Антидемидович 2 - ряды (1113363), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть функция 1 ( Р ь И удовлетворяет следующим условнямз 1) У непрерывная в Р и Яхо, уо) = 0; 2) е Р сущестеуегл частная производная уг, непрерывная а точке (хо, уо); 3) гг(хе, уо) зй О. Тогда Э 6 б]0, а[)т Зе б]0, Ь[ такие, что уравнение (1) определяет единственную функцию у: б(хо, 6) Ь'(уо е), (2) непрерывную е шаре о(хе, 6), и такую, что у(хо) = уо. Теорема 3. Пусть выполнены есе условия теоремы 1 и е области б(хо, 6) х Я(уо, е) С И щ существуют непрерывные произеодные Уе, 1 = 1, т, (э', причем уз' ф О.
Тогда неявная ез ' функция у: Е(хо, 6) о(уо, е), определенная уравнением (1), дифференцируема е каждой точке шара Я(хо, 6), а ее частные производные еьтисляются ао формулам 1.',(х, У) Ях, у) (3) Пусть задана система уравнений з (х),зз, ° сы у! Уз,у )жО, )=1,и, которую запишем в виде одного векторного уравнения у(х, у) = О. (4) Здесь х = (к), хз, ..., х, ), х О я(хо, а), хо = (х), хз, .. .
хо„), у = (у), уз, ..., у„), у б Я (уо, Ь), ус —— (уо), Уъ, ..., у~,). Обозначим Р = Я(хо, а) к Я(уо, Ь). Теорема 3. Пусть отображение У(Р И" удоелеп)воряет следующим условиям; 1) з непрерывное е Р о)пображение и У(хо, уо) = 0; 2) е Р существует частная производная з„(х, у)— (хо, Ус) ле (хо Ур) . ое (хо, Ус) непрерывная е точке (хо, уо); 1)ыг„( „„,1-фз "ь) ° (,ь).
Тогда д 6 б]0, а[)( Ле б]0, Ь[ знание, что уравнение (4) определяет единстеенное о)пображение у: о'(хо, 6) 3'(уо, ), непрерывное е замкнутом шаре Л(зо, 6), и такое, что у(хс) = уо Теорема 6. Если выполнены осе условия теоремь) 3 и е области Р существуют непрсрьпные частные производные бы Уз, а матрица Ув(х, у) обратима е этой области, то отображение у: Я(хэ, 6) о(уо, е) дифференцируемо е каждой точке х б б(хо, 6) и при этом у (х) = -(у„'(х, у)) Т,(х, у). (3) 3.4. Обратное отображенне. Пусть задано отображение ~( Х г У, где Х С й", У С И". Если длз каждого у й У уравнение Дх) = у имеет единственное решение х б Х, то на множестве У можно определить отображение У з: У Х, поставив в соответствие каждому у б У то значение х б Х, которое прн этом у звлзетсз решением уравнения у(х) = у.
Так определенное отобрыкенне назьгвается обратным по отношению к отображению У. Ясно, что отображение У звляетсз обратным отображению У ), поэтому отображения К н,У наэываютсз езаизгно обратными. 1 Из данного выше определения следует, что Г Ях))шх )ГхбХ, (1) З(з) (31)) Ш у ууб У. 13. Неявные функции 149 Теорема. Пусгнь отображение г ! Х -! У удовлетворяет следующим условиям: 1) у непрерывно е Х и уе — — у(хе), хе б Х, уз й У; 2) е области Х существует производная уг, непрерывная а точке хо, причем матрица " (хе) "(хэ) ... е (хо) д...г С! ! э!З "Ь' ~! )ЗУ Тогда эо(хо, е) С Х з! эо(уо, 6) С У саакие, что дяя сужения отображения 1 на юор Ь(ха, г) существует единственное непрерывное отобрамсние Г~ ! 6(уэ, б) 5(хэ, г), принимающее значение хо при у = уэ, т.е.
