Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Функция !' называетсн дробной или мгроморфной, если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Согласно определению, мероморфная функция есть частное двух анзлитических на комгглекс- ной плоскости С функций, причем функция в знаменателе имеет хотя бы один изолированный нуль на плоскости С, а если нулей бесконечное множество, то оно не имеет предельных точек. Вычетом функции У в изолированной особой точке а называется число 1 гезу = —, / у(г) йг, (4) 2кг,/ где т — достаточно малая окружность П = (х Е С: !г — а! = б). Если функцию у можно представить рядом Лорана (2) в окрестности изолированной особой точки а, то зй! 5 3.
Обратив,б гие Лапласа В устранимой особой точке вычет все .да раасн нулю. В попике порядка гп вычет вычисляется по формуле й' ! юз1= — Ьп — „(( -а)"У( )) (6) (и 1)! ««йз" Для полюсов первого порядка формуда (б) принимает вид гез7 = !!ш(х — а)У(х). « Если при этом в окрестности точки а у(х) = фц, где )«и ф — анвлнтические функции в точке а, причем р(а) ~ О, а ф(х) имеет в точке а нуль первого порядка (т. е, ф(а) = 0 и ф'(а) Ф О), то вместо формулы (7) можно пользоваться формулой р(х) (в(х) р(а) гез 7 = Ош — (х — а) = Огп - „ (8) --' ф(х) -" х( ):Е(а) ф'(а)' (7) З.З, Теоремы разложении.
Непосредственное применение формулы (!), п.3.1, затруднительно. Мы рассмотрим здесь так назьтаемые лервую и вторую теорены раможенил, которые значительно упрощают процесс восстановления оригинала по его изображени!о. Теорема Е Если изображение Р донускает в окрестности точки рч — — 0 раможение в сходящийся ряд Парана ло стеленям— ! р Р(р) = ~', — '„"„ «=о р то ему оютветствует функция-оригинал !« О(!)у(!) =',) а„— с ««о (2) Прежле чел! формулировать вторую теорему разложения, приведем нааодяшие сообрюкения. Если у — аналитическая функция внутри области Ю всюду, кроме конечного числа особых точек а! (3 = 1, и) и непрерывна на границе С этой области, то справедлива формула Коти о вычетах 7(з) йз = 2я! ~ гезу. (3) с г=! Подынтегральнал функция Р(р)е' в формуле (1), п.3.1, аналитическая и ее особые точки находятся на плоскости р слева от прямой, уравнение которой У = а = а.
Справа от этой прямой функция Р(р)е' аналитическая, поскольку оба сомножителя — аналитические функции. Если применить теорему о вычетах к интегралу «аи ~е~Р(р) йр = / е~Р(р)йр+ / емР(р) йр с -и сл по контуру С = С, ы Сл (рис. 103) и перейти к пределу при Ь -! со, то оказываетсн, что е"Р(р)йр -! О, / е~Р(р) йр — ! 7"(!)2я! = 2н(~ гез(е~Р(р)), св «-и ! т.е О(!)У(!) = ~ геа(е" Р(р)). У! Этот результат известен в теории операционного исчисления как вторая теорема развахгвния. Сформз пируем эту теорему. Гл. 7.
Метод интегральных преобразований Лапласа 342 изображения Р(р) яеляетгл функция О(1)У(() = ',), юз(е "Р(р)). (4) Если для точки зь можно указать такую б-окрестность, что при однократном обходе точки з«по любому замкнуюму контуру, целиком лежащему в этой б-окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка з« называется точкой разветвления данной мно- гозначной ф ункции. Если среди особых точек функции ер'Р(р) кроме полюсов и существенно особых точек рь (й = 1, 22) имеются точки разветвления р,' (ь' = 1, гп), то « ! « Г(() = ~ гез(емР(р)) — — ~ / ер Р(р) йр, (5) Рь 22гь ., 2«1, » где у,' — контуры, состоящие из окружностей С,' малого радиуса с цен- трами в точках 'разветвления, верхнего и нижнего края разрезов плос- кости по лучам, проведенным из этих точек (рис.
