Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 65
Текст из файла (страница 65)
М у+ г)+20*' ° у = *+ у+1 м Из системы уравнений у+ ь»1+20аз = О, х+ у+ 1 = 0 находим особые точки: (О, -!); (2, — 3). Исследуем каждую из них. С помощью замены х = б, у = -! + О данное уравнение приводим к вцлу: ! »(О 0 — 1.1. (1+ 20О»»1+ 58 — Л»збз + о(бз) 4б (+0 б+») Укороченное уравнение г(0 О+ 58 б+ как следует из соответствующего ему характеристического 5 1 — Л ! имеет седло (Л»,з — — 1 ~ »/5).
Далее, функция 4 — — б + о(Г ) = о(г ), » = )((~+ г!', е > 0; 75 з т»»-» поэтому, согласно п. 2.2, точка (О, — ! ) является седлом и для исходного дифференциального уравнения. Положив я = 2+ б, у = — 3 +»1, из данного уравнения аналогично предыдущему получаем: »»О Ч+ 27с+0(с ) »!( б+ 0 Составив и решив характеристическое уравнение /20 20 =О; Л»з=)~ Г 1-Л ' у 27' 27 убежзцемся в том, что (О, 0) — узел.' учитъпая еше соотношение ОКз) = о(г'~), соп»асио п, 2,2 заключаем, что точка (2, -3) является узлом и для данного диф»реренциального уравнения, м 299 у 2. Особые точки 644.
х = 1п(2 — уз), у м е' — е". ~ Сначала находим действительные решения системы уравнений 1п(2 — у') = О и е* — е" = О. Из первого уравнения получаем у = х1; из второго — х = х). Следовательно, точки (-1, -1) и (1, 1) — особые. Далее, исследуем каждую из этих точек. Полагая в данных дифференциальных уравнениях х = Ы + (, у = х1 + г), приводим их к виду: 4 = 1п(1 Т 29 — 9 ), г) = е (е — е"). Отаода, применяя формулу Маклорена, имеем: (=~29+0(9)> О=с (С вЂ” 9)+0(г ).
Решив характеристическое уравнение е*з Лз = — — — — Т2е э! 2 4 — Л Т2 1 е+' е*' ! = О; Л, = — — + — ~ 2е*', е — е — Л ! 4 соответствующее укороченной системе С=т29, ОмЕ '(( — О), видим, что первая особая точка (ей соответствует везде верхний знак) — устойчивый фокус, а вторая — седло. В силу и. 2.2 утверждения относятся и к исследуемой системе, М б45.(= з: т2 — г '=„,и '+ >.
< Система уравнений 4= — 9, Ом-21. Поскольку корни ее характеристическою уравнения Л, з = хтт2, то особая точка — седло. А то~да по и. 2.2 точка (О, -2) являетсл седлом и лля исходной системы. Теперь переносим начало координат в точку (-2, 2), полохгив х = -2+ (, у = 2+ 9. Тогда данная система принимает вид: ~с — 2 г(~-г) -ь ( — Ф(ь ч — (). Применяя к правым частям этой системы формулу Маклорена и отбрасывая нелинейные члены, получаем укороченную систему: Ч 9 = -24 — 29. Корни характеристического уравнения Л,, = Т вЂ” действительны и имеют одинаковые знаки, зя ъгз поэтому особая точка — узел. Следовательно, согласно п.
2.2, точка (-2, 2) является узлом и для ланной системы. Наконец, полагая х = 1+ б, у = -1+ г), данные уравнения после аналогичных выкладок приводим к укороченным: 2 4' ПосколькУ коРни хаРактеРистического УРавнениа (Льз = — 4 — ) комплексны и неЛьз и О, то зяг )Л особая точка — фокус.
Такой же она будет и для данной системы. > Лгхг — у+2=2, х +яр=О имеет решения: х| — — О, хз — — —, хз — — 1 и у, = -2, уг — — 2, уз —— -1. Следовательно, точки (О, -2); (-2, 2); (1, — 1) — особые. Сделав замену х = С, у = -2-1. О, пРиводим Данную системУ уравнений к аиду: 4 = у(бз -9+4 — 2, О = агсгйс(-2 тс+г)). Разлагая правые части этих уравнений по формуле Маклорена и удерживая лишь линейные члены, получаем укороченную систему Гл. 6. устойчнаасть и 4азовые траекнгрии 300 646. х=1п, У=х — У .
У вЂ” У+! . г 3 ч Из системы уравнений у — у — 2=0, х =у г г г находим координаты особых точек: (-1, -1); (-2, 2); (1, — 1); (2, 2). Полагая х = х(+ б„у = = -1+ г), приводим систему дифференциальных уравнений к укороченному виду: 6=-9, Ч=х2(+29. Из характеристического уравнения -' 1=' на основании п.2.2 слелует, что точка (1, -!) — фокус (Л, г — — 1 х г), а тачка (-1, -1) — седло (Л~ г — — 1 * гг3). Аналогично, положив х = х2+ (, у = 2+ г! н удержав линейные члены, из данной системы получаем укороченную: 6 = О, г! = ~46 — 40. Решив характеристическое уравнение х4 -4 — Л ~ и приняв во внимание п.2.2, заключаем, что точка (2, 2) — селла (Льг = — 2 х 2г/2), а точка (-2, 2) — вырожденный узел (Лхг = — 2 Д 0).