Г (уе) = Хс. ! Это отображение дифференцируемо в точке уе, и его производная в этой точке вычисляетсл по формуле (У ) (уе) = (1 (хе)) (3) Для якобианов из формуаы (3) получаем равенства Р(Т,.(э-',...,У )(у) 1 (4) зз(ус, уг, , ун) 11(У! зг .( ) Ю(хс, хэ, ..., г ) Прн формулировке большинства задач этого параграфа предполагается, что выполнены условия, обеспечивающие существование неявных функций и их соответствующих производных, 88. Показать, что функция Дирнхле ) 1, если х рационально, О, если х иррационально, разрывная в наждой точке, удовлетворяет уравнению у — у = О. м В рациональных точках значение функции у и ее квадрата уг равно единице. Поэтому в этих точках выполняется равенство у — у = О.
Если х иррационально, то у = О, у =- О, н мы снова убеждаемся в справедливости равенства уг — у = О. Таким образом, при всех действительных значениях х функцив Дирихле удовлетворяет уравнению уэ — у = О. ю 89. Пусть функция ( определена на интервале ]а, 6[. В каком случае уравнение 1(х)у = 0 имеет при а < х < 6 единственное непрерывное решение у = 03 ч Очевидно, у = О, а < х < 6, являетса непрерывнмм решением уравнения (1) при любой функции у', определенной на интервале ]а, 6[. Пусть у = у(х), а < х < 6, — другая непрерывная функция, являющаяся решением уравнения (1), и точка хе б]а, 6[ такая, что у(хо) ю О, Из непрерывности у следует, что у(х) р' 0 на некотором интервале ]а, 6[С]а, 6[, содержащем точку хе. Тогда длл выполнения равенства 1(х)у(х) ш 0 на интервале ]а, 6[ необходимо и достаточно, чтобы 1(х) ш 0 длл всех х из интервала ]и, !3[С]а, 6[.
Таким образом, если множество пулей функции у не заполняет целиком никакой интервал ]и, !3[С]а, 6[, т.е, нигде пе плотно па ]а, 6[, то у = 0 — единственное непрерывное решение уравнения (1). Ю ВП. Пусть функции у и у определены и непрерывны в интервале ]а, 6[. В каком случае уравнение Ях)у = у(х) имеет иу ииш1упваи ]а, 6[ единстенное непрерывное решениИ 150 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента М Пусть уравнение (1) имеет два иепрерывныя решения у = у(х) и х = з(х), а < х < Ь, т.е.
пуггп у(х)р(х) = 9(з), у(х)з(х) ш 9(х). Отсюда следуе~, что у(х)(у(х) — з(х)) ш О, а < х < Ь. Таким образом, решения у н з уравнении (1) совпадают, если однородное уравнение у(х)у = 0 имеет единственное непрерывное решение у = О, а < х < Ь. Это, в свою очередь, возможно лишь тогда, когда множества нулей функции у нигде не плотно на интервале ]а, Ь[ (см. пример 89). Если 1'(х) ~ 0 а < х < Ь, то очевидно 9 = Л(~) — единственное непрерывное решение Пз) уравнения (1). Пусть у обращается в нуль в некотором нигде не плотном множестве точек (С) С]а, Ь[. Тогда отношение д не определена на множестве (С], а функция у = Г является решением уравнения (1) только на множестве точек интервала ]а, Ь[, в которыя у(х) ф О. Если потребовать, чтобы существовал конечный предел йш —, 9(х) (2) *-1.(( )' что возможно лишь в случае, когда 0(С) = О, ( б ((], то функция х —, хб]а,Ь[, хгаб,бс(с), 9(х) 1(х) х~-йш —, *=С ббИ 9(х) Е у(х) будет единственным непрерывным решением уравнениз (1).
Итак, уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение, если: 1) множество точек (с), в которыя 1(с) = О, нигде не плотно на ]а, Ь[; 2) 9(() = О, ( б (с]; 3) существует конечный предел (2) для всех точек 8 б (б). М 91. Пусть дано уравнение х+у =1 н х у(х), -1<х<1, (2) — функция удовлетворяющая уравнению (1). 1) Сколько функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 2) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 3) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у(0) = 1; б) у(1) =О? и 1) Функций, удовлетворяющих уравнению (1), бесчисленное множество, например, если ха = -1+ — „ (Ь = О, п; п ж 2, 3, ...
), то для любого о = 2, 3, ... функция Д вЂ” х~, если хза < х < хтьгм у: х ~ — ~/Г- хз, если хзаез < х < хзз+з, О, если х = 1, где й = О,п, удовлетворяет уравнению (1). 2) Если х — произвольное фиксированное число из сегмента [ — 1, 1], то уравнение (1) допускает два решения: у= /~-хз у= — /~-хз.