104). Рве. ьае Найти оригинады данных функций Р. е е"«Р 722. Р(р) = —, а > О. а 2»Р ' т Функция.Р— аналитическая на плоскости р с разрезом по отри- С, цательной полуоси. На верхнем крае разреза р = ре" и р = ьзрр, а на нижнем его крае р = ре '" и „р = -2 рр. Поскольку р = 0 — точка 0 разветвлении функции Р, то, согласью формуле (5), имеем 1 г е'"" у(1) = — — / ер йр, 2хь Р' чРР 7« где у« — контур, изобрюкенный на рис. 105, ориентированный против хода часовой стрелки, состоящий из двух лучей и окрухгности радиуса е > О. Оценим г .ьез р,е 'ЧРР ~ е-«»р / ер — йр < / 1еи) ~ — ~йр) ,р .
~,р Полагая р = ееь", получим е 'ЧРР— «чт~х 2 (е 1 — 1йр~ = е' «Р .гй»р < ем,ре2я — »0 при г-»0. Поэтому Р Р«Е -«чрр»««р о ,„е и д +м / ь«,рр -2«.рр) — (е — йр = — ~ е —, йр — ~ йр = — ~ е М ! йр '4 + « +«« ! Г юсова РР 2 Р У(П=-'~'е- йр = — / е " созаийи р Теорема 2. Если изображение Р есть меромарфнан фунниия на комплексной пласкаопи р и аналитическая на нарунлагкасти )(ер > а и если существует последовательность екрузкностей С„= (р Е С: 1р~ = А„), Вь < Вь < ..., Н вЂ” +со, на которой Р(р) стремится к нулю равномерна относительно агйр, а также»уа > о интеграл )' Р(р)йр абсолютно сходится, та оригиналам 343 03. Обратвое преобразование Лапласа Г гг (после подстановки гр = и).
Обозначим 1(а) = / е "'сазана(и. Интегрируя по частям, нахоо з(п аи аг,1+ 21 Г „г, 21 а(1 1(о) = — е а ~~ 4 — / ие " з(пои г(и = — — —. л о а а г(а о Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. решая его, получаем г 1(о) = Се аг. Постоянную С находим из условия угя 1 рг С = 1(0) = / е " ' Ни = — / е '"' аг(иЛ) =— у71,/ Д 2 2)/1 о о Следовательно, ! гя а 1 аг 1(а) = -)/ — е а, 1(1) = — е 2 )/1 ' ггяг 723. г(р) = е ав, о > О. а Пусть 1(1) =' е '"о. Тогда по теореме днфференшарования изображения получим ,,у 2 е'' -1~(1) ф (е ' г/, илн — ГГ(1) Ф вЂ” — —.
о ' гр ,1 Согласно решению предыдущего примера — 11(1) = — е аа . Позтому тяг аг а аг я)= е а, е что=; е ац,м 2чтя(з ' 2(ъ'яг е '"у 724. р(р) = —, о > 0. р ' а Воспользуемся решениеагапредыдуще~о примера н теоремой интегрирования оригинала. Получим р ' 2чгя,/,ггтз' о Произведя замену 4- —— и, находим: а г а /,е ц г(т = — / е ' би = Ег( ® . о а г гт( Имеем — =' Ег((-ф) . М г+ 725. р(р) = (р — 2)(рг — р — 20) м Поскольку (р — 2)(р~ — р — 20) = (р- 2)(р+ 4)(р — 5), то функция р имеет простые полюсы в точках р, = 2, р, = — 4, рз = 5.
Эти же полюсы имеет и функция ег'Р(р). Для нахождения оригинала функции Г воспользуемся формулой (4), п. 3.3. Вычеты функдии р а-а еие.(р) найдем с помощью формулы (8), и.3.2. Имеем еи(рг бр — 1) 5е гез е~р(р) = о=г 3(рг — 2р — 6) 18 ' 344 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа е'(рз+р-1) П и геь ег Р(р) = = — е ь=-ь 3(р' — 2р — 6) 54 еьь(р~+р — 1) ~ 29 геь сир(С) = = — е 3(рз — 2р — б) ) 27 Подставив полученное в формулу (4), и.
