Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Кривые 311 $3.Фазоваа плоскость служат касательными к интегральным кривым, входящим в него. Р .го Особые точки показаны на рис. 72. Таким образом, исходя из сказанного н рисунков 71, 72, строим фазовый портрет (рис. 73).
)ь Рас. 71 Ряс. 72 Ра . тЗ 660. х+5х — 41п = О. х +1 2 < Исключив параметр ! из системы дифференциальных уравнений х +1 *=У~ у=4)п 5у 2 придем к уравнению г(у 4!и — * — 2+ — — 5у (1) г!х у с особыми точками: (-1, 0) н (1, 0). Решая неравенства 4 1п — *+- — 5р сО, у устанавливаем области монотонности интегральных кривых уравнения (1) на фазовой плоскости (рис. 74).
Кривую Рас. 74 4 х+1 5 2 интегральные кривые пересекают под нулевым углом, а кривую у = 0 — под прямым. Теперь исследуем особые точки. пересекаются интегральными кривыми под нулевым, а ось Ох — под прямым углом. Далее, известным способом находим две особые точки: ( — 1, 0), (О, 1).
Поскольку корни характеристического уравнения, соответствующего укороченной линейной системе Р'=О, й=-24, у мнимы, то особая точка (-1, 0) мотает быть для системы г х=у, у=х — у — 1 либо фокусом, либо центром. Принимая во внимание то, что прн замене у на -у уравнение (4) вида не меняет, Убеждаемся, что х рассматриваемая особая точка является центром для указанной системы. Точка (1, 0) является седлом, а прямые дг — — ьг2(х — 1)г уг = -ггг2(х — 1) Гл.
б. Устойчивость и базовые траеаторви 2!г Полагая в системе (е) х = 1+1, у = 0 и отбрасывая нелинейные члены, получаем укороченную систему: ь=б, 6=4ч — 50. Поскольку корни характеристического уравнения -5 х т/41 Л, 7 — (Л, ге 0,70; Лг м -5,7), то особая точка (1, 0) — седло. Прямые у = Л,(х — 1), у = Л,(х — 1) тис 75 являются касательными к интегральным кривым, входящим в эту точку. Аналогично, полагая в (з) и = = — 1 + (, у = О, получаем укороченную систему: 4=0 6= 44 — 57) характеристический определитель которой имеет нули Л,=-1, Л7=-4. Следовательно, особая точка (-1, 0) — узеа. Из уравне- ( -4 — 5 — Л|) (е,) находим, что все интегральные кривые, проходящие через узел, касаются прямой у = — х — 1, а из уравнения ( -4 -5 — Л~) (ег) следует, по все указанные кривые пересекаются интегральной кривой, проходящей через узел и имеющей в нем касатезшную у = -4х — 4.
Окрестности особых точек изображены на рис. 75. Наконец, учитывая все полученные данные, строим полную фазовую картину (рис. 76). ~ 661. х = 4 — 4х — 2у, у = ху. и Из системы Гас. 76 4 — 4х — 2У=О, ау=О находим особые точки: (1, 0), (О, 2). Известным способом (см. выше) устанавливаем, что (1, 0) — седло, а точка (О, 2) — вырожденный узел; Гас. 77 т причем в седло входят интегральные кривые под углом о = — 4-.
Далее, ось Оу интегральные кривые пересекают горизонтально, а прямую 4-4х-2У = 0 — вертикально. Решая неравенства хр >О 4 — 4х — 2у устанавливаем области монотонности интегральных кривых (рис. 77). Для более четкою представления о поведении интегральных кривых рассмотрим знак второй производной 4У(у — У1)(У вЂ” Уз) (4 — 4х — 2У)з з з где у, = 2 — х+ от, уз = 2 — х — х 7 (х > 0). если х ( О, то 4У (у + у(2х — 4)+(1 — х)(4+ х )) (4 4х гу)з Решая неравенства зО прях>0 (4 — 4х — 2и)з и ++++ ++++ ++++ ++ ч+ ++++ 2 +++++ +++++ +++в+ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ +++ — — — +++ ./. + Ъ~ — — — // + + ++ — 'к т+ ++++ 1 ++++ ><О при х< 0, (4 4 2У)з находим области выпуклости интегральных кривых (Рис.78).
Заметим, что на прямой 4 — 4х — 2у = 0 и на кривых У = Уг, у = уг часть траекторий меняет направление выпуклости. Теперь проследим за интегральными кривыми, проходящими через особые точки. Через седло проходит прямая у = О и кривая, пересекающая ось Ох лод углом а = — а/с!8 з. Эта кривзя на параболе у = у, имеет точку перегиба и пересекает ось Оу горизонтально, а прямую 4 — 4х — 2У = 0 — вертикально. Наконец, под углом 135' к оси Ох она входит в узел. Нижняя часп, ее (при у < 0) проходит под параболой у = у„поскольку; +++ +++ + + .~- +е+ +++ +++ +++ + ++ сг Ъ е+ х+ г +++ +++ м — а ш Р х 3 1) У - — 2 при у — -со, а уг - -чхт; 2) попасть в обласп, между кривыми у = у, и 4 — 4х — 2У = 0 при у < 0 рассматриваемзя кривая не может, ибо в противном случае, имея выпуклостгч направленную вниз, ей бы припшось либо пересечь прямую 4 — 4х — 2У = О, что невозможно, либо остаться в этой области, что в силу 1) также невозможно (рис.
