Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 53
Текст из файла (страница 53)
тогда согласно (3), и. 1.1, имеем (! — — $(С! У)~! = ~ — — ~!(С, хз, Уг)~+ ( Л(С! х!! Уз)~, где у!(С! х„Уз) = У, — хи уз(С! Уы х!) = Сх!. Следовательно, )~ у(с, у)~! = )1+1 — (1+с))+ ~с — с(!+с+ — с )~ = ~с (с+ — с )~ ( с +!с! — < 00105; е = О!0105! б = О. дз! дэ! Ю2 Ю2 — =1, — =-1, — =С, — =О, дх! ' дх! ' дх, ' дх! то постоянная Лнпшица К = 2. А тогда по формуле (4), п.
1.1, имеем: !!х(С) — У(С)!! < 0,0053(езй — 1) й О!0053(сед — 1) < 0,0012. М Прыеечееие. Если в области определенна ив!вой части у(С, х), выпуклой ио переменной х, еышшнлштся !вг: нераеенспи ~ рук ~ < с', то в качестве постоянной лнишнлв можно вина число уг = ис. ~рй;- Гл.
5. Првблвкеввме методы решеввв дифференциальных уравнений ь 527. ум — хгу = О, у(0) = 1, у'(0) = 0; у = етг, !х! ( 0,5. ьа Переходя от уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка, имеем: Р Р г у=хь у =хм хг=хм хг=!хн ьь хг(0) = 1, хг(0) = 0; Уь — — ее, У~г — — у = — 1 еи, Щ ( 0,5. Пусть ЦхЦ = )хг / + /хгЦ Тогда согласно (3), п, 1.1, имеем: 1~-;— ! г)У ! У(!ь У)(! !!Уь Л(!ь Х!ь Уг)(+ !!Уг — Жь Х!, Уг)~.
Поскольку ! У, = — е ьгь 7г(!ь У„У,) = то из (1) следует, что уг — — !еьг, уг —— еи(! + !) Уг(!хг Уг)=!Уг=!е' ! ) — — у(1, У) = ~ — еи < гиах — еи = ' е и =0,0017., Поэтому е = 0,0017; б= О. Далее, так как Ь ь 2а(Ь+1)г+1' г2а(Ь+ 1)г+ 1/ь дЛ дУь дЛ г дуг — =О, — =1, — =1, — =О, дхг дхг ' дхг дхг то постоянная Лиишица К = 2 шах(1; !г) = 2 (см. примечание после примера 526).
В силу идах оценки (4), п.1.1, и имеющихся значений лля е, б, К справедливо неравенство Цх(!) — У(!)Ц ( ' (е — 1) < 0,009(е — 1) < 0,002. О,ООП Отсюда следует, что тем более )хг — х,! < 0,002. м 528. у' = 2ху +1, у(0) = 1; у = —, (х( ( —. 1 1 ! — х' 4 ьа Сначала находим числа е, б.
По формуле (3), и. 1.1, имеем: г )у' — 2ху — 1~ = (~ —, !у(0) — у(0)~ = О, (! — х)' 9' поэтому е = 9, б = О. ! Предположим, что решение у(х) существует в прямоугольнике Я = ((хь у): )х) ( ль )у — 1! ( «) (у(х) Е Л). Тогда для постоянной Лиишица К имеем оценку !д7! 4 К ( шах ~ — ~ = шах !4ху! =— л ~ду~ л 3' Используя полученные оценки, по формуле (4), п.
1.1, получаем (у(х) — у(х)! ( — ~е г — ! / ( — ( е г — 11 = О 034... 12 ~ 7 12 ь, Остается проверить, действительно ли точное решение у(х) содержится в указанном прямоуголь- нике. Поскольку функции 7(х, у) = 2ху + 1 и 7т = 4ху непрерывны в любом прямоугольнике ге, = ((х, у): !х! ~ (а, !у — 1( < Ь), то, согласно теореме сущеспювания, на отрезке )х( < Ь, где Ь = пйп ! аь «Г7, М = шах(2ху + 1), существует единственное решение рассматриваемой щдаль .мь ь.х муььь+ц'+ь ~(... ',).и* ' га(а+1) + ! уравнений $1.
