Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 37
Текст из файла (страница 37)
> Упражнения для самостоятелыюй работы 3 г 142. Функцию г'(г у) = г +*у +*у+я+у разложить по формуле Тейаора в окрестности точки (1, 1). Разложить по формуле Маклорена следующие функции: 140. г (я, у) ж е*+". 140 г (я~ у) ж а ма у+ соз(я 4 у). 1бО. З(з, у) = е З б. Формула Тейлора 196 а у После интегрирования находим г (г, у) = 1+ у ~г — г ) у 4.... и 194.
Фушгцию (я, у) «е*гг разаожить в степенной ряд по целым положительным степеням биномов (я — 1) и (у — 1). 4 Поскольку степенной ряд яважтса рядом Тейлора дая функции (, то дая получения требуемого разаожения применим формулу (1), п.5.2, которая запишется в виде 19б Гл. 2. Дифференциальное всчвслевие функций векторного аргумента ~ 6. Экстремум функции векторного аргумента б.1.
Опредепевве локального экстремума. Пусть $уикция х 2 у(х), х = (хг, хз, ..., х„), определена иа множестве Р С и"" и точка хг = (хзн хз,, хз), хэ б Р. Говорят, что функция 6 имев!в точке хс локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность Я(хе, 6) = (х: О < р(х, хо) < 6) точки хз, что для всех точек х б Я(хз, 6) Гз Р выполняется неравенство Л ) > )(х) а ) < Л*)).
(1) Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум, а точки, в которых он достнгаетсл, называются зксгаремальиыми точками. Если функция у имеет в точке лэ локальный экстремум, го полное приращение 62)(лз) = )(х) — !'(хс), х б Яхо, 6) щ Р, этой функции в точке хз удовлетворяет одному нз следующих условий: 62)(ха) < О (в случае локального максимума), 22)(хс) р О (в случае локального минимума). 6.2. Необходимое условие локального экстремума.
Пусть функция ф имеет в точке хо локальный экстремум. Тогда если в этой точке существуют частные производные первого порядка по всем переменным, то все эти частные производные равны нулю. Таким образом, в этом случае зкстрематьные точки функции ) удовлетворяют системе уравнений У,,(хз) т О, у = 1, в. (1) Если же функция ) днфференцируема в тачке хэ, то соотнощение йУ(т) =О (У'(хэ) =О) (2) является необходимым условием локального экстремума.
Точки, в которых выпогняетсл условие (1) или (2), называют с!аачионариыми точками. Функция ) может принимать локальный экстремум только в стационарных точках или в 'точках, в которых частные производные первого порядка не существуют. Все этн точки называют ~очками возможного экстремума. О.З. Знакоопределеввые квадратичные формы, Функция А(Ь, Ь2,, Ь ) =6, у,аг!Ь Ь а = а» (1) ! 1 1=1 переменных Ь1, Ьз, ..., Ь называетсл квадратичной формой. Числа а, называются коэффициентами кеадрагвичной формы. Квадратичная форма (1) называетсл положительно-овределенной (отрицательно-определенной), если для любых значений переменных Ь1, Ьг, ..., Ь„, для которых выполняется условие Ьг + Ь; + ..
+ Ьг > О, зта форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно- и отрицательно-определенные формы объеднняютсл общим названием — знакоопредеяенные формы. Сформулируем критерий зиакоопределеиностн квадратичной формы — критерий Сильвестра. Дгя того чтобы квадратичная форма (1) бь!ла положительно-определенной, необходимо и достагаочно, чгнобы аыиозиялись неравенства он а12 ... аг ан аы агз ан ащ! аы агг ... аг ан >О, ~ > О, аю агг азз > О, , ''' > О. аз! агз ( азг азг азз аэг а 2 ...
а Для !лого чтобы квадратичная форма(1) была отрицательно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место нераеенсглеа а11 ам ... а1 ~ ац агз агз он <О, 1 ~)>0, агг агг агз <О, ° ° °, ( 1) 21 22 за >О. ( а21 а22 аз1 аз2 аэз ат а 2 ... аьв з 6.
