Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(1) Поскольку г"г(2, 3) = — 162, г,"„(2, 3) ж -108, г„",(2, 3) = -144, а й(2, 3) = 144 162-108г > О, то в точке (2, 3) функция г имеет максимум, причем гх,„ж 108. В точках (О, у) и (х, 0) выражение гз = аы агг — агг обращается в нуль, а это ничего ие говорит о наличии экстремума в этих точках. Для дальнейших исследованмй вычислим приращение функции в точке (О, у), -оз < у < +ос: гзг(0, у) ж гЗхг(у+ 219)г ((б — гзх)(у+ лу) — (9+ 119)г) Легко убеднтьса, что при достаточно малых гзх н гзу гзг(0, у) < О, если -со < у < 0 или 6 < у < +со; Гзг(0, у) В О, если 0 < у < 6. Причем в обоих сяучаях достигается знак равенства при )сзх) > О и (гзу) > 0 (например, если у+ азу = 0).
Следовательно, в точках (О, у), где -оо < у < О илн 6 < у < +со функция х имеет нестрогкй максимум, а в точках (О, у), где 0 < у < б, — нестрогий минимум. В точках (О, 0) и (О, Б) функция г экстремума не имеет, так как прн х = 0 приращекке 2зг(0, у) меняет знак при переходе переменной у через точки у = 0 и 9 = 6. Далее, из равемств (1) следует, что второй дифференциал равен нуае в точках (х, 0), -оо « * +со.
Для дальнейших мсследоваинй вычислим приращение функции в точках (х, 0), -оо < х < +оо: Гьг(х, 0) =(к+Хьх) ЗЛУ гЛУ(Б-х — гзх — ЗЗу). 200 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента м Из системы 20 2'=х — — =О Э 2 = 5, у = 2, принадлежащую области опредеюа а а га -,т, 2»г — — 1 «г = -т и составив выраженке э э 50 2» = у — — = 0 22 находим единственную стационарную тачку х пения функции.
Вычислив производные га« = с«(х, у) = -т.т — 1, найдем, что «2(5, 2) = 3 > О, а аы(5, 2) = ; > О. Следовательно, в точке гага г (5> 2) функциэ имеет минимум (2»«„= ЗО). о хг 2 201. 2 =ху а« 62' и Из системы у(1 '— *,' л;,) .(1 „*' "') 2 »вЂ” э = О, г~ = — =0 г ( —:-'-6)' ( --::--",')' находим стационарные точки: (О, 0), (~, гэ), (- ~у, - д), ( д, - »л), (- д, », ) . В г точках (х, у), принадлежащих эллипсу 1 — — *, + тт, который являетсл границей области определения функции, частные производные йе существуют, а поэтому являютсл точками возможного краевого экстремума. Для проверки достаточных условий запишем вторые производные э' з (1»г уг) 2 ( 2*' «эг) з ('--г--")' 2,„ ( г «)2 а затем вычислим значение «2 в стацмонарных точках. Имеем гэ(0, 0) ж -1 < О, поэты му зта точка не является экстремальной.
Поскольку Ь (~ф, ~~ 1 = 4 > О, то точки ( ° )- а Ь « ~д, ~д) — экстремальные. А так как Пусть Ьх н Ьу — произвольно малые н такие, что х+гзх у.О, б-х-«2«х-гзу ~ О. Поскольку 222(х, 0) как функция переменных Ьх, Ьу в точках (Ьх, 25у) и (2«х, -с«у) принимает значения разных знаков, то точка (х, 0), -со < х < +ао, не является экстремальной. М 100. х=х'+у' — зху. и Вычислив частные производные и приравняв их к нулю, получим систему „=Зх — ЗУ=О, «„=ЗУ вЂ” З*=О. Решив эту систему, найдем стационарные тачки (О, 0) и (1, 1). Затем запишем частные производные второго порядка х", = Бх, хаэ -- -3, з'„', = бу и составим выражение 2«(х, у) = ам аж — а«22 - -Збху — 9. В точке (О, 0) имеем Ь = -9 < О, так что эта точка не лвлветсл экстремальной.
