Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Поэтому интегральные кривые пересекуг параболу бх — уз+1 = 0 и далее уйауг вверх направо. Таким образом, учитывая все приведенное, строим семейство фазовых траекторий (рис. 84). > 663. х = 1 — *' — у', у = 2ху. м Поскольку дифференциальное уравнение «х 1 - хг - уг при замене х на — х, у на — у вида не меняет, то картина фазовых траекторий симметрична как относительно оси Ох, так и оси Оу. Далее, легко найти, что особые точки (О, х!) — центры, а точки (х1, О) — седла, через которые проходит эллиптическая траектория х + — =1. г у 3 Гл. б. Устойчивость и фвзовые траектории 31б Далее, решив неравенства ху г уз< находим участки монотонного убывания (возрастания) фазовых траекторий (рис.
85). м 664. х = (х+ у)' — 1, у = -у' - х О !. М Как и в предыдуших примерах, сначала находим области монотонности интегральных кривых (рис. 8б), а затем выявляем особые точки и их характер; (О, — 1) — седло, (1, 0)— неустойчивый фокус, (-3, 2) — узел, (О, 1)— седло. Из укороченной системы диффереггциальных уравнений следует, что в точку (О, — 1) интегральные кривые входят„касаясь прямых Рсс. аз -!+ — х-1 и у=- 1+ — х-1; в точку (О, 1) — прямых 1 ! ( 2) ( 2) ьг2 тг2 В узловой точке траектории касаются прямой ! — тгЗ у = — (х + 3) + 2. 2 Через эту точку проходит также интегральная кривая с каса- тельной 1+ ьгЗ у= (х+3)+2.
2 Особые точки и их малые окрестности представлены на рис, 87. Наконец, представляется интересным выяснить поведение интегральных кривых, проходяших через особые точки. В частности, покажем, шо кривая (а) перейдет в одну из спиралей полюса (1, 0), а кривая (6) обойдет полюс и в полосе (х + у)' < 1 пройдет ниже кривой (а). Записав интегральное уравнение кривой (6) при х > О, у>О: (!) с Рсс, ат и приняв во вниманиенеравенства 0 < у(С) < 1 и С+у(С) > 1, из (1) имеем оценку: г ! — (с+ у(с)) т 61 г61 х у(х) > 1 — э! г ( >1- ~' — =1- -. / 1 — (С+у(С))' l !+!+у(И с с с Отсюда следует, что кривая (6) пересечет ось Ох в точке хс > 2, Далее, в полосе (х + у)' < 1 производная у' > О, значит, ордината кривой (а) возрастасг и поэтому последняя может пересечь прямую я+ у = 1 в точке (х„у,), где х, < 2.
Таким образом, траектории (а) и (6) "разминутся": траектория (а), как видно из рис. 88, превратится в спираль, а траектория (6), обопгув полюс и совершив вертикальное пересечение прямых х+ у = 1 и х + у = -1, станет асимптотически сближаться с кривой (е). 317 Изучить поведение других из указанных выше интегральных кривых, примерный внд которых изображен на рис. 88, предоставляем читателю. Таким образом, исходя из проведенных исследований, строим эскизный портрет фазовых траекторий (рис. 89).
и Рас. аа 665. х = (2х — у)' — 9, у = (х — 2у)' — 9. м Из неравенств (х-2у)'-9 <>о (2х — у)з — 9 находим области монотонности интегральных кривых (рис. 90). Заметим, что кривые 2х — у = х3 интегральные кривые пересекают вертикально, а прямые х — 2у=х3 — горизонтально.
Далее, легко обнаружить, что особые точки (-1, 1) и (1, — 1) — седла, а точки (3, 3) и ( — 3, — 3) — узлы; причем интегральная прямая у = х проходит через узловые точки, а две другие интегральные кривые проходят через них перпендикулярно указанной прямой. Угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым вточке ( — 1, 1) равны й, = 2+и'3, йз = 2 — ъ'3 Перейдя к переменным и = Я, е = Я, дифференциальное уравнение ву (х — 2у) — 9 йх (2х — у)з — 9 преобразуем к вилу гве. зе йе ие ои о+))из+ 7ез Поскольку при замене и на — и или е на -е последнее уравнение вида не меняет, то интегральные кривые расположены симметрично как относительно прямой х+ у = О, так и прямой х — у = О.
Таким образом, учитывая все сказанное, строим семейство фазовых траекторий (рис. 91), ь Гл. б, Устойчиаость и базовые траектории 318 666. й = х — у, у = (х — у) (х— — у+ 2). м Переходя к новой системе координат Они по формулам х = е, у = 1 — и, из данной системы получаем дифференциальное уравнение: бе 1 — е — н 2 (и ! е)з Рае. З! г к аз интегральные кривые которого уже изучены в примере 664. Следовательно, если июбраженную на рис. 89 систему координат сначала параллельно перенести вправо на единицу, а затем повернуть ее на угол 90' против хола часовой стрелки, то мы получим портрет семейства фазовых траекторий данной системы дифференциальных уравнений. М Начертить на фазовой плоскости траектории систем 667-669, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеются ли предельные циклы.
