Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Тогда из (2) получим 1 1 1 ха(С) = — (япС вЂ” яиЗС)+ — яи21. 8 3 Аналогично находятся функции х, и т.д. я В следующих задачах с помощью метода маааопз параметра приближенно найти периодические решения данных уравнений. 567. й+ х = са(х — х'). Н Поскольку правая часгь от С явно не зависит, то, согласно п.2.2, сначала сделаем замену - = ПС+ Ь,Р+ Ьз '+ ...), где Ьп в Е М вЂ” постоянные, подлежащие определению.

Тогда получим уравнение Ах 3 3 3 3 3 — 3 (!+Ьар+Ьзр + ...) +а = я ( — (! ~ьар+Ьзв + ...) — ( — ) (1+Ьадтьзр + ...) ), (1) Далее, приближенное решение уравнения (1) ищем в виде х(т, и) = хо(т) + рх,(т) + р хз(т! + .... (2) Подпилив (2) в (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях и, получим: хо + хо .з йа + ха = хо — ха — 2ьахаа ° 3 ° 3 ° 3- Уз + хз = Ьахо — 2Ьаха + йа — ЗЬайо.

— Зйайа — Ьайо — 2Ьзха решение первого уравнения 265 б 2. Аналитические вриблвжевные методы (А, |р — произвольные постоянные) подставляем во второе уравнение (3): б,+х, = -Аяп(т+у|) (! — А яц|(т+|р)) +2Ь,Асоз(т+|р) = =(' ) 3 2 АЗ вЂ” 4 — А — А) яп(т+ р) — — з!и 3(т+ (2) + 2Ь,А сот(т+ р). 4 Поскольку мы ищем периодические нетривиальные решения, то в (4) должны положить -А — А=О, 2Ь!А=О. Отсюда следует, что Ь, = О, А = -7-. А тогда из уравнения (4) негрудно найти, что 2 73' (4) 1 х,(т) =А,соз(т+р|)+ — япЗ(т+у|), А„р| — постоянные.

!2Л Учитывая найденное, третье уравнение системы (3) представляем в виде: б|+ х, = х| — Злой| — 2Ь2бо = 4 2 = -А, (1 — 4яп (т+ у|)) яп(т+ р )+ — ь,со|(г+ 52) + (1 — 4яп (т+ у|)) сов 3(т+(р) = '3 42/3 = А, (Яп(т+ У|2) +Яп(т — У|2 + 2У|) — Яп(Зт+ 2У|+ У||)) + 462 1 б ( — + — у! соз(т + (с) + — (сов 5(т + у|) — соз 3(т + у|)) .

(„3,3.) 4»23 Отсюда видим, что условием отсутствия резонирующих членов является выполнение равенств: ! А|=0, Ь2=- —. 16 Таким образом, 1 х,(г) = — яп 3(т+ |р), 122/3 х(г, )2) = — соз(т + р) + яп 3(т+ р) + 0(12 ), т = ! ~1 — — + .... Г» 2 )2 / и' '3 12ъ/3 16 где т = 1(1 + Ь||з+ 6212~ + ...). Подставив эти разложения в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых сгспенял !|, получаем: 1 1 бе+хе — — О, У|+ х| = — + — соз2т+2Ь2соат, ба+из — — 2х|созт+ 262СОЗт, ....

(2) Из периого уравнения с учетом начального условия находим хр(т) = соя т. Поскольку функция х| должна быль пери|щической, то в правой части второго уравнения сястемы (2) следует положить Ь~ — — О. Тогда из этого уравнения нетрудно получить, что 1 1 х,(т) = Асозт+ — — — сги2т. 2 б Учитывал условие х,(0) = О, находим А = -„-'. Следовательно, ! 1 1 х|(т) = — — — созт — — соз2т. 2 3 6 568. в+х =% < Считая, что х мало, в качестве малого паркметра возьмем амплитуду колебаний, являющихся решением уравнения б+ х = О.

