Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 63
Текст из файла (страница 63)
х + хм+ 4хм+ Зх" + — х'+2х = О. 4 м Для исследования на устойчивостыкюпользуемся критерием Михайлова. В данном случае корни многочленов рЯ = 2 — 36+6, 902! = 9 — 49+— !5 4 имеют вид; бзд — — 1, 2; дз з =, .у. Следовательно, 0 ( бз < гл < бз ( Чз. Как видим, здесь 3 5 выполнены условия критерия Йихайлова !см. п. !.4), поэтому нулевое решение асимптотически устойчиво. М положительны, то согласно указанному критерию действительные части всех корней отрицательны. Сззедовательно, нулевое решение асимптотически устойчиво.
м б19. хм + 2х"' + бх" + 5х' + бх = О. 289 $1. Устайчвиос~ь 621. х"'+ х" + х'+ 2х = О. М Испытаем здесь уже рассмотренные критерии. Так как аа = 1, а, = 1, а, = 1, аз = 2, то главные диагональные миноры матрицы Гурвица 2(|=1>0, Ьз — — ~ 2 1 ~=-1<0, !уз= 2 1 1 =-2<0. 0 0 2 Следовательно, по критерию Рауса — Гурвица, нс все действительные части корней уравнения 7(Л) = Л' 4 Л + Л+ 2 = 0 отрицательны. Значит, асимптотической устойчивости нулевого решения нет. Далее, поскольку корни многочленов р(0=2 — (, 9(О)=1 — О не удовлетворяют неравенству 0 < 6 < Оп то по критерию Михайлова можем утверждать, что не все корни уравнения 7(Л) = 0 имеют отрицательные действительные гасти.
Предположим теперь, что хотя бы один из корней уравнения У(Л) = О чисто мнимый. Тогда, очевидно, оба уравнения 2 — ы = 0 и м(! -ы') = О должны иметь общие действительные корни. 1 Однако, поскольку общих корней нет, то мы пришли к противоречию. Таким образом, уравнение Г(Л) = 0 обяза~ельно имеет корень с положительной действительной частью. Последнее означает, что нулевое решение неустойчиво.
° 622. х'"+ 2х"'+ Зля+ 7х'+ 2х = О. м Состашия и вычло(ия первые главные диагональные миноры матрицы Гурвица 2 ! 2(! — — 2, 11~ —— ~ 7 З вЂ” — — 1, замечаем, что не все корни уравнения Г(Л) = Л + 2Л + ЗЛ + 7Л+ 2 = 0 24 ж у'206 сьз 5 ю 1 9; 5,7; Оьт — — 4; 11, удовлетворяют неравенствам: 0 < (, < гй < бз < гд. Следовательно, нулевое решение асимптоти- чески устойчиво.
М В следующих примерах (624 — 628) выяснить, при каких значениях параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 624. ха+ Зх" + ах'+ Ьх = О. м Составив матрицу Гурвица видим, что все ее главные диагональные миноры положительны, если За — Ь > 0 и ЦЗа — Ь) > О. Следовательно, если За > Ь > О, то нулевое решение асимптотически устойчиво. ~ имеют отрицательные действительные части. Предположим, что один из корней имеет нулевую действительную часть: Л = (а. Тогда должно быль: х — 2(ы' — Зы'+ 7гы + 2 = О, или ы~ — Зы'+ 2 = 0 л — 2ы'+ 7м = О.
Последнее соотношение показывает, что зто невозможно. Следовательно, хотя бы один корень имеет положительную действительную часть. Значит, нулевое решение неустойчиво. М 623. х + 5х + !5х" + 48х" + 44х'+ 74х = О. м Пользуемся критерием Михайлова. Здесь р(0 = 74- 486+ 56', д(О) = 44 — 15О+ О, а„= 74 > О, а„! = 44 > О. Кроме того, корни уравнений р(~) = О, д(О) = О, имеющие вид: 290 Гл. 6.
Устойчивость и $азоаме траеатарин б25. ахп+х"'+х" +х'+Ьх = О. м Как и в предыдущем примере, составляем матрицу Гурвица 1 а 0 0 1 1 1 а 0 Ь 1 1 О 0 О Ь и вычисляем ее главные лиагональные миноры: 1 а 0 2т,=1>о; .б,= ' '1=1-; д,=~ 1 1 1 =1- -ь;,б,=ь(1- -ь).
Согласно критерию Рауса — Гураица, для асимптотической устойчивости необходимо и достаточ- но, чтобы выполнялось соотношение: 1 — а>0 Л 1 — а — Ь>0 л Ь(1 — а — Ь)>0 л а>0. Решив эту систему неравенств, получим требуемые условия: а > О, Ь > О, а + Ь < 1, м 626.
хп +ах"'+4х" +2х'+ Ьх = О. и Применяя критерий Льеиара — Шипара, получаем: а ! 0 б,=а>0, Ь>0, 15!= 2 4 а =8а — аЬ вЂ” 4>0. 0 Ь 2 Отсюда находим, что асимгпотическая устойчивость наблюдается при вьлюлнении неравенств: а1<а<ан 0<6<4; а~з=(4~2ъ~4 — Ь)Ь '.!ь 627. х" + ах'" + 4х" + Ьх' + х = О. М Аналогично предыдущему примеру имеем: а 1 0 ! йч — -а~>0, Ь>0, тьз — — Ь 4 а =4аЬ вЂ” а — Ь >О.
