Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Согласно решению примера 685, в) и по свойству линейности изображения, имеем 2а]ур 2 ! г,(а,у)г „г, (а4]3)г/ 7 (г ( )( г +Л)г) В~'газ=' — г —.дьюбн- 42 (р е16)(р 6100] ровании изображения. Из представления 1 ! (г(р'+100) — (р'4-16)~ 1 (' 1 1 (Р'+ 16)(Рг+ 100) 84 1 (Рг+ 100)(Рг+ 16) г( 84 (Рг+ 1б Рг+ !00) находим: д ') 1 д~ 6 16 1 рг + 16 1 рг + 100 У(!) Ф вЂ” ! ( — — — — — ) дд = — ]п = — — 1п = — (п 2 г' 'гчг+ 16 цг+ 100/ 4 чг+ !00 4 рг+ 100 4 рг+16 'Р Р ф 2.
Свертка функций. Теоремы разложения 2.1. Определение свертки. Сеерткой р ь 7 непрерывных функций уг и 7, заданных на положительной полуоси числовой прямой и, называется интеграл зг ь 7 = / уг(1 — т)1(т)дт. о Свертка коммутативна (т. е. р * 7 = 7 * р), ассоциативна (т. е. (р е 7) ь ф = р е (7 ь ф)), аистрибутивца апюсительно операции сложения (т е, уг * (7+ ф) = р ь 7+ р * ф). 2.2.
Теорема умиолгеиия (Э. Бореля). Если У =; Р, Кер > аз, р сх Ф, Кер > а„где аз и а, — показатели роста функций 7 и гу, то У е уг Ф РФ. 2.3. Обобщениям теорема умиодгеиии (А.М. ЭФроса). Если 7 Ф Р, (о(1, т) Ф Ф(р)е таг, где Ф и д — аналитические функции, то / 7(т)уг(1, т) дт =. 'Ф(р)Р(9(р)). е ЗЗ7 Ф2. Саерт а руикц и. т оре ы ра оке ии 2.4.
Формулы Дюамели Бели 1 а ус = 1 1(1)!О(! — 1) Лт =' Р(р)Ф(р), то О с 1(!)52(О) + / 1(1)рс(! — 1)Л1 Э РР(Р)Ф(Р), а или с ус(!)1(0) + ~ ус(1) 126 — 1) ЛТ Ф РПР) Ф(Р) а Левые части соотношений (2) и (3) называют интегралами Дюамеля. 711. Найзн р а 1, где 52(!) = !', 1(!) =соаас!. м Согласно определению, (2) (3) 713.
Найти изображение функции 1(!) = С(!) цп! — 8(!) соз !. < Поскольку 1(!) = 1 зш(! — 1) ~-- ЛТ, то по теореме Бореля 1 1 1 1(!) =; Р(р)Ф(р), Р(р) = ='5!п(, Ф(р) = !+р' ' ',Г2р ' 222а!' Итак, 1 ! 1(!) Ф вЂ” — м ~!2Р Р1+рз 714. Найти свертку )а а 1, где ус(!) = !', 1(!) = !л, а > О, !3 > О, и ее ижгбражение.
< Согласно примеру 6В2 имеем Г(а + 1) р +' ГО)+ 1) раас По теореме Борелл получаем р:с рд+с . Г(а+1) ГО)+1) 1 р +в+2 Г(а+ 1)Г03+ 1) ус а 1 = / (! — т) СО5астЛт. О Поскольку созас! ~ — 2 — т, ! ~ -2-, то по теореме Бореля получаем ас 2. 2 Р +Ос Р 2ас )а а 1 Ф РЗ(Р2 !.„,2)' 712. Найти изображение функции 1(!) = С(!) соз!+о(!) 5!и!, где С(!) и 8(!) соответственно косинус-интеграл и синус-интеграл Френела (см.
пример 707). < Функция 1 имеет вид Г СО51 Г 51П1 Г 1 1(!) = соз ! / Лт -1- яо ! / — ЛТ = / соз(! — 1) — ЛТ. ъ 2агг ус2аг с/2аг а Таким обРазом, 1 = Р а ср, где сР(!) = со51, с(с(!) = ч —. По теоРеме БоРесгл 1(!) Ф Р(Р)Ф(Р), гпе ! 725! ' Р(р) = -тр — =' со51, Ф(р) = — - =' . Таким образом, р .С- ! ' ' сс2р ' Ъ'2Ф 1 р 1Н) Ф вЂ” — —. м зсзр Р2+ 1 или /! х' (1 — х)д йх =- = В(а, !3).
