Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 78
Текст из файла (страница 78)
755. 1 — соь> = ~ьЛ(> — т)У(т)Ат. о и Здесь ядро К(>) = ьЛ > является дифференцируемой функцией и К'(О) ~ О, поэтому уравнение имеет решение. Перейдем к изображениям: р , Р(р) 1 — соь> =, 2> ьЛ(> — т)3(т) о>т = ьй>ау(>) ~ —. з+ 1 (рт+ 1) ~ > 2 о Операторное уравнение принимает вид 1 Р(р) р(р'+ 1) рз — 1' р'-! р Р(р) = = 2 — — —.
р(рз+ 1) ро+1 р' 362 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа Из таблицы июбрюкений находим; У(С) = 2сокс — 1. В» Перейдем к изображениям: сок! = С к?п(с — г)У(г)?ст = р г Г(р) —,+! l р? о У(с) Ф Г(р), Операторное уравнение принимает вид р Г(р) — — + Г(р). р?+ 1 р?+1 Отсюда Г(р) = - . Следоватеяьно, Р' У(с) = 1. м 757. 1 — сок! = / сй(С вЂ” т)У(т)г)т. а М Поскольку сй О = 1, то, аналогично проделанному в предыдущем примере, сводим данное интегральное уравнение первого рода к уравнению второго рода к?пс = ~зб(с т)У(т)?ст+ У(с) о Решение соответствующего операторного уравнения имеет вид р? — 1 2 1 Г(р) = р?(р?+ !) р? 1 ! Р?' Следовательно, У(с) = 2к!Пс — с.
ы 758. С! = / (С вЂ” т)?У(т) Лт. о ° а Здесь К(с) = С', К(0) = К'(0) = О, Ко(0) = 2. Применив формуту (4), п.5.3, находим: 6 = 2У(с)» У(с) = 3. ы Решить системь! интегральных уравнений. х(С) = С?+ /у(т)?ст, а 759. у(с) = С+ ~ к(т) гст, о з(с) = 1 + / х(т) ?Ст.
о ° 4 Пусть х(с) =; Х(р), у(с) =' Р(р), з(с) Ф Я(р). Тогда получим: , т(Р) г, и(Р) г . «(Р) у(т) ?Ст = 1 ау(с) Ф, Г з(т)Фг = 1 ох(С)»й —, ~ х(т)?(т = ! о х(С) Ф вЂ”. 756. мпс = / сок(с — т)У(густ. о м Здесь К(О) Ф О, где К(с) = сок С. Посредствол! формулы (3), п.5.3, получаем интегральное уравнение второго рода сок! = — / к?п(с г)У(г) ?сг + У(с). о 363 ф 5. Интегральные ураввешш типа свертев. Особме уравнения Система соответствующих операторных уравнений имеет вцд 2 Р(р) ! г(И) ! Х(р) (Р) 3 с (1) 2 р ' Р Р Решая эту систему, находим /3 4 т/3 / + !'с~+ 3 3(р — 1)' 4 +' Х(Р)— 3(р — 1) 3(рс+р+1) 3 / 1!'+ 3 Л 3 4 8 у+2 Р'3(Р-!)'3 ~ Перейдем в пространство оригинагов, Получим 4, 4 с с/3 4 с . ч'3 х(С) = — е' — — е 3 соз — С вЂ” — е 1 вп — С, 3 3 2 т/3 2 4, 4 С С/3 4 с ОСЗ у(С) = -21+ — е' — — е с соз — С+ — е с мп — С, 3 3 2 т/3 2 4 , 8 с т/3 «(С) = -3 4 — е'+ — е-1 соз — С.
и 3 3 2 4(Р+ 2) х(С) = С+ ( у(т)с)т, а с у(С) =1+ ( х(т)~п 8 ио. < Пуси, хЯ Ф Х(Р), у(С) =' У(р). Тогда у(т)с(т = 1оу(С) Ф, ! х(т)с)т=! ох(С) Ф Р(Р) ', Х(Р) о Р 1 У(р) 1 Х(р) Х(р) = — 2+ —, Г(р) = — + —. Р Р Р Р 1 1 — 1=. —, Р Р Решая эту систему, получим; 2 2Р ! Х(р) =,, Р(р) = Из таблицы изобрюкений находим: х(С) = 2СЬСс у(С) = 2с)зС вЂ” 1. и г .Сот сСФ(С) 1 / С иЯ = ССС(С), и(С) = Ь , иЯ = — 1 ~ С(т) с(т + с)о — с1,/ о 761.