0 1 Ь Отсюда находим условия асимптотической устойчимкти: 2 — з/3 « — 2+ з/3 (а > О, Ь > О). м 628. ха + х" + а х' + 5ах = О. Найти область устойчивости. м Применяем критерий Льенара — Шипара. Поскольку 1 1 а>0, бз=~ 5 з )=а(а — 5)>0, 5а а го нулевое решение асимптотически устойчиво, если а > 5. Далее, пусть 0 < а < 5. Тогда, предположив, что адин из корней уравнения У(Л) = Л + Л + а Л + 5а = 0 чисто мнимый, приходим к противоречию, так как Яы) = -(ы — ы + га ы+ 5 = 0 ю ы~ = 5а л ы~ = а .
Значит при а < 5 устойчивости нет. Если а = 5, из последних соотношений слелует, что Л, з = = х51. Нетрудно найти, что Лз —— -1. Таким образом, при а = 5 нулевое решение устойчиво (асимптотической устойчивости нет, так как 1лп е(1) не существует, где е(4) — возмущенное Ф +а решение). м 291 и 1. Устойчивость б29. Маятник состоит из жесткого стержня длины ! и массы гп на конце в! (рис. 30). К стержню прикреплены две пружины с жесткостью й на расстоянии а от точки крепления. Определить условие равновесия мюпника в верхнем положении. м Пусть )з — угол отклонения стержня от вертикали.
Тогда, считая угол р 1 о малым, легко составить функцию Лагранжа Ь = К вЂ” П, где К, П вЂ” кинетическая н потенциальная энергия системы соответственно. Имеем К = — т! ф, П = да~у~+ ту!совр, Х = — т(~(а — йа (е — тд!соз(е 2 2 (кинетической энергией пружин пренебрегаем). Далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составляем дифференциальное уравнение, описывающее малые колебания стержня окшю вертикального положения: о !'ВЬ~ дЬ вЂ” ~ —.) — — = т!'(3+ 2йа'и — тд(яп)з = О, А! ~хдф) ду! или (ввиду малости угла <р): у)+ Азз =О, где А = — т-~. Очевидно, при А < О устойчивости не будет (угол (е увеличивается неогра2аа — т ! го! ннченно).
При А > О стержень совершает малые колебания около асртикалн. Следовательно, если 2йа' > тд(, то вертикальное положение «гержня устойчиво. )и 63(). Механическая система, изображенная на рис. 31, вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг оси АВ. Тело массы М может двигаться вдоль вертикальной А осн АВ. Определить положение равновесия этой системы (массами стержней пренебречь). м Дзш составления функции Лагранжа вьгчислим кинетическую и потец- т т циальную энергию системы. Имеем: < х! =хм хз = ( — 2 — а(п2х! —.
уо (М+ т) япх, — Мат зт 2х!т! (гп + 2Мяп х ) г тот 2 т -! (2) К.=то у + +Т 2! М~ 2 2 где Т = та' з!п' О, х = !СТ)! = 2а сох В Поэтому ва. 3! К = то В +2Ма~у~з!п~д+ та~ы~з!и В. Потенциальную энергию системы рассматриваем относительно точки В ()СВ! = 2а), поскольку ниже точки В система расположиться не сможет.
Легко видеть, что П = 2тд(КВ!+ Мд!)3В! = 2ту(2а — а сох В) + Мд(2о — 2а сот 0). Таким образом, функция Лагранжа Ь = (т+ 2Мяп В)а В +та ы яп В+2да(т+М)созд — 2ад(2т+М). Составляем уравнение Лагранжа: А (ВЬ1 ВЬ 2 2 '2 з з. А! 'гдВ/ д — ( —.1 — — = 2а 0(т+ 2Мз!и О)+ 2а МВ яп20+2да(М+ т)яп0 — та ы яп20 = О. (!) Поскольку в положении равновесия 0 = О, В = О, то из (1) можно найти угол равновесия Ве, удовлетворяющий соотношению йп Вс(д(М + т) — том соа Ве) = О. Отсюда следуют физически возможные значения угла Ве.
д(М+ т) Ве = О, сов Ве ы < 1. таха Вводя обозначения х! = О, хз — — О, уравнение (1) представляем в виде сисшмы: 292 Гл. б. Устойчивость и фазааые траеатарии Рассмотрим устойчивость точки равновесия (О, 0). Ставя в соответствие системе (2) линеаризо- ванную систему уравнений хг = хн хг = (ги — — ( — + 1) ) х, и вычисляя корни ее характеристического уравнения г =+~~ -'-("— ~~) видим, что при условии тамг > д(М+ т), согласно первой теореме Ляпунова, точка равновесия (О, 0) неустойчива. пусть тазг~ < у(м 4 т).
тогда, подобрав функцию ляпунова е = хг(т + 2М ип х,) + 2(1 — сов х,) г — (М + т) — тог соз — ), г г /у г г х!~г а 2(г удовлетворяюпбто условиям: и(0, 0) = О, е(хн хг) > 0 при 0 < х, + хг < —, 4' е(х„хг) = 0 (в силу теоремы (2)), заключаем, что точка равновесия (О, 0) устойчива. Рассмотрим теперь устойчивость равновесия точки (до, 0). Сделан замену переменных х, = = до+ у,, хг = уг выражении для функции Ляпунова из предыдушего случая, а также потребовав, чтобы е(0, 0) = О, получаем е(ун уг) = уг~ т+2Мяп (Во+уг))+(соо(до+уг) — созда) (тог (соз(до+уг)+согде! — — (М+пг)). г/ г т/ г/ 2д Поскольку производная /(уг) = тог ( (М+по) — соо(В, +уг)) яп(до+ уг), г/ В ггг ~г где /(уП = (соо(В, + у,) — соз Во) ( тог (соз(до + уП + согде) — — (М + т)), г 20 а удовлетворяет условиям: /'(0) = О, /'(уг) > 0 при д > у, > 0 и /'(у,) < 0 при — 6 < у, < О, то функция / имеет строгий минимум в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
