Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решая систему уравнений (1) и (2) относительно а"„и,", находим получаем (2) и учитывая, что а„= и„„, а а,"„(х, 2х) = ид'г(х, 2х) ж †, и,"г(х, 2г) = †. в дг 81. Найти решение г = г(х, у) уравнения — = х + 2у, удовлетворшощее условию ду з) ч Интегрируя уравнение по у, находим г(х, у) = хзу+ уз + р(х), где эз — пока неопределенная функция.
Для нахождения неизвестной функции О используем условие г(х, хг) = 1: г(х х ) ш хзхг + хэ + р(х) = 1. Отсюда р(х) ж -2хо + 1. Таким образом, г(х, у) = х у + у — 2х~ + 1. ° д 82. Найти решение г ж г(х, у) уравнения — ж х + у, удовлетворяющее условиям дх ду г(х, 0) = х, г(0, у) = уз. ч Имеем дг(х, у) ду = 1(*+ )4 +р (у) ш — + ау+ р (у) 2 о г(х у) = — +ау+уз(у) яуш — + — +у(у)+Ф(х) / ~2 / 2 2 о Е оюэг~ Но, по условию, ' ж х, поэтому иэ (1) следует, что э' ди да 80.
Пусть функция а = и(х, у) удовлетворяет уравнению — — — = О и, кроме того, следующим условиям: а(х, 2х) ю х, и„'(х, 2х) = х'. Найти и" (х, 2х), а"г(х, 2х), и'„'„(х, Зх). ч Дифференцируя обе части равенства а(х, 2х) = х по х: а',(х, 2х) + 2а'„(х, 2х) = 1 и пользуясь равенством а',(х, 2х) ж хг, получаем ха + 2а'„(х, 2х) = 1. Последнее равенство снова дифференцируем по х: 1ББ Гл. 2. Дифференциальное ксчислекие фувкиий векторного аргумента ыы.т:о,е-(' Д), т:ь,о-(~'+,')...
я = т соз р, у ж т зщ и, (т, р) Е Р, В=((т, и):0<а<т<Я,О<1ы<2я — Б, 0<Б<2т). и По формуле дифференцирования сложного отображения находим ; ) =т .. « ° --' ) (Ф Ф-,) („маыы тсоыр у ы ты+ты *Ы+ыт (2) Поскольку за+ у = тз, то из (1) и (2) получаем ~/ ыеыы ы~+ы / т соз ыы ыЫ / з+уз 85. у:(т,ыт,ы)~ тмвр, д:(я,у,г)~ т У,если ы х з ж т соя р, у ж тма р, з = з, (т, ыы, ы) б В, В=((т,зы,з):0<о(т<Я, 0(р(2т — Б, )з)<Н, 0<Б<2т).
и Имеем (узд) жу' д ж в ы ызмы я тугое ун ~/ыыззы ы +ы 0 — 0 тыуеоыф О * еы 1 ож ыыаыы 33ы галы 0 сову -тмв Р О'(БУ;т~~+ыы ж 0 1 ы*еы' ыыеыы 0 Учитывал равенства (1), оаончатеяьно находим ыт1 0 01 (Уо д)' = О 1 О ) . » 0 0 1 где р(у) = 3 рз(у)ду. о Используя условие «(з, О) = з, находим з(з, 0) си р(х) = з; следовательно, з(з, у) ж *-;~+ Ч*-+ Р(у)+* Датее, из условия з(0, у) = уз следует з(0, у) ьд р(у) = уз. Танин образом, огончательно имеем з(з, у) = ~--У-+ у + з.
к дзз 83, Найти решение з = ы(з, у) уравнения — = 2, удовлетворшощее условиям х(з, О) = дуы 1, «„'(з, 0)ж з. и Аналогично предыдущему -з — '"1 = 2У+ ыы(з), «(х, У) = У + Ут(з) + т(з). Принимая во внимание, что з(з, О) ш тр(з) = 1, з„'(з, 0) ш р(х) = з, оаончательно находим (., )=у+л+~.. Найти производную следующих отображений Уо д 12. Частные производные н дифференциалы функции векторного аргумента 145 Н6. Пусть «Сг«т«» / т сов у аа В «1 у д: (т, у, В) «-«тзшуаад, /«(ху, з)»» тсовд атосов з сов уипд -тип увшд гсовусовд впувшд тсовуиад твшусовд 4- '+г' совВ 0 -т в1п В * »з Ф« Умножив матрицы и подставив вместо х, у и * их значения из (1), получим Аналогична находим, что /1 0 01 (до/)'= 0 1 0 .