Полагая, для определенности, х~ = р (|и — мальп! параметр), периодическое решение данного уравнения ищем в виде: х = !|хе(т) + )2 х|(т) + )2 х|(т) + ..., (1) 266 Гл. 5. Приблилыииые мнимы решеаии лифз[мреиииальшлх уравнений 5 А 1 Ь| = — —, хз —— А — — соз 2т+ — созЗт. 12' 3 48 Так как хт(О) = О, то А = -32. Поэтому ! 1 1 1 хт = — — + — сот 2т -1- — соз Зт. 32 96 48 Таким образом, зг! 1 1 ) з/ 1 1 ! х = Гт соз т + р ~ — — — соь и — — соз 2т) + р [ - — + — соз 2 т + — соз Зт) + ...; [,2 3 6 ) т, 32 96 48 .= (1-!'2д" -)' Примечание.

Такой же резулыат получив и, если проделать аналогичные выклалки лла уравнения У ах = = Лх, а затем в решении положить Л = ! . 4 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 3.1. Метод Эйлера (с-го порядка. Длл численного решении дифференциальной задачи у'шУ(х,у), у(х)=у, «Ь, где У и У(х) = (Мх), Ут(х)~ " з У (х)) У(х* У) = (у (х У! Ут " . У ) Б(х, Уи Ут, з У ), " ) — достаточное число раз непрерывно дифференцируемые функции, отрезок интегрирования [х„Ь[ делят на равные части длиной 6 = — „-а и по значению у(хе+ 16) = У! приближенно вычисляют у[хе+ (1+ 1)6) = ум, с помощью формулы т ь У+ — У!+ ЬУ! + 2, У~ + " + и У (2) где ,( ду(хп У,) ду(хн У,) Гл = — Х(х У) = + д /(хн У!) е=ез дх др т=и дат з уз = Г(хн у~) дЛ д,( др, ду' ду х! = хо+ !6, 1 = О, 1, 2, ..., и — 1.

ду ду' ду д.! др др ПогРешность на шаге интегРиРованил [хп хзьз[ имеет поРЯдок 0((тьм). Подставив значение х,(т) в правую часть третьего уравнения системы (2) и потребовав, чтобы она не содержала резонирующих членов, получаем 267 3.2. Метод Рунге — Купа 4-го порядка. Сначала определяются числа уз(хзз Уи| (озз ° ° ° |У |)| Ьйи Ьйи Ь)зи '| 7(хг Ь Уи+ Ул+ У |+ ) Ьйи 1|йзг Ьйзг з ~,(.,+-, и+ —,.+,...,,,+ — ~), 7) (х|+ Ь, уи % Ьй|з, ух + Ьйгз ., у | + Ьйзз) а затем приближенные значении уз ы, находятся по формуле Ь г у|,|+| —. У,| + — (йзг + 2йа + 2й|з + й г), з =- 1, т. 6 (4) Погрешнос|ь иа шаге интегрирования (х|, хзю) имеет порядок О(йз). 3.3. Метод Штермера.

Приближенное значение у, |+, в задаче (1) ищется по одной из формул: (5) (6) (7) где | з = 1, и, Уи = У,(х|), х| — -хо+(Ь, Ча — — УЯхз)Ь, г 3 з г г1Ччг-| = Ча — %,|-|, гь Чй|-г = гйЧьг-| г5Чьг-г, г1 Чч|-з = гй Ч.,|-г — 1~ %,|-з. Погрешность бюрмул (5), (6), (7) на одном шаге интегрирования составляет О(йз), О(Ь"), О(Ь') соответственно. Для начала интегрирования по формулам (5), (6), (7) требуется знать несколько первых значений у;(х|), которые предварительно можно найти, использовав либо метод Эйлера, либо метод Ру|пе — Купа, либо метод степенных рядов. С помощью метода Эйлера й-го порядка найти приближенно на указанном отрезке решения следующих дифференциальных задач: 569.

у' = х+ у', 0 < х < 1; у, = у(0) = 0,5. м Пуси, й = 2, Ь = 0,2. Поскольку погрешность на каждом шаге имеет величину О(Лз) щ из 0,008, то вычисления по формуле (2), и.3.1, будем вести с тремя знаками после запятой. Имеем: Ь' Ь' УУУ(хи у,) 0У(х„у,) ум|=у,+Ьу,'+ — уз'=у| ЬЬУ(хиу)+ — ( ' + ' 7(хну)) = 2 ах ау з 1з l з гз = у, + Ь(х, + у, ) + — (1 + 2У,(х| + у, )), 1 = О, 1, 2, 3, 4, у = у -Ь 0,2(0,72+ у ) + 0,02(1+ 0,4(у + 2У)з). 1 2 1 У|,|+| = Уа Ч %|+ гзуьг-з+ 2 1 2 5 г !2 г гз %,|- + — гз %,|-з 12 ' 8 268 Гл. 5. Приблившивые жтоды ревмвиа дифференциальных урвваеиий Полагая здесь последовательно ! = О, 1, ... и принимая во внимание начальное условие, получа- ем: у, = о,з+ о,г.

