Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 54
Текст из файла (страница 54)
г -г Наконец, интегрируя последнее уравнение и используя начальные условия, получаем: дх! 1 ! 25 !'г 1 и 1 и(1, 1) = — ~ = — +е ~ — — -'г! — — е — — е . !ь д)г!„ю 8 ~Зб 3/ 4 72 24б Гл. 5. Приблшкеинме методы решения диффереицвальиык уравнений 535. Оценить, насколько может измениться при О ( х < 1 решение уравнения у' = х+ яп у с начальным условием у(0) = у, = О, если число уа изменить меньше, чем на 0,01. и Пользуемся неравенством (4), п. 1.!. В данном примере в = О, так как сравнивяотся между собой решения у(х) и в(х) одного и того же уравнения, т.
е. у' = х + яп у, в' = х+ яп в, где решение у(х) удовлетворяет начальному условию уо — — О, а решение в(х) — условию в(0) = во, для которого, согласно условию, справедлива оценка )уа — га! ( 0,01, или )во( ( 0,01. Следовательно, по формуле (3), п.!.1, 6 = 0,01. Далее, так как ! яп у — о!ив! < )у- в(, то постоянная Липшица К = 1, и, согласно оценке (4), и.
1. 1, имеем окончательно: 1у(х) — в(х)! ( 0,01еи! ( 0,01е щ 0,0271, я 536. Чтобы приближенно найти решение уравнения х+ яп х = О, его заменили уравнением х + х = О. Оценить при 0 ( ! ( 2 возникающую ог этого погрешносп в решении с начальными условиями х(0) = 0,25, й(0) = О, если известно, что !х — в(их! ( 0,003 при (х! ( 0,25. и Пусть у(!) — решение задачи у+ яп у = О, у(0) = 0,25, у(0) = О, (1) а х(1) — решение задачи: х+ х = О, х(0) = 0,25, х(0) = О.
(2) Тогда для погрешности н(1) = х(1) — у(!) путем почленного вычитания из равенств (1) равенств (2) получаем задачу: й(!) + и(!) = з(ну — у, и(0) = О, и(0) = О, решение которой имеет вид: и(!) = ( (вш у(т) — у(т)) яп(! — т)г(т. (3) а Умножив почленно уравнение (!) на у и проинтегрировав, а также приняв во внимание начальные условия, получим: у' = 2(сову — сов 0,25). Отсюда следует, что (у(( 0,25. Поэтому !япу — у! < 0,003, и из (3) находим ну~кнуго задачу: 1 з !п(1)! ( / /а1пу(т) — у(т)! !яп(! — тиг(т ( 0 003 / !з!п(! — т)! ят ( 0 003 / ат = 0 006, в 5 2. Аналитические приближенные методы 2.1.
Метод отененных рядов. Если коэффициенты ра(х), р~(х), рз(х) лифференциального уравнения ра(х) уо + р, (х)у + р,(х) у = 0 (1) в окрестности точки х = хо яютяются аналитическими функциями, т.е. разлагающимися в ряд по степеням х — хо, и ро(ха) Ф О, то решения этого уравнения в некоторой окрестности указанной точки также аналитичны. Если же точка ь = хо является в-кратным нулем функции р„ в — 1-кратлым (или выше) нулем функции р, (если в > 1) и в — 2-кратным (нли выше) нулем функции р, (если в > 2), то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (1) в ниле суммы обобщенного степенного ряда у(х) = (х — хо)' ~ ' а„(х — хо)", «=а где т — некоторое число. Если функция у является аналитической в окрестности точки (хо, уо), то решение задачи У = У(» У) У(хо) = Уа б 2.
Аналитические иряблшкевиые метолы 247 также является аналитической функцией в окрестности точки х = хо. Аналогично, если функция 7 =~~~х, у, у', ..., у " ) является аналитической в окрестности точки (хо, ум уо,, уо ), то (ой / о (о-(К) сущ вует решение задачи Ум' = 1, У(хо) = Уо, У'(хо) = Уо, ", Уго н(хо) = Уо" ' в виде ряда по степеням (х-хо). Для отыскания коэффициентов ряда часто используется формула Тейлора. 22. Метод малого параметра. Если в задаче (Сх, — = ~,(С, х(, хк, ..., х„, д), х,(Со) = а((д) к = 1, и, (2) фя(клин 3(, а, являются аналитическими по совокупности переменных х„х„..., х„д, то вектор-решение ее х(С, д) разлагается в сходящийся при малых значениях д (л(алых по сравнению с единицей, т.