В 0 О 1 о «, Найти л», если з = (/о до Ь)(з, 1, в), «:«,» («»'зг), «:«,»-('„~). «:«,, «(,, «„), уж«вшу, т=ыи, у=з +1 +в. х = гсов у, Ч Имеем Х'=/«д' /«'. В силу ассоциативности произведения матриц, справедливо равенство й»ж(/«д') /в'. А поскольку (' У»з'„'в ~фТ ~ /сову -типу'1 (1 0«1 1 /Зв зв зт) д ~ т * / (вшу гсову/ (О 1/' (2~ 21 2" / ~-.+. *" (' то (1 О) (1и зв вт) (Фв зв зт) уирюииення для самостоятельной работы Найти частнме проивводные следующих функций: 17. /(х, у) = '-"-*-а. 18.
/(х, у, з) = 1а(хувзв). 19. /(х, у) = хву+ 2хзут + хув + * — у. 20. /(х, у) = -у+2$+ . 21. /(х, у) ж *-. 22. /(х«у) =(2хзув — в+ 1)з. . т«*, » - ~«,. «4. «», » =, с««7: «т. ««. л., „.« =, Р «7 « .. (ту,д) ЕК /уж((ту,д):0<а<«<Я, 0<у <2т — 6, 0<0<«т, 0<6< 2т), х = тсозувшд, у= в!ау вшд, з = тсовВ. (1) Найти (/о д)' и (до/)'.
е По формуле дифференцирования сложного отображения, находим (/од) жу д = ь«'«««тз«ь«« ч ы+з +« — Х «зе„« з +з 7ЗСХС;-; ~~. „,.~ 146 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента д* дй д Р»,,«да +й =, о ...,«1 в. д д/ д» дв вх дд д» д« д« э/ дву 67. Полагая х = Щ, у = бв — Щ, « =  — СЛ, найти якобиан -~-'-'-"-'-'). В(1,»,Г) ' 68. Доказать, что если х = совр, у = зш)зсозб, « = ип(дзшусоз))), то якобиан равен — з)в р ВЙх 0 Бш з). 69. Доказать, что при зг = -й1=, аз = — Аь= —, из = -Л=, где г' = х'+ у'+ «з, справедливо равенство о(»~ »«, »з1 (1 «)— О(*о«з *«) «3 д» З дз» 1 70.
Проверить, что — = а --у, если е =,е ьм, ш в*' 71. Проверить, что х — +у — +« — = О, если в= Н д» д» д» д« д« д« Вычислить выражения: дз» дз» дз» 72, — зг — 2д,г„+ зн, если и= в(х+у). дз дз« ') 3 73. —,т ~у — ( —,~„~, есви и = Г«(ху). 26. У(х, у) =2* ". 27. У(х, у) ж)в(ха+маху).
28 У(х у, х) ж)п(к~+2«+163«) 29. ~(х, у) = сов(2х+Зу+1). ЗО. Дх, у) = е * з 31. 1(х) у) ж(х+1)~з+'. 32. г(х, у) = аш18 )* "-. 33. «(х) у) ж 2 «, 34, у(х, у) и 1в(е*+ 2е"). 35. /(х, у) = вгс15» . 36. 1(х, у) = ху — - + з, 37. г(,,у,,)ж,«+уз+,«4.,у4.„4.у,+,"у, 38 г(, у,) (,у) 39. Г(х, у, «) = «"". 40. 1(х, у, «) = аш18«+ з«сгуу+ агсК «. Найти дифференциалы следующих функций: 41. Дх, у) = мп(хз + уз). 42.
~(х, у) ж агссоз (ху). 43. ~(х, у) = 1п18-'. 44. 1(х, у) = ыс15 (хе + уз). 45. 1(х у «) = )в(х+ у — з). 46. у(х, у) = х". 47. 1(х, у) = соз(ху). 48. У'(х, у) = хз 4 у — ху. 49. 1(х у) = е"*". 59. 7(х у, «) = хзу+ узх+ «зу Непосредственным вычислением производных проверить теорему Эйлера об однородных функциях: 1 « 51. 1(х, у, «) = (хе+ уз + «з)з 1в-", 52. 1(х, у, «) = ";е*. 53. 1(х, у, «) = зш ,/(...)= — '. /(....)=,с(/г .*../(.,)= /«2 ~~2 ( «3 ' «' Найти частные проиазодиые первого н второго порядков в следующих примерах: 57. У(х, У) = з 1п(х 1.
