Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Если функция У вЂ” оригинал с показателем роста а, то функция Г существует в полуплоскости Р = (р Е С ~ Ке р > а) и является в ней аналитической функцией. 12. Свойства преобразования Лапласа. Теорема 7 (свойство однородности). Если У ф Г и а б С, то а5 =' аГ. Теорема 2 (свойство линейности). Есин Д, =' Г,, Кср > и! (7' = 1, и), гпа (г, Тг Ф > (ггГы Кс р > лбах а>, од><о где р, — заданные посгпояшоые чита, дебстоитепьлые или комплаконыа, и, — показатели роста функций Д,. Теорема 5 (свойство подобия) . Пусть 1 ф Г, Кер > а, Тогда )Г!3 > 0 ,у(171>=: >Г®.
Теорема 4 (заназдывания). Если 5 =' Г и г > О, то 5« — т) кэ е г Г(р). Смысл этого соотношения состоит в том, что смешению аргулгснта в классе оригиналов соответствует операция умножения на экспоненту в классе изображений. Теорема 5 (опережения). Если у ф Г и т > О, то го )о."(гпп-(. 'лов). о Следстаие. Есои 5 — Т-периодическая функция, гпа г Г(р> = „ / У«) "'дй о Теарелоа б (смещения). Если Г Ф Г, ро б С, та 'Г =: Г(р - ро>. Теорема 1(о дифференцировании оригинала). Есои У =; Г и функции >ого(й = 1, и) являются оригиналами, та У'«> =.
рГ(р> — У(0>; У~ 1«) =. р Г(р) — ру(0) — Т (0); уоы«> =;р"Г(р> — р" 'ио> — р" 'Г'(о> — ... — уы О(о>, где Ги'(0) = !пи гон!«) (>о = О, и — О а оби(ем случае. Ф 1. Преобразоаовве Лапласа. Основные понятия в свойсгва 325 Теорема р(о лифференцировании изображения).
Если Р Ф 1, Кер > а, то Г (р) Ф -11(1); Р'в(р) =; 1'1(1); Роо(р) Ф (-1)"1" У(1). Теорема 9(об интегрировании оригинала), Если г =' Р, Кер > а, то / Т(т)дт ф Г(р) р Теорелго И (об интегрировании изображения). Если ( Ф Р, Кср > а и ингнегугл Г(д) дд сгодится в нолуклоскоссни Р = (р б С ! Кср > а, > а), то . У(1) Р(д) дд = Р Теорема 11 (о предельных соотношениях). Если ( является оуигинолои аяесте со своей' производной Т' и Р Ф (, то йш рр(р) = 1(0), где р л со внутри уто !агрр! < г — д и л 1(0) = 11га 1(г) Если, кроле о~ого, существует !!ш ((1) = У(+со), гно йш рГ(р) = ((+со). с-.
л ил р-л Найти изображения функций. 671). йзуггюниг хеаисайда г). ° Ф Согласно формуле (! ), и. 1.1, имеем Г(р) = / г!(1)е " д( = 1нп /е л дг = !ип в о Если Кср > О, то йш е 'г' = О. Следовательно, рс ыл 1 Кер> О. М ' р' -сл — и е е "' '"д( = 1!и *-.н р — а в Таким образом ас, е =', Кер> Кеа. в. р — а' 681.
1(1) = а (а > О). т Представим функцию 1 в виде а' = ен"' и воспользуемся решением предыдущего примера. Получим а Ф 1 Кер > 1па. м ' р — !па' 680. г(1) = е". а Согласно определению, получаем: Г(р)= /еае яд(= /е О !д(= йа в а 1 е О ! ! 1 Игп — — — / = —, если Кер > Кеа. (р — а р — а / р-а Гл. 7. Метод ввтмральимх преобразований Лапласа 326 682. 2(() = 1", а > — 1. и По опрелелению изображения имеем Е(р) = (' 1 е ой Полагая р( = т, получим а Г(р) = — / е т г(т, — р.+ / Рье. 94 где у — луч с направлением ~ агй р~ < ~2 (рис.