М д ! Г(а)2(г3) дгг Г(а + )3) о ! г! Функция егг! = — - ! е ' Лт называегси яищегролом аероящиосми. Ряд е ' = Я ( — 1)" — г равномерно ,л/ =о 'а смодящийся, воэтому еш можно лочлеиио интегрировать, Инеем г! -г! егГ ! = — 2 '( — 1)" — Лг = — 2, (-1)"— /л д =а и' чгя =а "!(2!' " 1) Очевидно, егГ(-1) = — егГ1, (ем!1) =- — е > О, егГ(О) = О, егГ(+оо) =- 2- = 1. Следовательно, 2 функция егг — исчстивя, непрерывная, возрастаю!чая. При большим значениям аргумента ! рассматривают функцию Егт! = 1 — егг! а — ! е ' дг — — = ! е ' Лг = — ! е ' Лт. Фуикиия Егà — убывающая, непрерывная. 715.
Найти изображение функции /(1) = еН( И Воспользуемся соотношениями е =' ! р /Г). — ф .~- и теоремой Бореля. Получим: ! 1 л! Р гг! — / е * дгх, ф е егГ '(чг(). м/л (р — 1) /р о ! 1 /ггг(т 2е' — — /1 е — = — /1 е г((ч/т) = Р— 1 огР ' г/лт игл а а По теореме смешения имеем егГЯ =; 71б. Найти изображение функции /(1) = ЕгГ ( /Г) . М Согласно определению, ЕгГ ( /Г) = 1 — егГ (м/1) . Следовательно, 1 1 1 ЕгГ(г/(); ' р р.,/р+! р+1+,/р+!' 717. Найти изображение функции /(1) = е ' .
и Применим преобразование Лапласа. Получим: а 0 ага ~2/' в о 338 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа гаг!т.|-! )агда! 1 аа д Поскольку агату Г(а Гин-г-д' чо 7(г ~-ии —,2) Гагату)Г(р~ПГ а( ' откуда 1*1= Г(а+ 1)Г(!3+ 1),дщ + Г(а ф 13 ф 2) Полученный результат позволяет установить связь между Г- и В-функциями Эйлера. Лействительно, согласно определению свертки, имеем Г(а+ 1)Г()3+ 1) „„„, г'(1 — т)" г(т = — 1" 'д ".
1'(а+ )3+ 2) Полагая в интеграле т = Гх, получаем йт = Гг(х, т" = 1 х', (1 — т)д == 1д(! — х)" „ ! т (1 — ) йт =1 ~ х (1 — х) Ь =1 и .,д,! / .,! .,дщ Г(а+ 1)Г(/3+1) е 'г Г(гг-г)3+2) д Г(а + 1)Г(!3+ 1) х"(! — х) г(х = Г(а + /3 ф 2) я % 3. Обратиее вреебразоваиве Лапласа 339 718. Найти изобрюкешае ф ии г(С) = е(С.
< Босполшуемся решением примера 717 и теоремой об интегрировании оригинала: если С =. Р то 7' У(т) "т ф -(Р-. Находим: Р а 2 ег( С =' — е 4 Ег( ( — ) . м 'р |2) Окончательно имеем С(С) = е — (1 + С)е . Ь 72а.н, .с и а .г,...са>- (Р 49)(Р -С-4) < Записав Г(р) в зиле р(р) = -ср — -тр — и приняв во внимание, что р +9 р -с-4 =' сот 21, по теореме Бореля получаем: с 1 Г 7(С) = / созЗ(С вЂ” т)соъ2гйт = — / (сов(5т — ЗС)+ соз(ЗС вЂ” т)) йт = 24 о а 1 уяп(5т — ЗС) )!' ' 1 /з(п21 япЗС вЂ” — яп(ЭС вЂ” т)) ~ =- — !( + — яп21+ з|пЗС) 2~, 5 !=а 2 5 5 — ту — ='созЗС, — — СР— ф и -с- 9 ' ' р -|- 4 1 = -(3 з|п ЗС -2 яп 21).