е. ф « 1) степенной ряд по Сц х(С д) = Уо(С) +ду((С) + С( Уз(С) + (3) Для того чтобы найти функции у„у„..., следует разложить правые части в задаче (2) по степеням д и, подставив туда разложение (3), приравнять коэффициенты при одинаковых степенях д. В результате получаем систему дифференциальных уравнений с соответствуюшнми начальными условиями, интегрируя которую последовательно определяем функции ум у(, .... При этом произвольные постоянные находим, используя начальные условия; у,(Со) = ((кьа (кг, а„,), где ак~ = сопз(.
Пользуясь методом малого параметра, можно приближенно находить периодические решения уравнений вида х + а х = С(Р(С, х, т, д), (4) где г" — известная периодическая функция по С. В этом случае постоянные интегрирования, возникающие при решении дифференциальных уравнений относительно функций уо, у„..., на- ходятся из условий периодичности функций, заключающихся в отсутствии резонирующих чяенов в правых частях указанных дифференциальных уравнений. Если правая часть уравнения (4) явно от С не зависит, то период решения х(С, д) заранее не известен.
В таком случае в уравнении (4) следует сделать замену т = С(1+ Ь(д+ Ььа + ...), (5) где т — новая независимая переменная, и искать решение х(т, Ск) периода —. При этом коэф2х фициеиты Ь(, Ьк,... определяются из условий периодичности решений уо(т), УДт), .... В каждой нз задач 537-542 найти а виде степенного ряда решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов ряда. 537. у' = у' — х; у(о) =1. м Функция 7(х, у) = у' — х является аналитической по совокупности переменных *, у в окрестности точки (О, 1), поэтому существует аналитическое решение этой задачи у(х) = ~,а„х". =о Подставив его в данное уравнение, получаем тождеспю по х; а, + 2акх+Зарх + ...
= (по+а(я+ах + азх + ...) — х. з к з ПРиРавнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему уравнений относительно чисел а, (к = О, 1, 2, ...): а, = ак, 2ак = 2аоа( — 1, Заз — — а, + 2аоаз, 4ао = 2а(аз + 2аоаз 2 Так как у(О) = 1, то ао — — 1. А тогда из уравнений полученной системы последовательно находим: 1 2 7 а(=1, аз= — аз= — ао= —, 2' 3' 12' 24В Гл.
5. Приближенные мепквя решения лиффервшшальных уравнений Таким образом, приближенное решение имеет вид: 1 2 2 з 7 4 у(х)и1+х+-х +-х + — х.~ 2 3 12 г 1 з ((х, у) = у+х(1+у+ — у + — у + — у + ...) . 2 6 24 Далее, принимая во внимание начальное условие, ищем решение в виде ряда у(х) = ага+ага +азх + аох +.... 2 3 4 Подставив его в уравнение о уг у =у+а~ в=о Ь( и приравняв коэффипненты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений: аз=о, 2аг=1, Заз-— аг, 4ао=аз+ам ° ° откуда находим 1 аг = —, 2 1 1 аз —— —, ао= —, 6' 6' Следовательно з 1 4 д(х) = — х + — х + — х + .... > 2 6 6 539. у" = хд' - д'; у(о) = 1, д'(о) = 2.
< Как и в предьщчцих задачах, приблшкенное решение у(х) можно бьшо бы получить в виде частичной суммы степенного ряда, находя коэффициенты его из некоторой системы рекуррентньп уравнений. Однако в данном случае мы поступим по-другому. Именно, зная, что искомый степенной ряд является рядом Тейлора, путем последовательного дифференцирования правой исти данного уравнения по х вычисляем нужного порядка производные в точке х = О. Таким образом„учитывая начальные условия, имеем: уо(О) = -д'(О) = -1, у (х)= — (хд — у)= дт (х) = 2уо+ хуо — 2д'г Следовательно, по формуле Тейлора, у +ху' — 2ду', у'(0) = -2, д'"(о) = -в, — 2уу", 2 1 3 1 4 у(х) = 1+2х — — х — — х — — х — ....
