Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 66
Текст из файла (страница 66)
45). ~ 649. У' = — УТ. м Из неравенств Рас. 44 2ху , <>О у -~- х находим области знакопостоянства производной у'. Именно, если (х>ОЛ у>0) Ч (у+х <О Л х>0) Ч(х<0 Л у<О Л у+х >0), то у' > О. На остальной части плоскости, исключая прямые у = О, х = О, где производная равна нулю, а также параболу у = -х, где производная не определена, интегральные кривые имеют отрицательную производную. Таким образом, в первом приближении картина интегральных кривых имеет вид (рис. 46).
Далее, из выражения лля второй производной 4 Г х +у у =2У (у+ хг)з следует, что интегральные кривые при (у > О) Ч (у < 0 Л х +у < О) выпуклы вниз, а при у < 0 Л х'+ у > 0 они выпуклы вверх. Поэтому с учетом выпуклости картину, изображенную на рис. 46, можем уточнить (второе приблилгение) (рис.47).
Заметим еще, что при построении кривых на рис. 47 мы принимали во внимание соотношение У=о „у+.г геометрически означающее, что интегральные кривые при удалении от начала координат по любой горизонтали распрямляются. Кроме того, при замене х на -х уравнение вида не меняет, поэтому все интегральные кривые симметричны относительно оси Ох. Наконец, выясним вопрос о том, какие из интегральных кривых стремятся в начало координат.
Ясно, что любая интегральная кривая, выходящая из обласги у+ х < О, попадает в угол (х > 0 л у < О) У (у + х > О). с другой стороны, через каждую точку (х, у), где д + хз ~ О, согласно теореме о существовании единственного решения, проходит единственная интегральная кривая. Следовательно, ни одна интегральная кривая, вышедшая из области у+ х < О, не может остановиться в указанном угле. В силу этой же теоремы ни одна из кривых не может пересечь ось Ох, поскольку прямая у = 0 является интегральной. Далее, ни одна из интегральных кривых не может уйти вдоль оси Ох на бесконечность, поскольку в рассматриваемом угле у" < О. Итак, осгается единственная возможность, когда все указанные интегральные кривые стремятся попасть в точку (О, 0).
Покажем теперь, что ни одна интегральная кривая не может попасть в начало координат со стороны у > О. 20и этого, предполагая противное, для некоторой кривой у(х) > 0 при х > 0 от дифференциального уравнения перейдем к интегральному у (д(г)а / 82+~(г)' Отсюда в силу оценки -г" — ( 1, находим (г) Г 4-д(Г) у(х) ( 2 /1 Ж = х . о Аналогично, Ряс. 48 у х д(х) < 2 ~1 пмх — й =— у о<тяп И+у 2 о и т, д. На н-ом шаге получаем неравенспю д(х) < — „.
Следовательно, у(х) ( 0 — противоречие. Учитывая все замечания, строим картину интегральных кривых в третьем приближении (рис. 48), м 650. у' = з м Аналогично предыдущим примерам из неравенств Ряс. 4Ф ху у х находим области монотонного возрастания и убывания интегральных кривых, а затем строим грубую картину повеления нх на плоскости Оху (рис. 49). Далее, из выражения юи второй производной д(д' -2х") д (д- ')' видим, что на графиках функций у = хзг'2х интегральные кривые меняют направление выпуклости. Области знакопостоянства второй производной изображены на рис.
Я. Проследим за интегральной кривой, цлущей из области х<0 Л у>0 Лу<х. 304 Гл. б. Устойчивость и фвзовые траектории Поскольку в этой области у' > 0 и у" > О, то ордината кривой растет при увеличении х, а выпуклость кривой направлена вниз (рис. 51). Ясно, что !нп у =+ос, с сс-0 а Ряс. 53 (ах + Ьу) г(х + (тх + Ьу) г(у = 0 не является уравнением в полных дифференциалах; 2) особая точка (О, 0) этого уравнения — седло, то оно имеет непрерывный в окрестности начала координат интегрирующий множитель. м Интегрируюпгий множитель (с = (г(х, у), удовлетворяющий в данном случае уравнению др др (пгх+ пу) — — (ах+ Ьу) — = р(Ь вЂ” т), дх ду будем искать в виде р = сг(ы), где ы = ах+ )уу, а, )5 — постоянные, поллежашие определению.
Подставив значение (с в (1), получим (г (ы)((та — о!У)х + (па — Ь!5) у) = (Ь вЂ” т)(с(сг). (2) Йп у = — со, с сс+С поэтому кривая пойдет вверх и левее точки х = хс. В точке М перегиба нет, однако, как следует из рис. 5 1, кривая поменяет направление выпуклости. Далее, в точке гсс она должна иметь перегиб, поскольку зта Рсс. 51 точка лежит на кривой перегибов интегральных кривых у = тг2х . На- г конец, поменяв еще раз направление выпуклости, интегральная кривая в силу отрицательности производной уйдет налево вверх (к +со).
