Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Слеловательно, Функция е = е(у„уг) также имеет строгий минимум в точке (О, 0). Далее, поскольку е(у„уг) ьв 0 в силу системы уг = В~ / ппог В уг = яп2(Во + уг) (М + т)яп(до + уг) Муг зш2(Во + уг) 2 а ! т + 2М Япг(до + Уг) то цо теореме Ляпунова точка (О, 0) на плоскости угОуг устойчива, т. е. устойчива точка (до, 0) (на плоскости хгОхг). и $2. Особые точки 2.1.
Определение особых точек и ик классификация. Пусть в системе дифференциальных уравнений Их Фу — =М(х, у), — =К(х, у) ВЕ ' Вс функции М, )г/ непрерывно дифферегщируемы в некоторой окрестности то~ки (хо, уо), где они одновременно обрацаютсв в нуль, т.е.
М(хо, уо) = О, гг/(хо, уо) = О. 293 „ЬЛ ~=О. (2) Если корни действительные, Л,Лз > 0 и Л«ф Лз, то особая точка называется узлом (картина интегральных кривых в окреспюсти начала координат напоминает собой семейство парабол, вершины которых совпадают с точкой (О, 0)). Если корни имеют разные знаки, то особая точка называется седлом, а интегральные кривые представляют собой несколько деформированные гиперболы. Далее, если корни комплексные, но Ке Л, з ф О, то особая точка называется фокусом, а интегральные кривые имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координат.
Если же Ке Л«д —— О, ио 1гп Л,, ф О, то особая точка — центр. Интегральные кривые в этом случае замкнуты и охватывают начало координат. Кроме этих (основных) особых точек различают еще точки: вырожденный узел (Л, = Лз ф 0), динритичесний узел (имеет место лишь в случае, когда система имеет вш«дТ вЂ” — ах; ду = ау, дх йч а зо 0). В случае особых точек узла и седла система уравнений (1) имеет решения, изобрахшемые прямыми, проходящими через начало координат. Направлении прямых определяются собственными векторами матрицы (: ') причем в случае узла интегральные кривые касаются собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине Л.
Для выяснения направления движения по траектории достаточно построить в какой-нибудь точке (х, у) вектор скорости (х, у). 2.2. Практические приемы пееледовапив особык точек. Предположим, что в некоторой окреспюсти особой точки (хо, уо) системы (1), где введена декартова система координат Ох,у, по формулам х = хо .+ х„у = уз + у,, правые части можно представить в виде М(х, у) гл М(хо +хи уо+ уф = ах«+ Ьу, + о(х«, у«), )«((х, У) ш 11(хо +х«, Уо+ У«) = сх«+ ЙУ«+13(х«, У«), где а, Ь, с, д — постоянные, а функции а, 13 таковы, что справедливы следующие оценки: «г(хн у«) Р(х««у«) г«ы О, г«ы 0 при г-~0 (е > 0), г = фз«+у«.
з з Тогда, если Ке Л ф О, где Л опрелеляется из уравнения (2), то особая точка (хо, уо) системы (1) будет того же типа, по особая точка (О, 0) системы дх« ду« — = ах«+Ьу«, — — — сх«+ду«. д( ' д( Если лля системы (3) особал точка — центр, то для системы дх« йу« — = ах«+Ьу«+а(х«, у«), — = се«+ду«+)у(х«, у«) (4) она может быть центром или фокусом. Если траектории системы (4) имеют ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку, то последняя будет центром и для системы (4).
Перейля от системы (4) к уравнению ду Ф(х, у) дх М(х, у)' (5) Оиреяелеиие. Точка (хо, уо), в окрестности которой функции М, )т' непрерывно диффвренцируг- мы иМ(хо, уо) = Ф(хо, уо) = О, назывветсв особой точкой системы (1) иа плоскости Оху. В просгейшем случае, когда М, ««г линейны, т.е. М(х, у) = ах + Ьу, р«(х, у) = сх + ду, гле а, Ь, с, д — постоянные, исследование особых точек проводится по следующей схеме. Сначала находят корни Л, з характеристического уравнения Гл. 6.