94). функция т ~-~ е 'т' аналитическая в полушюскости Т = (г Е С ~ йет > О). рассмотрим замкнутый контур Ь, составленный из упорядоченного набора (Т„ул, Т ) ориентированных частей (см. рис. 95). По теореме Коши лля аналитических функций имеем е т йт=/е "т г)т+/е т от+(е т от=О, тн откуда е "т йг= ((е 1 4И+/ е 'т 4)т 7! 7Я е 'т'лт = — /е 'т"от и что т = ! на 11). Поскольку 1пп е 'т~ = и( У4 (принимая во внимание, что = О, то !!гл ) е 'т"4(т = О. Следовательно, л-т: .! за е 'т'от= / е '1"~й=Г(а+1), а+1)О, 7 О где à — гамма-Функция Эйлера. Таким образом, 1" ф,, а> — 1, йер>О. Г(а+ 1) (1) Полученный результат можно распространить и на случай, ко~да а < — ! л а ~ -и, и Е И, и > 1, Для этого воспользуемся известным свойством Г-функции, вырюкенным формулой: Г(и+а) =(и+а — !)(п+а — 2) ...
аГ(а), а > О, которая позволяет продолжить ее на отрицательную полуось с вмброшенными точками х„= -и (и Е РВ, полагая Г(и+ а) Г(а) = — и < а < -и+!. а(а + 1) ... (а + и — 1) ' Дл» рассматриваемого случая а < — ! Л а эь — и, и Е !(, и > 1, имеем Г(п + а 4- 1) 4 ф ' (а+1)(а+2)" (а+и)1 " В последнем случае оригинал и изображение будем называть обобнгеннмии. и 683. Г(1) =("'з и В соответствии с формулой (1) из примера бе2, имеем Г(+3) Воспользуемся известными свойствами Г-функции: (2и — 1)й (2и)! Г(а+1) =аГ(а), Г(и+ ч) = з/я= — з„ъlю (2) 327 и 1.
Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства Пол>чаем Г(п+ 2) = (п+ — ) Г(п+ 2~) =, „, гт С вЂ” „„г ' З ! > (2п+ 1)! „(2п+ 1)!ъгв В частности, ггС =: 2 т . Ь. м Рг 684. С(с) = —,. м Применим формулу (2) из примера 682. Поя>чим 1 Г(2) ( 1)" >гя2" 3 ! ( и ч .2) ( и+ з),, ( ! )р "" (2п — !)лр' "'г В частности, — =' '-'.
Ь ч'С ' Ч Р ' если О<С<а, 685. С(С) = 2а — С, если а < С < 2а, О, если С>2а,С<0. М Применим формулу (1), и. 1.1. Получив>, интегрируя по частям.' 2 Р(р) = / Р(С)е 2'2(С = ) Се ~ 2(С + /(2а — С)е г~гСС = о Таким образом, (-1)" >/я 2'"п! г (2п)!р ' — е '2 = — (1 — е '") 2 Р2 1 Р(С)=: —,( — е") . 686.
а) )(С) = йпС; б) ~(С) = з)21; в) С(С) =сов!; г) 1(С) =с)>С. ° В Воспачьзуемся решением примера 680: е" =', если Кар > Ке а. 1 р — а а) ми С = —, (е' — е ' ! Ф вЂ” ~ — — ) = 22 22 (р — 2 РЬС) !>г+!' в) созС = — (е' + е ) =; — ( + —.) = 2 ' 2 (~р — 2 р+г) р'+1' )у ! ! > р г) с)>С = — (е -Ь е ) Ф вЂ” ~ — Ч- — ~ = 2 2(,р-1 Р+1) р -1 При решении примера применяли свойство линейности преобразования Лапласа. Ь 687. а) С(С) = з(па!; б) у(С) = з)2 а!; в) у(С) = сова!; г) С(С) = с)2 а!. м Воспользуемся теоремой подобия и предыдушим примером.