Экстремум фуцкцнм векторного аргумецта 197 6.4. Достатачцые условия локального экстремума. Пусть в некоторои окреспюсти стюгиоиариой точки хэ функция у дважды дифференциВэ г руема и все частные производные второго порядка в в (г, у = Т, и) непрерывны в точке хэ Если в этой точке второк диффереициаа Ы Дха) = ~ в в Ыг, г(хг представляет сот агу с,=г бой знакоопредезенную квадратичную форму от днфференпиааов Ихы ахэ, ..., г(х независимых переменных, то в точке хэ функции 7 принимает вокальным экстремум.
При этом если а )'(ха) < О, то в точке хэ функция у принимает локааьный максимум, а если а~у(гв) > О, то локальный мкнкмум. Рассмотрим функцию двух переменных, Пусть в некоторой окрестности стационарной точкк (гэ, ус) функция (х, у) г у(г, у) дважды югфференцируемаи все частные производные ~эг второго поРЯдка агг =.
— г, аю = в в, агг = в т непРеРызны з этой точке. Тогда ескк в в в вг вг точке (го, уо) ".г(хо, уо) = апагэ — а,г > О, 2 функция (х, у) 1 „7(х, у) имеет з этой точке локатьный экстремум, а именно максимум при аы < 0 к минимум при аю > О, Есан же з точке (хэ, ув) г г.'г(хв, уг) = аыаю — агг < О, то функция У не имеет вокального экстремума в этой точке, Случай, когда га(хэ, уэ) = ам ага — аз~э — — О, требует дополнительных исследованиид Пусть в некоторой окрестности точки хэ функция у(х) = 7(хы хэ, .... г„) т раз диффереицируема и все частные производные ш-го порядка непрерывны в эгон точке, причем 4У(хз) = О, г(Т(хв) ы ...
ы 4 '1(ха) ы О, 4 1(хв) Р О. Тогда, если т нечетное, точка хв не является экстремааьиой, если же т четное, то з точке хр функция У имеет экстремум: локальный максимум, если 4~у(хо) < О, и локальный минимум, если а~у'(хв) > О. Если з соотношениях (1), ц.б.1, имеет место равенство для яюбого малого б > 0 н некоторык зиа гений х, отякчных от хэ, то локальный экстремум называют игстрогии (соответственно нестрогим локальным минимумом к нестрогая гокольнэгх ааксимуиом). В этом случае аокаяьный экстремум достигается на некотором множестве точек. Если экстремальная точка ха принадчежит границе области П определенна функции 7', то экстремум называют краевым (соответственно краевым максимумом и краевым иииииуиом).
6.5. Экстремум неявно заданной функции. Если неявная функция х г и(х), х б П, П б 11", определяется уравнением Г(х, и) = О, то Г(х, и(х)) м О, х б П. Пусть функция и дважды непрерывно дифференцнруема в Р. Тогда в стационарной точке хэ б П справедянвы равенства йи= — Г (Г*,йхг+Г.',йхт+" +Г.'„,Ь„)=0, г» Г(яа, ив) ж О, где ив = и(хв). Поскольку спрааеданво и обратное утверждение, то стационарные точки могут быть найдены из системы Г,', жО, г=1, и, Г=О.
108 Гл. 2. Дифферевцвальвое исчисление функций векторного аргумевта Еще раз дифференцируя первое из равенств (1) н учмтывая, что в стационарной точке аи = О, получаем йиуйх1йхг 2 1 ч» дГ (2) Гй 2 д.1дх, $1 1 Если а~и > О в точке хо, то функция и имеет минимум, если же в этой точке а и ( О, то 2 максимум. 6.6.
Условный экстремум. пусть функция У(х, у) = ~(х1, ..., х, у1, ..., у,„) определена на некоторой области Р С Й"~ . Пусть, кроме того, па переменные х, у наложено т дополнительных условий Г(х,у)=О, Гз(х, у) = О, Г,(х, у) = О, Ф(х, у) = ((х, у) + ~) 11 Г,(х, у), 1»1 (2) называемой функцией Лагранжа, где 1„1 ы 1, ш, — постоянные множители.
При этом знак второго дифференциала Н~Ф(хо, уо) в стационарной точке (хо, уо) определяет характер экстремума при условии, что дифференциалы йх1, яхз, ..., ахю яу1, яуз, ..., яу,» связаны соотношениями — ' йх + ~~2 — йу, = О, у = 1, т. дГ, дГ, д*з ду, ! 6.7. Абсолютный экстремум. ЕСЛИ фуНКцмя Г'(Х) ж Г"(З1, Хз, ..., Х») дкффсрЕНцнруЕМа В ОбЛаСтИ Р С Й" И НЕПрщ рывна на замыкании Р, то ока достигает своего наибольшего и наименьшего значений на множестве Р или в стационарной точке, или в точке, принадлежащей границе области Р. Для определения абсолютного экстремума функции г' на множестве Р сравниваем нанболыпее и наименьшее значения функции у в стационарных точках области Р с наибольшим и наименьшим значениями фумкции г' на границе области Р, Исследовать на локальный экстремум следующие функции: 196.