Усгойчваосп и фамюые траекторви лепсо обнарухппь ось симметрии. Если уравнение (5) не меняет своего вида при замене х на -х шш у на — у, то центр сиситемы (3) будет центром системы (4). Фокус имеется тогда и только тогда, когда нулевое решение системы (1) (после параллельного переноса системы координат в особую точку) будет асимптотически устойчиво при 2 - +оо или при 2 -с -оо. В задачах 631 — 640 исследовать особые точки и изобразить графически семейство интеграланых кривых в окрестности особой точки.
631. х = к+ Зу, у = -бх — 5у. М Составляем и решаем характеристическое уравнение 1 — Л 3 Л ~=0; Л~2=-2х32. Поскольку КеЛ, 2 < О, то точка (О, 0) является устойчивым фокусом (рис. 32). Для выяснения направления закручивания интегральных кривых (спиралей) построим вектор скорости в точке (1, 0): Рвс. 32 й=!, у= -б. м 632. й = — 2х — 5у, у' = 2*+ 2У М Харакгернстическое уравнение ! -2-Л -5 ~ О имеет корни Л,, = х( 6. Следовательно, особая точка — центр. Направление движения по траекториям определяем по вектору скорости: (х(0, 1); у(0, 1)) = (-5; 2) Рас.
33 (рис. 33). Далее, юш установления уравнений прямых у = Ух, на которых расположены оси эллипсов, найдем экстремумы функции у = г(х, у) = х +у при условии, что Ух = й и*' = -2х — 5У, у = 2х+2У. Из необходимого условия экстремума получаем уравнение ф — = 2хх+ 2уу = О, с(2 подставив в которое значения х, у, у = Ух, после сокращения на х' приходим к уравнению 2(с — 3(с — 2 = О. Следователыю, на прямых у = 2х, у = — у располохсены оси всех эллипсов.
м х у 633. х = Эх — 4У, у = х — 2у. М Из уравнения ~3 — Л -4 находим Льз = -2 —. Так как корни Лгд действительны 1хз и имеют разные знаки, то особая точка — седло. В этом случае семейство интегральных кривых (гипербол) имеет две прямые, 77 проходящие через начало координат х = 2, у = хг (2 — параметр).
Для нахождения углового коэффициента У подставим параметрические уравнения прямых в систему лифференциальных уравнений. После исключения параметра 2 получим уравнение для Ул 4йз — 5(с+1 = О, Гл. б. Успгйчивесть и фазовые траектории следует, что Л, = Л, = О. Это значит, что коэффициенты данных уравнений пропорциональны. Следовательно, прямая у = 2х состо- ит из особых точек. Семейство интегральных кривых лепко найти из уравнения — =2 ~ у=2х+С С~О. бу бх Физически семейство кривых, изобрюкенных на рис. 37, можно интерпретировать как картину ламинарного течения двух противоположно направленных потоков жидкости, причем скорость течения в обоих случаях растет по абсолютной величине по мере удаления от линии их раздела (у = 2х), где она равна нулю. м 637.
й=х, у=у. < Составив и решив характеристическое уравнение, найдем его корни рве. 37 л,=л Значит, точка (О, 0) — дикритический узел. Разделив почленно одно уравнение на другое и проинтегрировав результат, получим семейство прямых у=ух, х=О (рис. 38). Поскольку Ке Л, з > О, то узел неустойчив. м 638. й=о, у=о. м Очевидно, вся плоскость Оху состоит нз особых точек. Семейспю же интегральных кривых на плоскости Оху не существует. м Прмиечвиие. В пространстве Охре интегральные кривые нредетзвдякгг собой прямые, параллельные оси ОГ. 63Д у, 4х-У Зх — 2у М Из характеристического уравнения — ! 0 находим корни Льз=!х2й Следовательно, особая точка — фокус.