ог дх 667. — = (,— П( — г), --= !. п( Ж м Почленно разделив одно уравнение на другое, получаем ~6 — = г(г — И(ю — 2). (и бр Отсюда, если 0 < г < 1, то 8 — > О, т. е. г = г(р) монотонно возрастает при р - +со (! — ~ +со); р если 1 < г < 2, то уГ- < О, т.е. г = г(уб монотонно убывает цри 1 — +со. Далее, очевидно, г" что г = 1 есть решение уравнения (И. Следовательно, согласно и.3.3, окружность г = 1 есть устойчивый предельный цикл. рассмотрим еше одну замкнутую траекторию г = 2. Поскольку при ! < г < 2 производная й — < О, а при г > 2 будет 2 — > О, то траектории г = г()г) при ! — +со удаляются от окружнолг лг р р сти г = 2.
Следовательно, замкнутая кривая г = 2 — неустойчивый предельный цикл (рис. 92). Других замкнутых траекторий данная система не имеет. ° . йг, (( 668. — = з(п г, — = 1. Ф ' сЮ М Из уравнения з(п г = 0 следует, что г = Ьг, й 6 Ж, й > О есть изолированные замкнугые траектории данной системы. Если 0 < г < х, то миг > 0 ~ 2~~ > О. Поэтому все траектории, выходяшие из достаточно малой окрестности начала координат, приближаются к окружности г = х при 1 — +со. Если лсе 319 я < г < 2в, то лг < О. Следовательно, г — я+ О при ( — + +со, т.
е. окружность г = я является дг устойчивым предельным циклом. Лалее пусть 2я < г < 3я. Тогда зг > О и при ! — +ос спирали удаляются от окружности вг г = 2а . Таким образом, цикл г=2к является неустойчивым. Аналогичным образом устанавливаем, что окружность г = зя — Устойчивый цикл. Вообше, окружности г = (2й + 1)т, й = О, сю представляют собой устойчивые, а окружности г=2йл, йЕЯ вЂ” неустойчивые циклы (рис. 93). м 1 е(о 664). — =г(! — г)з!и —, — = !. й! 1 — г ь! М Очевидно, окружности 1 г=1 — — й4 Е! к2 ... Ьг являются изолированными траекториями данной системы.
Исследуем их на устойчивость. Пусть О < г < ! — —. Тогда лг > О„значит, спирали приближаются к окружности г = 1 —— 1 дг ! изнутри. Если 1 — я < г < 1 — 2-, то 2~- < О. Следовательно, фазовые траектории навиваются 1 1 е' на зту окружность извне. Таким образом, 1 г=1 —— я — устойчивый предельный цикл. Аналогичные рассуждения показывают, что цикл ! г=1 —— 2т неусюйчив. Вообше, циклы 1 г=1— (в=О, 1,2, ...) (2н+ 1)я — устойчивые, а циклы 1 г=!— (и = О, 1, 2, ...) (2п+ 2)в — неустойчивые. Точно также находим, что циклы 1 1 1 г=1+ —, !+ —, ..., 1+ 2я' 4я' ' (2ц+ 2)я' устойчивы, а циклы 1 1 1 в=1+-, !+ —, ..., 1+ в' 3я' ' (2п+ 1)я' где и = О, 1, 2, ..., неустойчивы.
Начертить фазовые траектории предоставляем читателю. в 670. При каких условиях система йг оу — = У(г) — = 1 Й ' и! где функция у непрерывна, имеет предельный цикл? При каких условиях этот цикл устойчив? Неустойчив? Полуустойчив? М Пусть уравнение К(г) = О имеет изолированное положительное решение г = 22, т. е. Зе > О такое, что на сегменте (22 — е, 22+ е) других решений нет. Пусть функция у определена на атом 320 Гл.
6. Устойчивость и фазааые траектарвн отрезке. Интегрируя систему, получаем у йр х=С,+ 1, 22 — с<с<Я, 7(Р) л.м =С + /~ —, Я<с<22+с. др У(р)' Отсюда видим, что если несобственные интегралы л.н — и Р 1" Р (1) ., У(р) ~' У(Р) расходятся к хсо, то при г — ~ 22+ О нли г — +  — 0 полярный угол х стремится к бесконечности определенного знака, т.е. окружность, уравнение которой г = 22, является предельным циклом. Далее, если 7(г) < 0 при 22 < г < Л+ с и 7(г) > 0 при  — е < г < 22, то все достаточно близкие траектории при 1 — +со приближаются как изнутри, так и извне к окружности г = 22, т.е.
предельный цикл будет устойчивым. Очевидно, цикл г = 22 будет неустойчивым, если функция 7 при переходе через нуль меняет знак с "-" на "+", Наконец, полуустойчивость наблюдается в том случае, когда с какой-либо стороны траектории приближаются к циклу при 1 — +ос, а с другой — удаляются. Слеловательно, должно выполняться равенство д Й збп — = 58п (а,льна!0 (л-ьл! дф т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