2 =*'+ у' — *' — Оху — у'. 4 Вычислим частные произзодные1 З,' ж 4хз — 2х -2у, з„' = 4уз -2х — 2у. Стационарные то'ши найдем из системы 4х -2*-2у= 0, 2 4у — 2з — 2у = О. 3 Она имеет три решения: х1 = О, уг = 0; хз — — -1, уз = -1; хз = 1 уз = 1. Для проверки достаточных условий локального экстремума вычмслим вторые производные аы = з,"2 —— 12х — 2, аш ж з 'з - --2, аш = *'„', = 12у — 2 и составим выражение Ь(х, у) = аыазз — а122 = (12зз — 2)(12уз — 2) — 4.
которые называются уроенсниями саязи. Говорят, что функция у имеет в точке (хо, уо) услозкый максимум (условный минимум), если неравенство у(х, у) ( )(хо, уо) (у(х, у) ~ ))(то, уо)) выколнястся в некоторой окрест- насти точки (хо, уо) при условии, что точки (х, у) и (хо, уо) удовлетворяют уравнениям связи (1). Исследование функции на условный экстремум при наличии уравнений связи Г, = О, у = 1, гл, СВОДИтоя К ИССЛЕдОВаНИЮ На обычный экстремум функции 3 6. Экстремум фукюоги векторного аргумента 199 Поскольку сз(0, 0) = О, то для выяснения вопроса о существовании экстремума рассмотрим приращение функции г в точке (О, 0): Ьх(0, 0) = г(Л, Л) — х(О, 0). Если Л = Л, где 0 < Л < Л г, то гзг(0, 0) = 2Лг (Лз — -) < О. Если же Л = — Л, где Л > О, то зьг(0, 0) = 2Л~ > О.
Следовательно, приращение Ьг(0> О) принимает значения разных знаков, а поэтому при хг = О, уг — 0 экстремума нет. В точках ( — 1, -1) и (1, 1) за = 96 > О, атак как ап = 10 > О, то в этих точках функция имеет минимум, причем г м = -2. В 197. = 2х'+ у' — х' — 29'. М Из системы г,=8х — 2х=о, гэж4у — 4у=о находим стационарные точки: (О, 0), (О, 1), (О, — Ц, (-, 0), (-, 1), (-, -1), (- †, О), ~- †, 1), (- †, — 1) .
Вычисляя вторые производнме г", = 24хг — 2, г,"„= О, г", ж 12уг — 4 и составляя выра- жение Ь(х, у) = аыаж — а,з = 8(12х — 1)(зу — 1), находим, что Ь(0, О) = 8 > О, Ь(0, 1) = — 16 < О, Гз(О -1) = -16 < О, гь (-, 0) = -16 < о, л(-, 1) = зз > о, гл(-, -1) = зз > о, л(--, о) = -и < о, гл(--, 1) = зз > о, ь(-, -1) =зз>а. Следовательно, точки (О, 1), (О, -1), (-, О) и ( — —, 0) не являются экстремальными.
Точ- 1 ! ки (О, 0), (-, 1), (г, -1), (-г, 1) и (--, -1) — экстремальные, причем в точке (О, 0)— максимум (поскольку г,",(О, 0) = -2 < 0) и га„, = 0; в точках (-, 1), (-, — 1), (--, 1) и (--, -1) — минимум (поскольку г", (~1, х1) = 4 > 0) и г ь = --. Ь 198. = *'у'(6 — * — у). н Составляя систему г,' = ху (12 — Зх — 2у) =О, г„' = х уг(18 — Зх — 4у) = О, а затем решая ее, находки стационарные точки (2, 3), (О, у), где -оо < у < +со; (х, 0), где -со < х < +со, Для проверки достаточных условий локального экстремума находим производные г,", = 12у — бхуз — 2у, г,"„= Збху — 9х у — 8ху, гэг = Збх у — бх у — 12х у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