я 5 721. Найти оригинал функции Р, где й(р) = -з — ! †. Р (Р + !> < Запишем функцию р в виде Г(р) = р — г. — ! — — — р|а(р) ф(р), где р(р) = — г, ф(р) = — ! — -, 1 ! ! Р Р Р Р+! Из соотношений — т =' .б- — — С(С), =' з|пС = д(С), по формуле (2), п.2.4, получаем (записав ! Р -С- 1 ее в виде л(~1(т) Р(С вЂ” т) с(г ф р(р)Ф(р) ): о 1 й Г(С вЂ” т)' ! Г =; — у! яптйт = — у! (С вЂ” т) з|птйт = — +созС вЂ” 1. я р'(р'~Н ' лl ~./ о о 5 3. Обратное преобразование Лапласа 3.1. Формула обрацеиии Римана — Меллииа, Теореме (формула обращения Римана — Меллина).
Или функция у яолиетея ориеииолои, т. е. удовлетворяет услоишии 1), 2), 3) и. 1.1, о р слуисит ее изоброакеииеи, то в любой 719. найти оригинал функции г, гле Р(р) = 1 (Р и !)(Р -с- 2) < Разлагая функцию р на простые дроби, получаем: 1 1 ! р(р) = — — — —- р-1-1 р+ 2 (р+ 2)з Поскольку — 1 ф е — 2 =' е, то решение примера сводится к отысканию оригинала 1 аь — с 1 зь -зс Р+ ' ' Р+ функции зс(р) = — — т — — — -2 — -2. По теореме Боре!и ! ! 1 (Р42) Р-с- Ре с ус(р)=' /е е йт=е / йт=е С. о о Гл. 7. Метод иитегравьвмх щтобразоааивй Лвпваса 340 точке ггепрерыаносеи функции у выполняется равенство ьн г (С) = — / сир(р) др, ! (1) где интеграл берется вдаль любой прямой (р Е С ! Кер = а > а) и понимается в смысле главного значении по Коши.
В точках разрыва функции г' вместо г (С) н левой части формулы (1) следует взять 2(у(С+ 0) 4 у(С вЂ” О)). 3.2. Сведеппи из теории функций комплексного переменного. Напомним читателю, что функция у; С вЂ” С, диффсренцируемая в каждой точке некоторой области 2), называется аналитической (иначе, регулярной или моноггнной) в этой области. Если функция у аналитическая в кольце К = (г Е С ~ г < ,'г — го! < Л), то она может быть представлена своим рядом Лорана гг(г) = ,), сь(г — го), =- о равномерно сходящимся в любой замкнутой области, приналдежащей кольцу К.
Ряд (1) можно записать в виде (3) геа Г' = с,. (5) с„ У(г) = Е с.(г — го)" + к — , ,=о „=1 (х — го)" 7 ь - о При этом ряд 2; с„(х — го)" называется правильной частью ряла Лорана, а ряд 2: — -=а г— л.—.о ,ю (г — го) главной Ега частью. Если функция у дифференцируема в некоторой окрестности точки го, за исключением, быль может, самой точки го, то го называется особой точкой однозначного характера. Если главная часть ряда Лорана тождественно равна нулю, то го называется усеранимой особой точкой. Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, то точка го называется полюсом. Число пз называется порядком полюса, если с и' О, а с, = 0 ЗСЗ Е )4, Теорема А Точка го является полюсом т -го порядка еогда и только тогда, когда существует такая непрерывна диффгргнциругмая функция уо, что Зо( ) Т(х) = чг Е О*о 1(го) и зо(го) и О, (з г)м где О„= (г Е С: )г — го! < б).
Если с „и' 0 для бесконечного множества значений и Е г(, то точка го называется суще- ственно особой. Например, функции г ь е*, г ь пп —, г ь соз — имеют в начале координат ! ! существенно особую точку. Функция у называется целой или голоморфной, если она вовсе не имеет особых точек. Напри- мер, функгти г ьч е', г ьч илг, г ь созг являются целыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