У ). 58. 1(х, У) = агс16 1*-~-. . /(. ,) = ...(. г г) / „ (. / ). ю . /(. . .) - ,ЛГ~7 ~ » . Найти производные первых двух порядков от функций: 61. зж)«((,в),(жх+у,в=х-у. 62. а=в(4,в),(их~+у +«~,ужгу«. 63 з у(с В) с ж О 64. Показать, что если х = вс«, уз = (с/, « = «/в, то хд»+ ус«+«д, = бег +не +»,зс. 65. Полагая х = егсгм» р, у = дгз)в»)«, найти якобиан ж д» д« д вд дд д/ 66.
Полагая х ж а/со« (дзш В, у = 1/«ш~рз!в У, «ж с/сов»У, найти якобнан $ 3. Нем~же функции 147 Проверить следующие равенства: 74. (х — +у — фх — ) ижй,и= хзфузфхз, е в е1 е, ез ау + +, и 1в(х + у + х — Зхух). ' Е* е„еэ *+э+э' 76 — е +- в = -тэ ежугэ(х +У ).
77 е,э е„э — 2оез — — а и1 и =с р(х — у). э в* э еэ э з з е' е'« в. з 78, †" — †" = -21эа, и = Зэ(у — х) — хуэ(у — х). ( — ** 11 79. (х — У ) — '+ хУе' — — хУх, х = е~хэ Уезз' . 80. е,"+ е ", — — О, и = )а(х +У ). з еэ еэ Зеэч э 82. *'е ", +2хре'е +У' — ',", =п(п — 1)и,гпе и=к"Х(-")+х'-"Ээ(-") 83.
в-г — 2 —" + — ", = О, если и = хо(х+ у) + уф(х + у). 84. а и — — ( — ) ) = Ь ~и — — [ — ) ), где и = р(ау+ Ьх)ф(Ьх — ау) е,э (, е, ) ) ~ е„э [ еэ ) ) ~ 3. Неявные функции 3.1. Принцип неподвижной точки. Пусть Х вЂ” метрическое пространство. Определение 1. Оператор (отображение) А: Х Х называется сжимающим, .если ЗВ б [О, 1[эт Чх, у б Х: р(Ах, Ау) ц Вр(х, У).
Из определения следует, что оператор А удовлетворяет условию Лнпшнца н, следовательно, .равномерно непрерывен. Определение 2. Точка х й А называется неподвижной точкой оператора А, если Ах = х т. е. если она является решением операторноео уравнения Ах = х.
Теорема(Каччиополли — Пикара — Папаха). Всякий сжимающий оператор А, оэпображающий полное метрическое пространство Х в себя, имеет в этом пространстве единственную неподвижную квочку. 3.2. Определение неявной функции. Пусть задано отображение 1: Х х У Е, где Х С К , У О И", Е С и", причем множество Е содержит нулевой элемент пространства И". Рассмотрим уравнение Дх,у)=0, (1) Если существуют непустые множества Е С Х и Г О У такие, что Ух й Е уравнение (1) имеет единственное решение у б Е, то можно определить отображение Ьо: Е Р, поставив в соответствие каждому х й Е то значение у = Ьо(х), у б Г, которое при этом х является решением уравнения (1).
В этом случае уравнение (1) определяет Ьо как неявное отображение Е Е . 'х ьч 1р(х), которое называется неявным отображением (прн и = 1 — функиией), определяемым уравнением (1). З.З. Теоремы о неявной функции. Пусть задано уравнение Дхэ, *з,, хт, у) =О (1) которое запишем в виде 1(х, у) = О. Здесь х = (хэ, хг, ..., хю), х б Я (хо, а), хо = (хвэ, х3, ..., хв;), у б б(уе, Ь), Я(уо, Ь) = )уе — Ь, уо + Ь[, Обозначим П = В(хо, а) х Я(уе, Ь). 143 Гл. 2. Днфференцнальное нсчнсленне функцнй векторного аргумента Теорема У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
