Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Следовательно, точка (О, О, -1) не есть зкстремальна. В точке (24, -144, — 1) Ад — 144 > О, Аз = 144 > О, Аз ж 283 > О, иозтому функциЯ в этой точке имеет минимум (г дз»и -6913). В 205 г (ха 1 уз)е 1' +у»1. е Решив систему 'ж(2х-2х(хз+ут))е-'*"У'жО 'ж(23-2У(х'+У)) ""'=' г получим множество стационарных точек, состоящее из точки (О, 0) и точек окружности х + = 1. Находим вторые производные г"з ж(4х (хз+у ) — 12х +2)е гоз ж (4уз(хг + уз) — 12уг + 2)е гиу ж (4хУ(хг + У ) — 8хв)е Ы ег ~.
Поскольку в точке (О, 0) ги» = 2, г„", = 2, г,"у = О, »ь(О, 0) = 4 > О, та в этой точке функция имеет минимум (г ы = 0). Длл проверки достаточных условий в тачках, принадлежащих окхоужнасти х + у = 1, т фукКцИЮ г будЕМ раССМатрнзатЬ КаК фуНКцНЮадиай ПЕРЕМЕННай Г ж Х +уг, т. Е. г = 1Е ', дпя которой 1 = 1 является стационарной тачкой. поскольку вторая производная ги = (1 — 2)е"' отрицательна при Г = 1, то функция г имеет максимум. Таким образом, данная $уикцил (х, у) 1 г(х, у) имеет нестрогий максимум (га,„ж е ') в тачках окружности х +у = 1. В 206.
и =хг+уз+гг+2х 1 4у — бх, й Из системы 204 Гд. 2. Диффервщкальиое исчпслеиие фуикции векториого аргумеита 208. и = х+ — + — + —, х > О, у > О, г > О. у г 2 4х у х' и Иэ системы их=1 — — =О, и,= — — — =О, и',= — —— 4хг ' г 2х уг ' * у гг находим единственную стационарную точку: х = -, у = 1, г = 1. Затем находим вторые ! а г о г о а ! 2! а тг о 2 ! производные и * — —,, и„„= —.=., и,г = О, и, = — + г, и.„= --т, и,г = — + т и н о !! ! о вычисляем их значения в стационарной точке; и г —— 4, и,„ж —, и,, = О, .и', = 3, а„', = Вычисляя определители (см, пример 202! А! = 4, 4г = 8, Аг = 32, заключаем, что в точке (г, 1, !г функция и имеет мкиимум (а„„,, = 4) и г1 209.
и=ху г (а — х — 2у — Зг),а>0 И Решив систему и', = у г (а-2х-2у-Зг) = О, а„ж 2гуг (а — г-Зу — Зг) = О, и, = Зху " (а-г — 'г-4г' = О, летучим точку (-', -', -') и точки (О, у, г), принадлежащие прямой х = О, 2у 4 3; = а; точки (х, О, г), принадлежащие плоскости у = 0; точки 1х, у, 01, принадлежащие плоскости г = О. Проверим, выполняются аи достаточные условия аокааькото экстремгма. С этой целью наидем производные второго порядка и", = — 2уг гг, и" = Зугэ(а — 2х — Зу — Зг), и,", = Зуггг1а — 2 " — 2у - 4г), и'„'г = 2хг (а — х — бу — Зг), и', = 6хуг (а — х — Зу — 4г), и"., = !',ху г(а — г — Зу — Зг!. (1) ( В точке ('-, '-, -! имеем и,", = — —,, и",„= — —, и',г = — —,, и', = — — „,, и,', = -=;.
!7' 7' 7 ° а э!а! и',, = — —,, А! < О, Аг > О, Аг < О, где А!, Аг и Аг — определители квгдратнчнои формы. гг Отсюда заключаем, что в этой точке функция имев~ максимум (иигг ж —,, ) . Пользуясь равенствами (1), записываем второй дифференциал функции и з точках (О,у, г); аги Зуггг(а„!+2(хйу+2аха. По виду дифференциала легко убедиться, что оп может иметь противоположные знаки, т. е.
ие является зиакоопредепеиной формой от переменных !(х, !(у и аг, а поэтому в точках (О, у, г) экстремума иет. Записывая второй дифференциал в точках (х, О, г): а' и = 2хг (а — х — Зг] йу . г г г убеждаемся, что при а — х — Зг уа О, х = О, г ф 0 ои представляет собой зиакоопределенную форму. Следовательно, в точках (х, О, г) при условии, что а — х — Зг ~ О, х ф О, г И' О, фуикция и имеет нестрогий экстремум, равный нулю.