Зависимвсть решеввв от иаиалымпг условий в параметров 243 получаем Ь=~(1+ —, а= =О,ЗОУ..., У=1,012.... 1 з/5 — ! 2а' Следовательно, в 2)г существует единственное решение у(х), где 2(г —— ((х, у): )х! < 0,308, )у — 1~ < 1,617) . Поскольку В < Лг, то оно существует и в 21. М Найти производные по параметру или по начальным условиям от решений след)лощих задач; 529.
у' = у+ р(х+ у'), у(0) = 1; найти — < а(г!»=о и Дифференцируя по параметру р тождества у,'(х, )г)»н у(х, (г) + )г ( х + у'(х, )г)), у(о,,и) = 1, имеем о(и г — = и+ х+ у (х, р) + 2)гу(х, р)и, и(0, р) = О, дх 'где и = -"у-'-д-. Полагая здесь,и = О, получаем задачу для функции уй< = и(х, 0): д(х ) д ди(х, 0) 2 = и(х, О)+ х+ у (х, 0), и(0, 0) = О. Функция х» у(х, 0) является решением задачи: у(х,о)=у(х,о), у(О,О)=1, что непосредственно следует из данной задачи лри р = О. Поскольку у(х, О) = е*, то, решая задачу (1), получаем окончательно и(х, 0)= — < =е — х — 1. а» ду! м а(г „=о 530* у' = у+ у + ху, у(2) = уо,' найти — ! г з ду дуо о-,=о и Пусть у = у(х уо) — решение данной задачи.
Тогда, дифференцируя тождества У*(х, Уо) — = У(х» Уо) + У (х~ Уо)+ ху (х1 Уо)~ У(2, Уо) = Уо по параметру уо, имеем: ди(х, уо) = и(х, уо) + 2у(х, уо)и(х, уо) + Зху'(х, уо)и(х, уо), дх и(2, 0)=1, и(х, уо)= ду(х, уо) дуо П олагая здесь уо — — О, получаем задачу для функции х» дд-< д ди(х, 0) 2 = и(х, 0) + 2У(х, 0)и(х, 0) + Зху (х, 0)и(х, 0), дх и(2, 0) = 1, где у(х, 0) — решение следующей задачи: у',(х,о) =у(х, 0)+у (х, 0)+ху (х, 0), у(2, 0) =О. Очевидно, у(х, 0) гв О, поэтому задача (1) принимает внд: аи(х, О) =и(х, 0), и(2,0)=1.
Отсюда находим и(х, 0) = е* ~. Итак, — =и(х,о)=е . ° ау! дуо „о Гл. 5. Прыблвкеивме мхпщм рввеввя двффизевциальвык ураоаевий з 531. — = х +Сага, х(О) =(+Со;найти — ! ' гй д)з!„= ' ° а Дифференцированием по Сз из данной задачи получаем задачу для функции и(С, Сг) = де(С р) дд (2) откуда 1 — С вЂ” 1п(1 — С) (1 — С)з Таким образом, дх ~ 1 — С вЂ” 1п(1 — С) — = и(С, 0) = д)з о=а П П ~Зг. С '.='У+' ' ( 2у=-у', х(1) = хо,, дх у(1)=у' д о и=2 < Дифференцируя по параметру уа каждое равенство данной задачи, имеем. ди(С, хо, уа) = х(С, ха, уа)е(С, хо, уо)+ и(С, хо уо)у(С хо уо) и(1, хо, уо) = О, де(С, хо, уо) 2 ' ' = -2У(С, хо.
