ! Л, которое в точках возможного экстремума запишется в виде и (х,, хз, ..., х„) = Л„! = 1, и, Отсюда следует, что и„„= шах Л„иа!, ж шш Л,.
О 230. Доказать неравенство — > ~ — ), если в > 1, х > О, у й О. х" +у" ух+у1 а Исследуем на условный экстремум функцию и = — зл-, если х+ у = э. Составив функцию Лагранжа Ф = -'(х" + у") + Л(з — х — у) н систему ю-! п-! Ф = — — Л=О Ф = — -Л=О, х+ус=э, их ! иу 2 2 найдем числа Л, а также координаты стационарной точки функции и: ГзАю-! л=-(-) 2 !2! ' 2 Поскольку второй дифференциал а~Ф = -"(" — -с(х" зйх + у" злу~) в точке * = у = -' удовлетворяет условию а~Ф(-', -') = х""-:~~ (-') (бхз+ бу ) > О, то функция и имеет минимум в точке (-, -), т.
е, и~„ж (-') ~< и(х, у), если х+ у = з, или (=зд) < зт-. О 231. Доказать неравенство Гельдера ! ! 1 1 Р Ч ! а Исследуем на условный экстремум фуикцкю Ф)'( ")' а при условии, что А = Я а!х;, где А = солим Составим функцию Лагранжа !=! ! ! -( ") ( ")'"(- -) 216 Гл.
2. Дифференциальное ксчкслеике функций векторного аргумента и образуем систему ! ! — ! *! ! !=! -! Не ограничивая общности, будем считать, что х; > О, а, > О (! = 1, и). Разделив у-е равенство системы (1) на ш-е равенство той же системы, получим Отсюда при фиксированном тл находим ! У а! )т-! х! = х,з !т — ), У = 1, а; у ф пг.
ап~ Подставив (2) в уравнение связи, имеем п ! (2) Е ( ) /а,1~ ! а,х„, ( — ) +а х!з =А 1а ) а !Г а = ~, из (3) получаем координаты точки возможного зкстре Используя то, что ~ = р, —, мума: д Аа, хм= — „, гата1,п аг =! для проверки достаточных условий находим второй дифференциал функции йч ! 1 ~--! йф '~;.аз ~,--хя ~хт-г„ !=! !=! ! !=! ! ! ! "=(')'"- ( ") "-"""-( ")'( "")) а В силу уравнений связи, 2, а, !2х, = О; позтому =1 з[т-О ах, Е а,!гх, =О =! А и г ! ! в стационарной точке и, следовательно, азй > О. Таким образом, в стационарной точке функция а имеет минимум (а м = А), позтому а р А,что равносильно неравенству Гельдера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