В тачке (1, 1) имеем «3 = 27 > О. агг > О, следовательно, в этой точке функция имеет минимум,причем яим = -1. в 50 20 200. 2 = ху+ — + —, х >О, у> О. х 201 6 О. Экстремум функции векторного аргумента ( т!З' ЬГЗ) ' (, чгЗ ьуЗ) У I а Ь1 то в точках (, -э) и (-, --~) фУикцмк з имеет максимУм, а в точках 21-э, --~) и (- ° .)— а ь г -э., ~.) — минимум. 2 2 Остается исследовать точки (х, у), где 1 = * — + Да . Запишем прирашеиие фуикцим в этих точках: ьЬз(з, у) = (х + Ь)(у + Ь) Очевидно, !Ьз(г, у) > О, если 0 < з + Ь < з < а, О < у + Ь < у < 6, или -а < з < г+ Ь < О, -Ь < у < у+ Ь < 0; 262(з, у) < О, если 0 < з+ Ь < а < а, -Ь < у < у+ Ь < 0 или -а < з < х+Ь < О, О < у+6 < у < Ь.
Следовательно, в точках (г, у), принадлежащих эллипсу м расположенных в первой и третьей четвертях, функция имеет краевой мииимум, равный нулю, а в точках (к, у), принадлежащих эллипсу и расположенных во второй и четвертой четвертях, — краевой максимум, равный нулю. В точке (О, 6) приращение 262(0, Ь) = Ь(Ь + Ь) 1 — — ,— Ьз (Ь+ Ь)2 положительно при достаточио малом Ь > 0 и 0 < Ь+ Ь < Ь и отрицательно при достаточно малом Ь < 0 и 0 < 6+6 < 6. Следовательио, ватой точке экстремум отсутствует. Аналогично показывается, что точки (О, -6), (жа, О) ие являются экстремальиыми. М зоз..= '*аэ"' ..*+а+э аа ° н,,, а,„,„„ систему а(г' + уз + Ц вЂ” з(аг -1- Ьу »- с) , 6(зз + уз + Ц вЂ” у(ах + Ьу + с) з — О, з ~' (ц (З2 + У2 + Ц 2 (зз + У2 + Ц 2 з з умиожая первое равенство этой системы иа -6(х + уз + цз, второе иа а(зз».
Уз + цз и складывая их, получаем уравнение (Ьг — ау)(ах + Ьу + с) = О, из которого следует, что 6х = ау, аз + 6У + с = О. Отсюда и из (ц находим стациоиармую точку: з = -", у = -,, с ~ О (если с = О, то при а + Ь + с ф 0 функция 2 ие имеет сгациоиариых точек). Для частных производных второго порядка имеем выражения о 6У+ с Зз(а(зз + у + ц — з(аз+ Ьу + с)) з Ь (.г+„2» Цз (.2».уз» Цз аа.*+с ° )- э* аь з Э еа~цюр (Х2+ уз+ Цз '*з з+ а ах+ 6у Ззу(аз+ Ьу+ с) (*2 + уз+ Цз (аз+ уз + Цз Вычисляя значения в стациоиариой точке вторых производных (а 6) Ь +с о (а Ь аз»-сз с('р+р+ )' ' ',(,2+ь +,)2 (Эы'+ к+1) 202 Гя.
2. Диффереицивдьиое исчисление функций векторного аргумента находим, что т. е. экстремум существует. Поскольку вторая производная х", в стационарной точке отрицательна при с > 0 и попо- жительна при с < О, то в первом случае функция х имеет максимум (х,,» = »/ау + Р + су), » — ( и=-»3»»'»э). 20З., = —,/Р+ у, и Легко убедиться, что данная функция не имеет стационарных точек. Но в тачке (О, О) частные производные первого порядка не существуют, так как разностные отношения й,') — »ле ~3» х»»» ) — Э, а Ь» »3х ЕМ ' Ьу Ьу не имеют пределов.