Имеем 1 1 а а) ппаС =;— а дг+1 р'+аг га а б) гзйа( = з)п(аС =;,, айаС =' 2 ! (а)2' 2 22* Р р 2 (к)2 2 1„22' г) сиаС = соз(аС =',, с)гаС =; Р . Р . Ь ' рг+(Са)' Рг — аг Гл. 7. Метод иитяральиых преобразований Лапласа 328 688. а) 7(С) = сов'аС; б) 7(С = сЛ'аС; в) 7(С) =яп'аС; г) у(С) =зЛ'аг; д) 3(С) = япа(соз)3С; е) 3(С) = япйгсЛ131; ж) С(С) = соя агзЛ)3С.
и а) представим функцию у в виде 7(с) = т(1+ соз2ос) и воспользуемся изображениями 1 функций ~1(С) = 1 (см. пример 679), функции 72(С) = сот 2аС (в примере 687, в) вместо а берем 2а), а также свойством яинейности преобразояания Лапласа. Получим: 1 (! р ) р'+2а' соз аг =' — — + 2 ',р рг+ «йг/ р(рг+ 4а') б) Запишем функцию 7 в виде Я) = соз'гй( и воспользуемся решением примера а).
Находим р'+ 2(га) рг — 2а сЛ а(ф ' р(рг+ 4((а)2) р(рг 4аг) ' в) Поскольку згп йг = 2(1 — воз 2й(), то 1 г . 1/1 Р 2 (,р р'+«аг/ р(р'+ 4а') г) Воспользуемся равенством 1 зЛ аг =яп гаг и решением примера в) Имеем 2 2 2 ° 2 2 2 гд П) й 2 21" 2 г 2 2 2 11Л аг=яп гага =1, 5Л йггр . Р()гг ««(га)2) р(р' — 4аг)' ' р(рг — 4аг)' д) Представим функцию !' в виде 7(С) = 2 (з!п(а —,3)С «-яп(а+)3)С) и воспользуемся решением примера 687, а). Получим 1 ( а — (3 а-Ь;3 ) й(Р +а — р) 2 (Рг+(а — 23)2 Р','-(а+23)2./ (р'+(а — С))2) (Р'+(а+)3)2) е) запишем функцию 7 в виде япа( ел(31 = яп а( сов гсзс. тогда, согласно д), имеем а (р'+ а'+ 23) а (р'+ а'+)3) 5!пй(сЛ/31 ф (рг+ (а — 1)3)2) (рг + (а + 1(3)г) (112 1. а2 )32) 1 «йг)32 ж) представим функцию 7 в виде созасзл)гс = -гяпссуссозас. Решение примера сводится к случаю д).
Получаем 1( 1)3 — а 1С)+ а сова(зЛ)3С ф — — + ) г р 2 + ( 1 р + а ) г у 1 ( д + Са )3 — га '1 (3(р' — а' — 23') 2 (,рг + аг — (32 — 12аг3 рг «аг — 232 + 12а)3! (рг + аг — )32) + «аг(32 689. а) !'(С) = з(п(ыС вЂ” ре); б) 7(С) = зй(ы( — ре); в) 7(С) = соз(ыг — 121); г) г(С) = сЛ(ыг — уге); д) г(С) = (аС вЂ” Ь)'.
< Применим теоремы подобия и запаздывагня дпя нахаждсина ИЗОбражения оригинала вида 7(аг — Се), Гдс Се ) 0 и а — комплексное число. Пусть 7 Ф Р„тогда по теореме подобия ,7(аС) Ф а!" („) . По теореме запатдывания имеем 1 ~(ог — Се) = «(а(С вЂ” ад)) =; — Р ~-) е а, а) Воспользуемся решением примера 687, а) и формулой (1), Подучим Свг ю Яп(ы( — угг) =; е р2,1 ы2 51.