Теперь проследим за интегральной кривой, выходящей из точки г (О, у) и идущей в сторону * < О. Поскольку у' < 0 при у > х, то ордината кривой будет возрастать (рис. 52). Однако, в силу того, по парабола у = Тх является решением данного дифференциальною урав- 3 г пения, наблюдаемая нами интегральная кривая не может ее пересечь, а значит, и уйти из области у > эх . 3 Х Следовательно, пространство межау параболами — г у=.2 и у=- 2 у будет заполнено гиперболообразными кривыми, одна из ко( торых рассмотрена выше.
Парабола же у = ч х служит раз- 3 г делителем указанных кривых. Далее, поскольку при фиксированном у < хг будет ху !пп =О, г ! Х то все интегральные кривые в области у < х приближаются к оси Ох и ее не пересекают (в силу того, гго у = 0 есть решение и при у = * выполншотся условия теоремы о един- г ! ственности интегральной кривой). При у < -чг2х' все ин! тегральные кривые выпуклы вниз, поэтому попасть в точку (О, 0) не могут.
Таким образом, в начало координат заходит только две интегральные кривые: Рсс. 53 у=О и у= хг. 7 Итак, принимая во внимание проведенное исследование, строим окончательную картину интегральных кривых (рис. 53), м 651. Доказать, что если !) уравнение 305 Положим (гаа — а)3)х+ (иа — ЬВ)у = Л(ах+ )уу), где Л вЂ” некоторая постоянная. Тогда из последнего тождества найдем: (ги — Л)а — ар = 0 иа -(Ь4Л)13 = О. 1 (3) Поскольку а ф 0 л Д Ф О, то в силу однородности системы (3) приходим к условию: пь — Л -а ! / = 0 ~ Л, з = — ~т — Ь х (га — Ь) — 4(аи — Ьги)) . и — Ь вЂ” Л 2 ~, Далее, так как особая точка (О, 0) — седла, то корни Ли Лз действительные.
Следовательно, числа а, 1) также действительны, н мы имеем, вообще говоря, два интегрирующих множителя, получающихся путем интегрирования уравнения (2): ь- р~ = С,)в,! ц, рз — — Сз!ыз! "2, (4) где ы, = а,я+ фу, и, = азх+ 1)зу, С„Сз — постоянные интегрирования. Заметим, что так как Ь Ф ги (это следует из условия 1) теоремы), то множители (4) отличны от постоянных.
Поскольку Л,Лз < О, то независимо от знака Ь вЂ” ги один из показателей в (4) является положительным. Последнее означает, что один из множителей непрерывен. м $ 3. Фазовая плоскость 3.1. Основные понятия. Система дифференциальных уравнений йхг йг — = уг(х„хн ..., х„), ь = 1, и, в которую переменная Г (время) явно не входит, а функции у, непрерывно дифференцируемы в некоторой области, называется авгвааамиай. Каждому решению хг — — р,(1), г = 1, и системы (1) поставим в соответствие движение точки в и-мерном пространстве (х„х„..., х„). Кривая, описываемая точкой в процессе движения, называется юравхюаривй. Таким образом, х; = р;(1), 1 = 1, и суть параметрические уравнения этой траектории.
Пространство размерности и, в котором решения системы (1) изображаются в виде траекторий, называется фазовых прастраастваи. В частности, если и = 2, то фазовое пространство называется фазавай плоскостью. Вектор у = (~и Уп..., у„) называется фазавай скарасюью. Положения равновесия автономной системы находятся из условия У = О, т.е. как решения системы конечных уравнений: Д(хи хз, ...,х„) = О, 1 = 1, и. 3.2. Построение фазового портрета.
Для того, чтобы начертить на фазовой плоскости картину траекторий автономной системы х= У(х, у), у=д(х, у), (2) нужно, во-первых, исследовать особые точки этой системы, а во-вторых, с помощью производных ую у~~г изучить поведение интегральных кривых уравнения йу д(х, у) йх у(х, у) (заметим, что иногда решения этого уравнения находятся в замкнутом вице). В том случае, когда требуется построить траектории уравнения У = д(х, х), нужно ввести переменную у = х и от этого уравнения перейти к системе х= у, у=д(х, у), которая юишется частным слу шем системы (2).
306 Гл. 6. Уетойчивоегь и фвэовме траектории 3.4. Признаки отсутствия предельиык циклов. Признак бендиксана. Если правые части уравнений(2) имеют непрерывные частные првизводныв первою порядка в односвнзнай области Р и выражение д/ дд — +— (3) дх дд нигде нг меняет знак и нв равно тозкдгстввиному пума„тв в области Р нет предельных циклов. Признак Пуанкаре. Пусть о(х, 9) = С вЂ” семейства гладких замкнутых кривых, покрывающих плоскость Охд. Тогда всви выражение дв до 1+ 9 дх дд в некоторой области Р сохраняет постоянный знак, то в нгй нгт предельных циклов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