79). Рассмотрим узел, Выйдя из угловой точки по касательной к кривым у = у, и у = уг, траектория (а) может попасть лишь в область 1П, поскольку в области 1 выпуклость направлена вверх, что для этой траектории невозможно, а в области П выпуклость направлена вниз и поэтому траектория ло/окна пересечь интегральную кривую (а), что также невозможно. Таким образом, попав в обласп, Ш, фазовая траектория пересекает прямую 4-4х — 2У = О вертикально, затем ось Оу — горизонтально и, имея выпуклость, направленную вниз, уйдет налево вверх. Теперь рассмотрим траекгории, выходящие из узловой точки и идущие иверх налево.
Здесь имеется две возможности. Первая состоит в том, что фазовая траектория (б) сначала попадает в область 1, затем в области П, П1 и, наконец, уходит налево вверх. Вторая возможность: фазовая траектория ( 1) попадает в область (У, затем пересекает прямую 4 — 4х— — 2У = 0 вертикально, ось Оу — горизонтально, меняет направление выпуклости на кривой у = у, и, наконец, асимптотически стремится к оси Ох. Возможные выходы фазовых траекторий из узловой точки представлены на рис. 80.
Покажем наконец, что все выхолящие из узла интегральные кривые, за исключением кривой (а), асимптотически стремятся к оси Ох при х — +со. Очевидно, д/и этого достаточно показать, что Уе > 0 Зх такое, что интегральная кривая (/3) обязательно пересечет прямую 4 — 4х — 2У = О. С этой целью, заменив в дифференциальном уравнении ху у = 4 — 4х — 2У х на -х (ради удобства), перейдем к интегральному уравне- нию кривой (/у): у(х) = е + / (у(1) <й (х ) )0). (1) ,/ 4+ 4( — 2У(1) о Очевилно, у(х) > е > 0 при х > О. Пусть у(х) < 2(1+ х) при Гл. б.
Устойчивость н фажиоые траекторви 3!4 х > О. Тогда из (1) следует оценка: Г !ой Г х 1 у(х) ) е+ — / — = е ~ 1+ — — — 1п(1+ а)) . 4./ !+С- ~ 4 4 о С учетом последнего неравенства нз (!) получаем более точную оценку: 1 г 41+ С вЂ” 11п(1+ 1) 1 С 1 с' 41+С~ — С1п(!+С) у(х) >е 1+ — / < й )е!+ — / о(С 16/ С+1 ) ~ 16/ С+4 о о х' ! *гС!п(!+С) ~ / х' ! *г = е 1+ — — — / оС ) е 1+ — — — / )п(1+1)пС 32 16,/ 1+4 ) ~ 32 !6,/ о о х' х !+х = е 1+ — -~- — — — )п(1+ х), х ) О.
32 16 16 Следовательно .2 . 1+ 0 < е 1 + — + — — — )п(1 + х) < у(х) < 2(1 + х). 32 16 16 Отсюда уже нетрудно видеть, что ое > 0 Эхо такое, что кривая (13) пересечет указанную прямую. Действительное, такое хо удовлетворяет неравенству 0 < хо < х, где х есть решение уравнения: х х 1+х е 1+ — + — — — 1п(1+ х) = 2(1+ х), х > О. 32 1б 16 Далее, при х -+ +па и ограниченном у издифференциального уравнения (*) следует, что у (х) — — =о у(х) Се 4 4 т. е. при х — +аа все интегральные кривые асимптотически стремятся к оси Ох. Поведение интегральных кривых при у < 0 не требует детального исследования. Примерный вид фаювых траекторий изображен на рис.
81. а 662. й = 2х+ у' — 1, у = бх — у~+ 1. М Из неравенств бх — у +1 80 2х+ уз — 1 определяем области монотонности фазовых траекторий (рис. 82). Отметим при этом, что за исключением двух особых точек (О, 1) и (О, -1) параболу 2х+у'-1 = 0 траектории пересекают Рис. аг вертикально, а параболу бх — уз+ ! = 0 гори- зонтально. Далее, известным способом нетрудно установить, что точка (О, — 1) — неустойчивый фокус, а точка (О, 1) — седло, причем прямые у = 1 — Зх и у = 1 + а являются касательными к интегральным кривым в этой точке (рис.
83). Покажем теперь, что любая траектории, проходяшая через точку (хо, 0), обязательно пересечет параболу 2х+ у — 1 = 0 (хо < 0). Поменяв, ради удабсзва, в уравнении б, з+! 2х+ уз — 1 г .вз в .вг х на — х, а у на -у, запишем интегральное уравнение указанной траектории: у(х) = бг — 1+ у (г) 21+! — уэ(Г) ((г. поскольку у'(г) > О, то из (1) следует неравенство: г бг-! 2х+ 1 у(х) ) / ог = 3(х + хь) — 0 1п 21+1 1 — 2хе указывающее на возрастание ординаты исследуеиой кривой. Поскольку это возрастание происходит быстрее, чем по прямолинейному закону, то обязательно найдется такое х,, что у(х,) = ьг!+2хь Далее, нз выра:кения дчя второй производной (уг - 1- 2хуу') = ((уг — 1)(2х+ уг — 1+ 2ху) - 12хгу) (2х+ уг — !)г (2х+ уг — 1)з видно, что между параболами бх — у + 1 = 0 и 2х+у — 1 = 0 при у ( 0 все траектории имеют выпуклость, направленную вниз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