~ 2 3 3 540. — = 1 + — д, — = -1 + 1 + х + д; (о) = 1, у(о) = — 1. 4(Х 2 4(д 2 2 М 4М и Поскольку правые части уравнений являются аналитическими функциями переменных х, у, 1 в совокупности, то решение ищем в виде х(1) = аз + агт+ аг( + аз(~ +..., У(1) = Ьо+Ьзт+ Ьг( + Ьзв + ....
Подставив их в ланные уравнения и приравняв коэффициентм при одинаковых степенях 1, получаем систему уравнений относительно чисел ап Ьн в = 1, 2, ...: 2 2 аз — — ао Ьш 2аг — — 1+ аз — 2ЬоЬ!, Заз = аг — Ьг — 26462~ " Ь! = -1 + Ьо + ао 2Ьг = Ьг + 2аоаг, ЗЬз = 1 + Ьг + аг + 2аоаь 538. у' = у + хе"; у(0) = О. и Функцию 7(х, у) = у + хе" разложим в степенной ряд в окрестности точки (О, 0) по степеням х, у: 249 ае = 1, Ь, = -1, последова- Отсюда, принимая во внимание начальные условия, которые дают тельно находим: 1 1 5 а, = О Ь, = — 1 аг = -- Ь: = — — аз = —— > 2' ' 2' б' Следовательно, 5 з е~ х(1) = 1 — -1 — - ! + ..., у(1) = — 1- ! -— 2 6 ' 2 1 Ьз=-- 6' ! — +....и б дгг дуг дзг) Л((,х,у)=(1-!) — +х — +(у-1) — ~ + де ах д" >м д'Л дгУг < + — (! — 1) — + 2х(à — 1) — + 2(1 — 1)(у — 1) — + 21 ( д(г а(ах м д1ду~ +2х(у — 1) — + х — + (у — 1) — + ...
= гагзг за'Л даду „дх дуг = ах+ х(! — 1)Ь+ сх(у — 1) + ..., где ху 1п(! + х + у') >у =1+ г+уг> - »у !+(!+! )з > Л(1 х у)= гг(1 х у)= )п2 1 1п2 а= Ь= — 2(1+ 181) 1+(1+!81)" 2(!+(1+!8!)) (1+(1+! 1))" 1п2+ 1 1п2 1+('+'8') (1+(1+18Ц') Таким образом, имеем задачу: г г и ! 1 - ! з(у - !) (1 - и' 3(! - !)(у - 1) *' з гй 2 4 4 8 8 4 8 — =ах+ах(1 — 1)+ох(у — 1)+ ..., х(1) =О, у(1) = 1. ду Далее, ищем решение задачи (1) в виде: х(!) = аз(1 — 1)+ аз(Ф вЂ” 1) +аз(1 — 1) + ..., У(Е)=1+6>(! — 1)+Ь,(1-1)'+Ь,(! — !)'+ ..., ,Ь ! 4 ху Ьг(1+ '+ у') 541. — = ; х(1) = О, у(1) = 1, 8! 1+хг+уг> 8! 1„.(1.„1 „)г м Сначала, пользуясь формулой Тейлора, разложим правые части уравнений по степеням (! — 1), х, у — 1: 1 аЛ аЛ дЛ! Л(йх,у)=-+(! — !) — +х — +(у — 1) — ~ + 2 а! а ау ~„ агЛ + —, ~(1 — 1) — ~ + 2(1 — 1)х — + 2(1 — 1)(у — 1) — + 2!1, д!2< д" ах м д! ду аз~ гд зг) +2х(у — 1) — +х — +(у — 1) — ~ 1+ ... = дх дУ ~м дхз ~м ау'~ 1 1 1 — 1 3(у — 1) (1 — 1)' 3(1 — 1)(у — 1) хг 3 + — + — — +-(у-1)'+ ..., 2 4 4 8 8 4 8 250 Гл.
5. Приблимеииме мепюы решеввя двффереишшльвых удавлений Подставляя последние ряды в уравнения (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ! — 1, получаем систему уравнений, из которой находим 1 1 а 1 — За 4Ь-а аэ -— -, Ь«=0, аг= — — Ьг=-, аэ= 2 8' 4' 48 ' 24 Ьэ = Следовательно, ! — 1 Ц вЂ” 1)г 1 — За х(!) = — + (! 1)э + 2 8 48 а 4Ь вЂ” а 1+ (! )г+ у э 4 24 «+з г(д 542.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