Таким образом, можно определить две непрерывные функции р = Д вЂ” х и у = -Д вЂ” хз, -1 < х 4 1, удовлетворяющие уравнению (1). 3) Очевидно,. только одна из найденных в предыдущем пуюгге функций к = ~/1 — зз удо. влетворяет условию р(0) = 1. Условию б) удовлетворяют обе функции. в 92.
Пусть дано уравнение 161 $3. Нелвнэае фуэшцнм — )х(, если х < зю, у; х»» )х), если х»2»-1 <ч х < з»э — )х), если х»э ч х < х»э 41 где н Е г(, определена при всех х и удовлетворяет уравнению (1). 2) Из уравнения (!) находим )у( ж (х), -со < х < +со. Отсюда, в свою очередь, получаем р=-х, у=х, р=)х(, у=-ф, — со<с<+со. (3) Эти четыре непрерывные фуккцнн удозлегноряют уравнению (1). 3) Поскольку функции у = (х( и у = — )х! ие имеют производной в точке х = О, то нэ четырех функций (3) только две у = з, у = — з, х Е К, явлюотся дифференцируемыми решениямн уравнения (1). 4) Неносредствеиной проверкой убеждаемся, что среди функций (3) только две у = х и у = )х( удовлетворяют условию а) м все четыре функции удовлетворяют условию б).
5) Поскольку непрерывные функции у = х и у = (х(, удовлетворяющие условию у(1) = 1, тождественно равны в интервале ]1 — 6, 1+ 6[, О < 6 < 1, то для всех х нз этого интервала только одна непрерывная функцкя р = х удовлетворяет уравнению (1). м 93. У авнение х+у =х «-р (1) определяет у как функцию от х. Дхя каких множеств точек числовой оси таких функций: 1) одна, 2) две, 3) трк, 4) четыре? Определить точки ветвления этой функции и ее непрерывные э»так. М Иэ уравнения (1) находим у=~ -+ — +хэ-хэ, 1 1 2 4 1 1 .р э хэ 2 2 если О ч ф < !? —, !1+ ь/2 если1< (х(< ~ — их =О. (! «- Л 2 (2) Отсюда непосредственно следует 1) уравнение (1) ни прн каких хкачениях з не определяет единственной функции (иег общих точек, в которых совладали бы все чепяре значения у).
2) Уравнение (1) определяет две фунш|нн, если О<(з) <1 и )з(ж)( —. !'!+ ~ 2 3) ЕЗДМ З ж О МНМ )З) ж 1, тв раквнетна (2) дэле МЭМ трн ЭМаЧЕИИЛ р. ПОзтОМу Ма , $Ю.Ы 516 ур ю9(1) р р фу х ь» у(х), -оо < з < +со, (2) — функция, удовлетворяющая уравнению (1). 1) Сколько функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 2) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 3) Скотько дифференцируемых функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 4) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если; а) у(1) = 1; б) у(О) = О ? 5) Сколько непрерывных функций х ю-+ у(х), ! — 6 < х < 1 + 6, удовлетворяет уравнению (Ц, если у(1) = 1 и 6 достаточно мало? м 1) покажем, что уравнению (1) удовлетворяет бесчисленное множество функций.
Зададим произвольно множество (о), элементами которого являются монотонно возрастающие последовательности хш, х э, ..., х»ю ... такие, что дш х„„ж +со нрн всех а. Для каждого а функция 152 Гл. 2. Дийиференциальиое исчисление функций векторного аргумента 4) Если 1 < ]х[ < у —, то уравнение (1) определяет четыре функции. Из (2) убеокда- 1+# емсз, что ~~+ 2/г у=с -+ -+х' — хо, [х[<)( —, г 4 ' )!( 2 1 1<[[< 1 1 1+1/2 при с = ж1 явлшотся непрерывными ветвями. Точку (хо, уо) называют шочхоб о«шел«лил для уравнения г (х у) = О, если а) г (хо. уо) = 0; б) не существует окрестности точки (хо, уо), в которой бы данное уравнение удовлетворялось единственной непрерывной функцией у = У(х) и такой, что уо = 1(хо). Для нашего случаи (ж1, О), й12 —, АЗУ вЂ” точки ветвления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