Для вьиснения вопроса о направвении закручивания интегральных кривых (спиралей) положим х = 1, у = 0 в системе уравнений: х = Зх — 2у, у =4х — у. Прямечмме. Об устойчивости особой точки исходного уравнения ничего сказать нельзя, твк квк при замене 1 ив — Г уравнение вида не меняет, траекгорин движения (интегральные кривые) не замкнуты и устойчивость в данном случае зависят ст направления двииеиия по траекториям. 648.
„= 'х+У. Зх+ 4у м Составив и решив уравнение 3 — Л 4 Л )=0; Лг=5, Лз=-1, Тогда, приняв во внимание, что для этой системы фокус будет неустойчивым, а также направле- ние вектора скорости и(1, 0) = (3, 4), заключаем, что при удалении от начала координат движение по спирали осущеспияется против хода часовой стрелки (рис.
39). 1ь 297 в2, Особые тачка видим, что особая точка — седло. Путем подстановки у = йх в дифференциальное уравнение находим интегральные прямые (асимптоты семейства деформированных гипербол). Имеем 2+й 1 й= ~ й~= —, 3+ 4й 2' Таким образом, две прямые )гг = — 1 ° у= — у=-х 2' — искомые. Далее, ясно, что особая точка неустойчива (в данном случае, в отличие от предыдущего примера, характер тривиального решения не зависит от направления движения по траекториям).
Примерный вид семейства изображен на рис. 40. М В задачах 641-647 найти и исследовать особые точки данных уравнений и систем. (141, 2х+ у ° у = х — 2у — 5 м Из системы уравнений 2х+ у = О, х — 2у — 5 = 0 находим координаты особой точки: х = 1, у = -2. Далее делаем перенос начала координат в эту точку: 0 х=!+6, у=-2+и. В результате приходим к уравнению: 49 Ц+О и( 6 — 20 Поскольку корни уравнения 1 — Л -2 гсы 2 1Л=О имеют вид: Льз = 1 х 21, то утверждаем, что особая точка — фокус.
Положив в системе 6=6-29, 9=26+9 6 = 1, О = О, получим вектор скорости и(1, 0) = (1, 2). Если принять еще во внимьэгие, что для этой системы точка (О, 0) — неустойчивый фокус, то легко видеть, что при движении по спиралям от начала координат О,69 будет происходить вращение щютив хода часовой стрелки (рис.
41). Заметим, что, как в примере 639, об устойчивости фокуса ничего сказать нельзя. м гу хз — уз — 1 м Из системы 2у=О, х — у †1 2 2 находим координаты особых точек (-1, 0); (1, 0). Сделав замену х = -1 + 6, у = О, приведем данное уравнение к виду ОО 20 пч ч~ — Оз — 26 Нарялу с уравнением (1) рассматриваем "укороченное" уравнение ог) йб -6' 298 Гл. б. Устойчивость и фазавме траеатории полученное, очевидно, путем отбрасывания нелинейных членов из уравнения (1). Поскольку действительные части корней характеристического уравнения, соответствующего последнему дифференциальному, отличны от нуля (Л,, = ф2), а также функция 2 — +» (у» О)»-» 8 — »1 = о ((б + О )у+») при б' + От 0 (е > 0), то согласно п.
2.2 особая точка уравнении (1) будет того х»е типа, что особая точка укороченного уравнения. Более того, картины расположения интегральных кривых уравнения (1) и укороченного уравнения в малой окрестности особой точки булут примерно одинаковы (точнее, чем меньше окрестность, тем больше совпадение картин). Таким образом, точка (-1, 0) — седло для исходного уравнения. Далее, сделав замену в = 1+ с, у = гг, приходим к уравнению »»О 20 ,Ц ь»г, т + 2ь» и соответствующему ему укороченному О К б Укороченное уравнение имеет особую точку (О, 0), которая, как следует из уравнения О 2 — Л ( является дикритическим узлом. По причине, изложенной выше, точка (1, О) будет дикритическим узлом и для исходного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