Преобразованяе Лапласа. Освовнме вошпня н саойспа 329 б) Аналогично, принимая во внимание решение примера 687, б), имеем ящ м зй(мт — Ре) Ф е Р— ьг в) Согласно 687, в), созм( Ф -гр — т. По формуле (1) накопим: -~- Ю сгл соз(м( — ра) Ф е р' т ьз' г) Воспользуемсзг решением 687, г) и формулой (!). Получим Рта Р сй(м( — уа) = е Р О2 д) Пршгнмая во внимание формулу (1) нз примера 682, а также формулу (1) из настояшего примера, имеем ! Г(а+ П 2 о'Г(а+ 1) аз (Ш вЂ” Ь) =' — — „„е е о (г)" Р "' (а! бп0 у(1) = О(1 — (е) '= ( О' 1 ' — обобшеннач единичная функция Хевисайда. ( 1, 1>(м О, 1<(е и Согласно решению примера 679 и формуле (1) из примера 689, получаем; -рв О(1 — (о) Ф— р 691 1' а, если 0(1( т, О, если 1( Оияи(> т. и Представззм функцию зг в виде т'(1) = (О(() — О(1 — т))а.
'Тогда 7(т) зг! е' ') 1 — е' 1'(1) Фа~ — — — ( =ар Р Р ( 1 — 2а, если 2а <1< о+Ь, б9о. 7(1) = ~ 2Ь вЂ” 1, если е+Ь <1< 2Ь, (рис.96). О, если 1) 2Ь или 1(2а О 2и и Поскольку функцию У можно нрелставить в виде 1'(1) = (1 — 2е)О(1 — 2а) — (( — 2о)г)(1 — а — Ь) + (2Ь вЂ” 1)г)(1 — о — Ь) + (1 — 2Ь)зр(1 — 2Ь) = = (1 — 2а)О(1 — 2а) — 2(1 — а — Ь)О(1 — а — Ь) + (1 — 2Ь)О(1 — 2Ь), -2ат 2е-нзит -зьР ( — Р -зт)2 И): + Рз Рз Рз 2 (см.
решение примера 689,д)). > И Записав функцию 7 в виде Я) = О(1 — 1) — О(1 — 2) + 29(1 — 2) — 2О(( — 3) + 39(1 — 3)— — 3т((1 — ч)+... +(и — 1)г)(1-(и-1)) — (и — 1)О(1-и)+пО(1 — и)+ ... = = Ч(1 — 1) 4- г)(1 — 2)+ П(1 — 3)+ ... +О(1 — и)+ ..., О 1 2 3 получаем 1 " ь ! /(1) =' — ~ е ' р,, р(ет 1)' Гл. 7. Метод ивтмрааьвых преобразований Лапласа ЗЗО если В < а, если ! Ъ а (рис. 98).
/ можно представить в виде — е ) 9(! — а). б94. /(!) = ~,', и, .? ! О, М Очевидно, что функцию У(!) = (! Следовательно, ег' ее' бег' /(!) =; — — — = . а р р+ь р(р+ь)' 0 а Р .РВ (рис. 99). пЕУо Найти изображения периодических оригиналов. ® / яп(, если 2пгг <! < (2п+1)а, ) О, если (2п+1)а <! ((2п92)л, М Воспользуемся следствием из теорелгм 5 и. 1.2: если / яш?яется Т-г?ериодической функцией, то г Р(р) = — Я)е Р Ж. 1 — е Ртl 1 о В рассматриваемом случае получаем: ? 0 Е(р) = — / е " яп ! 2(! = / е ~ з)п! ?й = е-2РР / 1-е-гч / й о 1 ! 2 Ро л е Р(соз(+рып!) ! 1 — е "Р ./ (! — е "Р)(р'+1) о 1+е "" 1 (1 — е-г Р)(рг О Н (р'+ Н(1 — ег чо) )л а л а Таким образом, 1 Я) ф —— (рг "!.
1)(1 — е РР) 696. /(!) = )Р?паЦ (рис.100). М Функции / — — -периодическая, следовательно о Р Е(р) = —,/ е "в!па(г(! =, 1пг / е~ Р г(!— — — .иа? 1 — е РР 1 — е Ро о 1 о 1 е Рг(асовав+ро!па!) рг+ а' -Р- — Е о а 1+Е РР а ЕР?о+Е Рго а к р2+а2 1 -?- р?+а2 2 -Р Р2 ! а2 г сгйр л а ?à — )о!па!!ф с?йр —. и 2а' рг+ аг 2а з!п! / 1, если 2пя < ! ( (2п+ 1)а, 697.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