~ ыг. =лт-и'тз-г,д= "-'- . < Из системы уравнений у — х=1, (х — у) =1 г г находим координаты четырех особых точек (О, 1); (О, — 1); (-1, 0); (3, 2). Сделав замену х = 6, у = х) 4 О, даННЫЕ ураапсиия ИЗВЕСТНЫМ СПОСОбОМ ПРИВОЛИМ К уКОрОЧЕННЫМ: 6 = ~(6 — О), г) = е(-6 х 20). Корни характеристического уравнения дхя этой системы имеют вид: ~гг пмнтгг + +2 тгг етгг Г + Лг 2 2 ' 2 2 Поскольку Л~Лг < 0 (Лы Лг — действительные корни), то на основании п.2.2 тачки (О, 1); (О, -1) являются седлами.
Аналогично, перенеся начало координат в точку (-1, 0) по формулам х = = -1 + (, у = 0 н удержав в правых частях линейные члены, получаем укороченную систему: ! 6 = — (Π— 6), О = -еф Поскольку корни 1 )с) е Льг=--*~( —-- 4 116 2 комплексны, то согласно п. 2.2 особая точка (-1, 0) — фокус. Наконец, палашя в данных уравнениях х = 3+ 6, у = 2+ 0 и используя формулу Маклорена, получаем укороченную систему: 1 6 = — (6 — О), д = е(40 — 6), 2 характеристическое уравнение которой имеет корни Лпг — — 2е+ д* ! 2е+ т ! — -2-. Поскольку 1 г 1гг Зе корни действительные и одинаковые по знаку, то особая точка (3, 2) — узел. ~ В задачах 648-650 дать примерную картину расположения интегРальных кривых в окрестности начала координат.
648. У = — *" . х+ у ч Сначала на плоскости Оху выделяем области знакопостоянсгва производных у', у", а также кривые, на котормх эти производные либо равны нулю, либо неограничены. Решив неравенства ЗО1 ху у = ><О, х+у приходим к следуклцему результату. Если (х > О Л у > О) Ч (х > О Л х + у < 0) Ч (у > О Л х + У < О), то у'>О,а если ( о * ° о о) (* о о о) ( о ° ° о о), тоу <О. Рве. 4З Поскольку у = 0 при х = 0 или у = О, то интегральные кривые пересекают ось Оу под прямым углом, а ось Ох является инте(ральной кривой. Далее, поскольку на прямой х + у = 0 производная у' не ограничена (точнее было бы сказать, что производная у' на прямой я+у = 0 не определена н у'- оэ при х+у — 0), то интегральные кривые подходят к этой прямой с обеих ее сторон под прямым углом к оси Ох.
Таким образом, если интегральную кривую с отрицательной производной изображать наклонной чертой 1, а кривые с положительной производной — чертой вида /, то картину интегральных кривых в первом приближении можно представить так, как покиано на рис. 42. Для установления областей определенной выпуклости интегральных кривых решаем неравен- У(у У()(У Уз) у —, <О, где 1 о у(д(х) = — ~ — х ~ Чх' - 4х') .
2 У .4З Решив эти неравенства и обозначив области, где у" > О, знаком "+"„а области, где у" < 0 — знаком "-", получаем картину, изобразкенную на рис. 43. Таким образом, на кривых у = О, у = у,(х), у = у,(х) вторая производная обращается в нуль, а на прямой х+ у = 0 она не ограничена (вернее сказать, на прямой х+ у = 0 она не определена, а в окрестности ее не ограничена). Теперь, имея такую информацию о поведении интегральных кривых, можем представить их картину во втором приближении (рис.44). Остается вьшснить некоторые детали в поведении интегральных кривых.
Поскольку функция (х, у) )-) х+"д вместе со своей частной производной по у непрерывна при х + у Х О, то через каждую точку плоскости (х+ у и' 0) проходит единственная интегральная кривая. Далее, поскольку у = 0 (х ~ 0) есть решение данного дифференциального уравнения, то ни одна инте(дальная кривая не может касаться оси Ох. Является очевидным факт, что все интегральные кривые, заходящие в угол х+ у > 0 л у < О, обязательно попадают в начало координат (вернее бьпю бы говорить об асимптотическом стремлении кривых в начало координат, поскольку при х = у = 0 правая часть данного уравнения не определена).
Отметим также, что существует интегральная кривая, расположенная между семейспюм параболообразнмх и семейством гиперболообразных интегральных кривых (см. второй квадрант) и входящая в начало координат, зог Гл. 6. Устойчивость и фазавые траектории Наконец, покажем, что ни одна интегральная кривая не входит в начало координат со стороны х > О, у > О. Предполагая противное, записываем интегральное уравнение для кривой, входящей в точку (О, 0) при х>0, у>0; 7 (У«)~ l (+у«)' В силу неравенства у(П с 4- у(П вЂ” — <) «>О, д«)>О) из последнего уравнения получаем оценку: у(х) < ~ И( = —.
г' о Рас. 4З В свою очередь, у«) у«) ( 7 Сз,а у Сг хз (+у«) Р, (+у«) (+2' У У 4+2 У 2 З, о<о< 'д- о о и т.д. Продолжая оценки, на и-ом шаге получаем ю у(х) < ( Отсюда следует, по у(х) < 0 при о сю. Пришли к противоречию. После этих замечаний строим третье приближение к истинной картине интегральных кривых (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