В точках (х, у, О) второй дифференциал тождественно равен нулю, однако !(~и ж бхуг(а— х — 2у) аг~ ж О, поэтому ати точки не ввяяютск экстремальными. й 210. и = шп х+ ып у + мп г — мп(х + у+ г), 0 ( х ( х, 0 ( у ( х, 0 < г ( х. и Имеем и = созх — соа(х+у+г) = О, иа ж соху-соз(в+у+я) = О, и, = соля 1 соа(х+у+г) = О, Решив зту систему, получим три стационарные точки ($,2,$), (0,0,0), (,, ). 2 б. Экстремум функции векторного аргумента 205 Проверим, существуег ли экстремум в каждой из этих точек. Вычисляя значения вторых производных и,„ = яв(х + у + «), и«, = яп(х+ у+ «), и и„= яп(х+ у+ «) и,« =-япх+яп(«+у+«), и„« — — -яву+ив(«+ у+ «), и,« = — яп «+ял(х + у+ «), Г и в точке (-, —,, -',, потучаем и', = -2, и ' = — 1, 2/ 2 *1 Отсюда следует, что Э 1 Л и„« и,'э и„~ о ~и,, и«~ и„и'2 ( э' Таким образом, в точке (-", -', -) функция имеет вокальны« макснмуч (аэ„„= 4). 2' 2' 2 В точках (О, О, О) н (к, х, х) функция лмеет краевой мннкмум, равный нулю.
Зто следует нэ того. что прн лк2бых приращениях Лх. Ьу, 21 неэаюсенМЫХ ПЕреМЕННЫХ ИЭ сбластн 0 < . т, 0 . ~у < т. 0 < б«< х, но таких, что 0 < Ь« + 2ьу+ «11 < г, сгравегкивы неравенства 12и(0, О, 0) = и(1лт, Ьу, Ь«) — и(0, О, 0) = и(Ь«. Ьу, «2«) =- = яд Ь« -1-ял йу+«Ы 21 — эв(б« т."лу.1- 2«1> О, Ьи(х, т т) = и(г — Ьх, т — Ьу, т — «2«) — и(т, г, т) = и( 1«, 11у, .21) > О.
э. 211. и =- «1«2 .. «~(1 — «1 — 2«2 — ... — и«„1, «1 > О, хэ > О, .... х„> О. ч Приравнивая к нушо частные прок«водные первого порядка, получаем систему ллл определения стационарных точек. и' = 2«1х 1х, ... -,",(,". — «2) = 0 2-; Э 2 3-1 и„= Зх1х,х, ... «,,(н - «1) = о, 1ДЕ 22 = 1- «1 — 2«2 — ... — ит . Так как х, > О. 1 = 1, э, то стацнонарныс точки должны удовлетворять системе я — х1=0. 1=1, (1) В системе (1) из первого уравнения вычтем второе, нз второго — третье и г. д В результате получим систему -х +«41=0, «=1,и — П нз которой следует, что «1 = хэ = ...
= х, Пользуясь этим, нз первого уравнения системы (1), которое в этом случае запишется в виде 1-х1(1+2+...+и)-хг = О, находим стационарную 2 точку х, = хэ = .,. = х = -2 — л-. и +о22' Найдем производные второго порядка 2 З и,э = -2«эхз ... *, и 2 ю Й(Й вЂ” 1)«1«2 ° ° хь ..
«и(Р— хь) — Й(Й+1)«1«2 ... «ь ... х, Й = 2, и, и,„.„=йш«1«2" ха "х» " хэ(Р-хь)-Йш«1«2" х» " *. Й я=1 и ЙФш. 2 2-1 Обозначив через х общее значение координат стационарной точки х = «1 = Хэ = ... = Х„= 2 л =22„42 а Чврез а1 — ЗиаЧЕиня производных иэ,э, В СтацНОНаРной точке, и заметив, что в стационарной точке 22 — хь = О, Й = !,и, получим ээеи-2 эаи-2 и 2 аю =иээ = 2х 2, аьь =и 2 я -Й(Й+1)х 2, аа», — — иэ « =-Йнах 2 . (2) 1 ь 21, « 20б Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Для исследования зиакоопределеннооги квадратичной формы з %» » Н во» хз ам с(х,йхм ао с»о,с,, ,з»с (3) вычислим определитель аы аю асз ... асм азз озз ° ° оз» азз азз ...