Уо)е(С хоо уо) дС е(1~ хо~ уо) = 11 где введены обозначения: дх(С, хо, Уо) дУ(С, хо> Уо) и(С, хо, Уа) = ' ', е(С, х,„у,) = дуо ' ' " дуа Функции х, у являются решениями исходной задачи. Полагая в ней хо = 3, уа = 2 и интегрируя соответствуюШие уравнения, получаем: х(1,3,2)=С +21', у(1,3,2)= —. С Подставляя в (1) найденные функции, а таске хо = 3, уо — — 2, имеем: ди(132) з зз 2 = (С + 2С 11е(С, 3, 2) + — и(С, 3, 2), и(1, 3, 2) = О, де(С, 3, 2) 2 дС С = — -е(С 3 2) е(1, 3, 2) = 1.
(2) ди(С Сз) з з =С(х + Зх Сзи(С, Сз)) +2хи(С, д), и(0, д) = 1. Положив здесь Сз = О, имеем: ди(С, О) — = Се~(С, 0)+2х(С, 0)и(С, О), и(0, О) = 1, где функция С з- х(С, 0) является решением задачи: дх(С, 0) з гй =х(С,О), х(0,0)=1, получающейся из исходной при Сз = О. Из (2) находим х(С, О) = Т-'-Т. Подставив х(С, 0) в (1), полушем задачу для искомой функции: ди(С, 0) С 2и(С, 0) дС (1 — С)з 1- С 245 $1. Заввсвмость решения от вачальвых условий и параметров Из второго уравнения системы (2) находим: е(1, 3, 2) = —.
1 Подставив е(1, 3, 2) в первое уравнение системы (2), после интегрирования имеем: и(1, 3, 2) = ! 1п! — 2!+ 2! . Следовательно, — =! 1п! — 21+2!.м дх! г г ду„* =з г;г ~зз.~ *.=*'", ®="" - — '"( ' ( у =2х+(гу', у(О) =-2; д,и „о м С помощью дифференцирования кюкдого равенства данной задачи по параметру р и по- следующей подстановки д = 0 получаем: г(и(1, О) = и(1, 0) + е(1, 0), и(0, 0) = 1, де(1, 0) = 2и(1, 0)+уз(1, 0), е(0, 0) = О, где и((,,и) = — о,", Я, е((,,и) = — аь.. Функцию у((, 0) находим из задачи: х(1, О) = а(1, О) + у(1, 0), х(0, 0) = 1, у(1, О) = 2х(1, 0), у(О, О) = -2, которая получается из данной при (г = О.
Подставив х(1, 0) = —,'у(1, О) в первое уравнение, имеем задачу: у(1, 0) — у(1, 0) — 211(1, О) =О, у(0, 0) = -2, у(0, 0) = 2, из которой находим у(г, О) = — 2е '. Используя этот результат, из системы (1) методом исключе- ния получаем задачу: У(1, О) — 6(1, 0) — 2е(1, 0) = — 12е з', е(0, О) = О, б(0, 0) = б, решение которой имеет вил: е(1, 0) = 2е ' + е" — Зе г . Это и есть искомое решение.
М г г дх~ 534. х — х = (х + 1) — рх; х(0) = —, х(0) = — 1; найти— и Дифференцируя равенства данной задачи и полагая затем в кюкдом из них р = 1, получаем: г(ти(1, !) ди(1, 1) г(и(1, 1) дтг — — — 2и=-х~(! 1) и(0 1)=0 ' =О, гй Ф \ > 1! ~=а где и(1, р) = — ф —. Функция ! ~-~ х(1, 1) является решением задачи: дхн. е) огх(1, 1) г(х(1, 1) 1 — = 2х(1, 1)+ 1, х(0, 1) = —, х(0, !) = — 1, которую можно получить из данной цри (г = 1. Решив последнюю задачу, имеем: 1 х(1, 1) = е Учитывая зто решение, задачу (1) представляем в виде: й(С, 1) — и(1, 1) — 2и(1, 1) = — (е — -71, и(0, 1) = й(0, 1) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