о,09+ о,огП+ о,о54) = о,зз9; Уг — — 0339+ 02 (Ог+ (0339)) + ОО2 (1+ О 4 ОЗЗ9+ 2(0339)) = 0426; у = 0,426 + 0,2 (0,4+ (0,426) ) + 0,02 !1 + 0,8 0,426+ 2(0,426) ) = 0,572; уа = 0 572+ 0 2 (0>6+(0>572) ) + 0 02 (1+! 2'0 572+ 2(0 572) ) = 0>799! уз — — 0,799+ 0,2 (0>8+(0,799) ) + 0,02 (1+ 1,6 0,799+ 2(0>799)~) = 1,153.

М 570. у'= — — у, 0~(х~ (1; у,=у(0)=1. У м Пусть !г = 1, Ь = 0,1. Погрешность на шаге интегрирования имеет величину 0(Ьг) ы 0,01, поэтому вычисления будем вести с двумя знаками после запятой. Согласно формуле Эйлера 1-го порядка имеем: >'О,П уьа = у, + 0,1 ! — — У>~, или ун> = у> + 0,1 ( — — уз), У> У> 1 = О, 1, ..., 9, откуда находим: /О,! у> = ую — 0,1ую = 0,9ую = 0,9; уг = уз + 0>1 ~— У> 0,03 уа = 0,9уз +— Уз 0,06 0,9ую+ — ' = 0,72; Ую /! — у>) = 0,9 + 0 1 ( - — 0 9 = 0 82; > 9 0,02 уз=09уг+ =076' уг 0,05 ую = 0,9уз+ — = 0,70! Уз = Уз 0,04 0,72; уз —— 0,9уа+ — ' = 0,70; Уа Ую = 0,74; Уз = 0>78; У>ю = 0,81.

° . Отсюда, учитывая начальные условия, находим: у, =о,по; сь = 0,244; у, = 0,4О8; уа = 0>609' уз — — 0,857. ° * =о, хг = -0,002, хз — — -0,009, ха = -0,027, хю = — 0>062, 571. *' = с + г — у, у = ! — а- гу; о < с < о 5! х(о) = у(о) = о. ч Возьмем Ь = 0,1; Ь = 2 (метод Эйлера второго порядка). Вычисления ведем с тремя знаками после запятой.

Согласно формуле (2), п. 3.1, имеем: ьг ь хьн —— х, +Ьхз+ — х> = х, +Ь(Сз+2х, — у,)+ — (1+2хз — у>) = 2! 2 !г = х> + Ь(С> + 2х> — у>) + — (! + 2(С> + 2х> — у>) — (1 — х> + гу>)) = = Ьг!(1+ Ь) + (! + 2Ь+ — Ьг ~хз — (Ь+ гпг)У, = О О! И+ 1 225х> — О 12у>, Л !г уьп = у, + ьу, + — у, = у, + ь(! — х, + гуо+ — (-*', + гу,) = 2 2 !г = у> + Ь(1 — х> + 2у>) + — ! -С> — 2х>+ у> + 2(! †.х, + гу>)) = 2! ~ ь =Ь(1+-(2-ЬС)~~-(Ь+2Ь)х>+~~гЬ+-Ь +1)у>= ) 2 = 0,110 — 0,0005! — 0,12х> + 1,225у>, ! = О, 1, 2, 3, 4. 269 С помощью метода Рунге — Купа 4-го порядка вычислить приблиосенно решения следующих дифференциальных задач (вычисления вести с тремя знаками после запятой): 572.