З.З, находим: 7(С) = — (1!е 458е — 15е ). и 54 726. р(р) = о -р+2 (р' 4 4)(рз + 1) ° Фунюгия емр(р) имеет простые полюсы в точках р = ж2( и р = ж(. По формуле (8), п. 3.2, находим ем(р'-р+2) (1+ь) „ "р(.) =— 2р(2рз 4 5), б ем(р'-рч-2) 1 — ь „, геь е" Е(р) = — = е ' . г.=з1 2р(2рз + 5) 6 В точках р = — ь и р = 2ь получим комплексно сопряженные выражения. Следовательно, г'! — ь е !+ь „'ь 1 С(С) = 2Ке ( — е ' — е' ) = — (соь2С+ ып2( — соьС+ ь!пС).
и 6 6 ) 3 ! 727. р(р) =— (р — 1)'(рг + 1)(р — 2) м Функция е'~е (р) имеет простые полюсы в точках р = 2, р = жь и полюс 3-го порядка в точке р = !. Согласно формуле (4), п. 3.3, имеем у(С) = геьеь Р(р)+ геьеир(р)+ геь еие(р) Ч- геье"у(р). ь=г ь=! Р= г 1 Вычислим вычеты по формулам (6) и (7), п. 3.2, получим: р! а геье Е(р) = — —, = — е, (р — 1) (рз+ 1) еи 1 геьгзьр(р) 4 геь еь'р(р) = 2Ке (гезеМР(р) ~ = 2Ке ( ) = — (соьС вЂ” Зал(), / ь,(р — 1)з(р+ ь)(р — 2) 7 =; 20 1( еь' е"р(р)=-( г р=' 2 1,(р'+ П(р — 2) ) 1 (2(бр~ — 16р + 15р — 3), Зрг — 4р+ 1, С~си ь~ е' 2 1, (рз + 1)'(р — 2)ь (р 4 1)ь(р — 2)' (рь 4 1)(р — 2)/ 4 Таким образом, еь 1 е С(С) = — + — (соьС вЂ” Зь!п() — — (С 4!).
М 5 20 4 728. р(р) =— рейр чс Поскольку ей р = сов ьр, то функция еир(р) имеет бесконечное множество простых полюсов рз = О, р„= ж( (й — р ) ьг, )ь 6 Я. Согласно второй теореме разложения имеем !ь гч=( — ) ~ь.т ( — ' е ( 7) ~ „соь()ь — 1) кС = 1+2Ке2 ',, = 1+ 2~ (-1) ь(к — -') кь)гь((ь — -') к = (Сь — !) к б 3. Обратное преобразование Лапласа 2 г Йл! ак — — — / У(!)соз — 4! (й Е Уо). о 4, цозтому 1 г — / 2 !22 = 2, ! В рассматриваемом случае 1 = 1 Йкг С05 -2 51п — 4- ! вл ° лл ак = — / соз — ! ой = 2 2 4 1 ао = — / К(!) !(г = 2./ о ! — 1) Таккак со5-"2 51п-4- =( — 1) при п=4й — 2(ЙЕЩ, то а =2 2, и Гй — 2~ л 2! соз й — 1 !+2с 12 ~1 2)~ )О, если 4й — 1<!<4Й4-1, (й 11 '(2, если 4й+ ! < 5 < 4Й+3.
к=! !й — 2!2г с помощью единичной функпии 2) можем представить функцию ( в виде у(!) = 2 ) ( — 1) 2)(! — 2й — 1). Таким образом, к=о 1 — Ф 22 ( — 1) О(! — 2й — 1). М рсйр =о Найти изображения функций. 729. ((1) = йп256. м Воспользуемся теоремой 1, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