аз, ам А = азс (4) а»о аво ... а» + -с 2 Согласно формулам (2), из й-й строки определителя (4) выносится сомножнтель (-1) хе позтому 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 ... ™ 1 2 3 5 -(-1)" '* ' '+ — ) — м са +с» 2 А =(-1)-т(х 1 2 3 4 ... ос+1 хз 1 — — =О, .з 1 1 хаас — — — =О, з хз с х„ 1 2 — — — ы О. з х с х ос 1 х=2, в — 1, о» с и,„= с Отсюда находим глацнонарную точку хз = хз„хз ы хз„..., х» м х",, хс — — 2»зс . С целью проверки кастаточиык условий экстремума находим вторые производные. Обозначая ао = о,"...получаем 2 1 ам»» —, аы=- — з, ам=О, асс с = — — „, „еы =- — „... осс.~с 4=1, й — 2, ) =1+2, в, й= 1 = — —, асс — -О, ы 1 2,» — 1; 1 4 2 а» с авв, а з — 0,,~' 1,» — 2. ззв-з з» зв-з х, хз Для исследования знакоопределенности квадратичной формы Ык= ~ аййхзйхы с,у с (2) Отсюда непосредственно вытекает, что Ас < О, Аз > О, Аз < О, Ас > О, ..., т.
е. что форма (3) отрицательно-определенная. Таким образом, в стационарной точке функция имеет максимум. Вычисляя зкстремальное значение функции, имеем "-=(.,'.„) ' ' хг хз х» 2 212. и = хс + — + — + ... + — + —, х, > О, з = 1, о. х1 хз х -с х» М Приравняв к нулю частные производные первого порядка, получим систему для определения стационарных точек: 3 О. Экстремум функции векторного аргумента 207 где коэффициенты опредеааютсл формулами (1), рассмотрим определитель, образованный из коэффициентов формы (2): 2 г! 1 О 1 з 1 1 1 О 0 ... О 0 1 2 р( О 0 0 0 1 --т г, (3) А»! = 0 0 0 ! 2 тд-"т та='т »1 г! Преобразуя определитель (3) к виду — --г г! 2»1 0 0 0 0 ... 0 ! гт згт ! 0 ...
0 о 1 А»г = 0 — тл-т *1 0 0 замечаем, что А, > 0 при ог ю 1, о. Таким образом, квадратичная форма (2) положительно-определенная и, следовательно, функция а имеет минимум а„,„= (о+ 1)2»Е1) . м 213. (Задача Гюйгенса.) Между двумя положительными числами а и 6 вставить Хгзг Х о чисел хг, хг, ..., х так, чтобы величина дроби и = ' была (а+ х,)(хг+ хг) ...
(х„+ 6) наибольшей. М Логарифмируя функцию и и обозначая х = 1а з, имеем з 1а х1 + 1в х2 + ... + )в х» )п(а + х1) 1в(х! + х2) .. 1л(х -1 + х ) 1в(х» + ~). Очевидно, экстремальные точки функций а и х совпадают и, следовательно, определяются из системы — =О, 1 г!тгг — =О, 1 ггггг 21 Фг! 1 1 г!тгг 1 1 1 »„21 Из первого уравнения этой системы находим хг = -„хг, из второго хг = —,хг = ";2*1 и 1 2 г г"Ф' ° ь 1 т. д. Иэ ПОСЛЕДНЕГО уразисиня НаХОдИМ 1 г» -гз- = ~-„—. ОтСЮда ВЫЧИСЛЯЕМ Хг = а (-)» Ю . Таким образом, координаты стационарной точки М можно записать в виде геометрической 1 прогрессии хг = ад, хг = ад, ..., х„= ае», знаменатель которой 0 = 121 "Ег. 2» 1Ы— Находим вторые производные ! 1 гг 2+ 2+ хг (а+я,)2 (х, + )2' »1*2 (х, + )2 »1*1 1» 1 1 1 З»1гг э! ю- — + + (х» !+ха)2' *1 хг (хь !+ха)2 (х„+х )2' » 1 гг г+! ° э„.=О, 2=1,0 — 1, 1=0+2,и, 0=2,н — 1; 1ха+ ха+1) 1 я 1 1 1 г г зг у+ х„,+х„)2' * х (х !+х„)2 ( „+О)з 206 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