у'=у' — *, о<я<о,5; у(0)=0,5. и Пуси, й = 0,1. Тогда согласно п. 3.2 имеем: Йд- — у, — хо з йд = (у> + 0,05й>с) — хс — 0>05, з йз> = (ус + 0,05йд) — х> — 0,05, йо = (у> + 0,1йзз) — хз — 0,1, 0,1 ус>з =уз+ — (1сн+2йд+2йзз+йа), хз =ОН> уо=0,5, 1=0> 1,2,3 4. Отсюда, последовательно полагая 1 = О, 1 ..., получаем: йзо — — (0,512) — 0,05 = 0,212; йзо — — 0,210; йсо = (0,521) — 0,1 = 0,171; 0,1 ус — — 0,5+ — (0,25+ 0,424+ 0,420+ 0,171) = 0,521; йп = (0,521) — 0>1 = 0,171; йз, — — (0,53) — 0,150 = 0,131; йз> (О 528) 0 150 О 129; йм = (О 534) — 0 2 = 0085; 0,1 ус — — О 521 + — '(О 171 + О 262 + О 256 -1- О 085) = О 534; йп — — (0,534) — 0,2 = 0,085; йзз — — (0>538) — 0,25 = 0,039; йзз = (0,536) — 0,25 = 0>037; йоз = (0,538) — 0,3 = -0,0! 1; 0,1 у = 0,534+ — '(0,085+0,078+0,074 — О,ОП) = 0,538; йн = (0,538) — 0,3 = -0,011; йп — — (0,538) — 0,35 = -0,061; йзз = (0,535) — 0,35 = -0,064; йсз = (0,532) — 0,4 = -0,117; 0,1 > Ус = 0,538+ — '1-00! 1 — 0,122 — 0,128 — 0,117) = 0,532; Йы —— (0,532) — 0,4 = -0,117; йзс — — (0,526) — 0,45 = -0,173; йзс — — (0,521) — 0,45 = — 0,175; йм = (0,515) — 0,5 = — 0,235; 0,1 уз = 0,532+ — '( — 0,117 — 0,346 — 0,350 — 0,235) = 0,515.

М 573. у' = х — уз, 1 < х < 2; у(1) = 1. и Пуси й = 0,2. Тогда, как и в предыдущем примере, имеем: Йц — — х> — у>, з з й„=(х,+О!) — (У,+О,!Йа), з з Йзс = (хс+ 0,1) — (у>+0,!йзс), йо = (х>+0,2) — (у>+ 0,2йз>); О,1/ уз~> — Ус+ ~йз +2йд+2йя+Й~), х,-1+0,21, Полщая в этих равенствах последовательно 1 = О, 1, 2, 3, 4, получаем: Йи = хо — уо = О; Йи = (1,1) — 1 = 0,21; йи = (1,1) — (1,021) = 0>168; йоз = (1,2) — (1,034) = 0,37П 0>1 0,1 У> = Уо+ — '(йм+2йи+ 2!си+й>я) = 1+ — (0>42+0 336+0 371) = 1 037; Гл. 5.

Првблвмеивые мепввз решения двгуферевииальвык ураивеввй й~ = хг — уг = (1,2) — (1,037) = 0,365! йгг = (1,3) — (1,073) = 0,538; 270 йзг = (1,3) — (1,09!) = 0,500; йн — — 0,667; 0,1 0,1 уг уг + — '(йгг + 2йгг + 2йз, + йн) = 1,037 + — ' (0,365 + 1,076 + 1,0 + 0,667) = 1,141; йгг = хг — Уг = (1,4) — (1,141) = 0,658; йп = (1,5) — (1,207)г = 0 793; йзг —— (1,5) — (1,220) = 0,761; йзг = (1,6) — (1,293) = 0,888; уз = !з!41+ — ' (О 658 + 1,586 + 1522-г- О 888) = 1,296; 0,1 йгз = хз — Уз — — (1,6) — (1,296) = 0,880; йгз = (1з7) (1 384) = 0,975; !гзз = (1,7) — (1,393)' = 0,949; йоз = (1,8) — (1,486) = 1,032; 0,1 уз — — 1,296+ — '(0,880+ 1,950+ 1,898+ 1,032) = 1,488; йи = хз — уз = (!з8) — (1,488) = 1,026; йм — — Д,9) — (1,591) = 1,079; йзз = (1,9) — (1,536) = 1,063; йн = 4 — (1,701) = 1,109; О,! у, = 1,488+ — '(1,026+ 2,158+ 2,126+ 1,109) = 1,702.

Характеристики

Список файлов книги