Следовательно, точка (О, 0) является точкой возможного экстремума. Из того, что приращение х(х, у) — х(0, 0) = -»/»хз+ уэ отрицательно, заключаем, что в этой точке функция имеет максимум, причем х,„= 1. р 204. х = х + у + 4 зш * зш у. М Дяя определения стационарных точек получаем систему х = 1+ 4соз хашу ы О, хэ — — 1 + 4ав х сазу = О, преобразуя которую к виду 1 — 2йа(х — у)+2йп(х+у) =О, 1+2зш(х — у)+ 2пв(х+у) = О, находим 1 пв(х — у) = О, пк(х+ у) = --; 2' отсюда х+ у = (-1) — + тх, »а б Х; х — у = ах, о б Ж, 6 нлн х = (-1) 4' — + (»а+ а) —, у = ( — 1) е' — + (ш — и)-, т б К, о б Е. 12 2' 12 2 Находим вторые производные х,", = -4сбв хин у, х„"» = -4з!в хмп у, х,"„= 4соэхсазу и составляем выражение »3(х, у) = 1бзшзхывз у — 16соэзхссез у ш -1бсоз(х — у) соз(х+ у).
Дпя вычисяення значений выражения»э(х, у) в стационарных точках используем формулы (1). В резуяьтате пояучаем »Ь = — 1бсазахсаэ ((-1)~ — +а»х~ = (-1) " 16саз —, а б Ж, ш б Е. б ) 6' Отсюда следует, что при ш+ н+ 1 четном Ь > 0 и экстремум существует, а при т+ в+ 1 нечетном экстремума нет. 7аким образом, функция имеет экстремум при т+ в нечетном. В этом случае числа т и п разяичной четности.
Дяя выяснения характера экстремума преобразуем вторую производную х,", к виду х»» = 2 сох(х + у) — 2 саз(х — у) и вычисяим ее качения в экстремальных точках (тогда ш + ив нечетное): хзэ = 2» соэ ((-1)»»+' — + тт) — сохах) = (-1)~т/3 — (-1)" 2. Если ш = 23 — четкое, в = 2г-1 — нечетное, та х„з» вЂ” — ~/3+ 2 > О и функция имеет минимум; если же»п ж 23 — 1 — нечетное, а в = 2г — четкое, то х,", = -»/3 — 2 < 0 и функция имеет максимум. Вычислив экстремальные значения функции, получим хваэ --2йх — 2 — т/3 — —, й 6Ж; хз»»» =(2Й вЂ” 1)я+2+»/3+ —, 3 б и р 203 3 6. Экстремум функции векторного аргумента и' =2х+2=0, и'„=2у+4=0, и =2г — 6=0 определяем единственную стационарную точку х = -1, у = -2, г = 3. Находим вторые производные: и", = 2, и'„'у = 2, и,"» —— 2, и,"у = и", = и'„', = О.
Таким образом, И И И и, и,у а„ ! 11 О »» »у =4>0, И О иу, иу» а'» =2 >О И О О »» у ау» ау =8>О, И И О а',и и*у и,г т. е, второй дифференциал а~а, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно-определенную квадратичную форму. Следовательно, в точке (-1, -2, 3) функция имеет минимум (и м = -14). В 207, а = хз+ у + гг+12ху+2г. е Имеем и,=3х +12у=О, и'„=2у+12х=О, и',=2г+2=0. ОтСЮда НаХОдИМ Стацнаиарима ТОЧКИ: ХГ = О, у» = О, г» = -1; Хг = 24, Ю ы -144, гг = -1. Далее, находим вторые производные а", = бх, а"у ж 12, и,", = О, и'„', = О, и", = 2, и,"» — — 2 и вычисляем в стационарных точках значения определителей О И и,» а,у И а»» О И и»у А» = ио», Аз = 1, Аз»О И И у иу» О И иу» ау» иу» И И И и»О и,у и',г В тачке (О, О, — 1) первый иа этих определителей обращаетсл в нуль, поэтому вопрос о существовании экстремума в этой точке требует дальнейших исследований. из равенства гьи(0, О, -1) = О»х +»39 + О»гл+ 12 ь хну следует, что при»ух = гу, »Зу = »3г = О, »гх»и -г, г3у 1м г3г ы О, где Г ~ О, приращение принимает значения разных знаков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