В контур, состоящий из последовательно соединенных ицауктивности Ь, емкости С И СОПрОтИВЛЕНИя СС (РИС. 107) ВКЛЮЧастея ЭЗ,С. В. ТОК В КОНтурЕ И Заряд Сдс КОНдЕНСатОра В начальный момент времени равны нулю. Определить зависимость тока в контуре от времени. ° 4 Как известно, ток с(С) и напрюкение У(С) на концах элемента цепи, содерлсащего активное сопрошазение СС, самоиндукцию Ь или емкость С, связаны соотвегственно соопюшениями 364 Гл. 7. Метод ввтегральиых преобразований Лаиласа где о» вЂ” начальный заряд на обкладках конденсатора.
На основании закона Кирхгофа имеем уравнение ! г + Е( + — ( Ц г) йг = Е 4! Сl (1) о (принято ао внимание, что у» — — 0). Пусть ((С) Ф 2(Р). Интегро-дифференциальному уравнению (1) соответствует операторное уравнение ( 1! Е «'Р+ Е+ ~ «(Р) Сру' решение которого имеет вил (2) 2(Р) = 6 (Рз и ТНР+ -Т!б.) Уравнение 2 Е 1 Р + — Р+ — =0 Ь ЬС инее~ коРни Рь« = — тг ~ — г — Т6. Обозначим Н = о, а — = )3 Т да Р, = Н Л~ 1 и 7 з ! 46 = — о+ А Рз — — -а — )3. Тогда 1(Р) из (2) запишем в форме Е 1 .Е ! 1 Е 2(Р)— Е (Р Рд(Р Рз) «'(Р~ Рд ~Р— Р~ Р Рг) 22»9 (р — р! Р— Рз) ' Перейдя к оригиналам, получим: -и Е ((!) = — е "'(е ' — е и) = — е '«Ыу!. 2,Ы ДА (3) Если о > Т6, т.
е. Е > 2У т, то корни р„р, действительные и формула (3) пригодна лля 2 ! Ь~ вычислений. Если К < 2 Я, то корни р, и Р, комплексные. Обозначим ы = )( ~ — гг'. Тогда г 1 г )3 = (и, и принимая во внимание, что «Ц(ыс) = (з!п»«1, имеем !(!) = — е япы!. -м ый В атом случае в контуре происходит затухающий колебательный процесс с частотой ы. В критическом случае, т. е. когда,9 = О, значение ((!) можно получить из формулы (3) с помощью предельного перехода прн )У вЂ” О. Используя правила Лопиталя, нзходим: Ее ма)з)у! Е ((с) = и = — !е м.в «-» )уу, Х Решить особые интегральные уравнения.
76л. «! — йг = р(!), О < а < 1. г 1(г) l (1- )" о ° в Поскольку К(!) = !», то Х(!) ф — (т-вр2 = К(Р) (см. пример 682). Ядро Х в точке ! = 0 Р обращается в бесконечность, позтому операторное уравнение, соответствующее интегральному, определяем по формуле (1), п. 5.4: Е(Р) = Ф(р) = Ф(р). 1 ДРК(Р) Р»Г(! — а) Оригинал изображения с«(Р) найдем по теореме умножения: ! 1 з!пка г,, р(!) = Г(а)Г(! — а) *РЕ)= / ' Ф вЂ” )4 » й 5. Иатетральвме ураввеииа твва свертки.
Особме уравнения 365 (воспользовались формулой дополнения Г(а)Г(1 — а) = †" , 0 < а < 1). Палаша, что функция д дифференцируемая, накопим решение уравнения Аооеля гс»=55»- (7~.'»ч- и. (5»' '). ° о ИЗ. (-7(')" = Л а (( — т)у Ч Полагая в предыдущем примере а = у, р(Ц = яп 1, находим: 1 т Г)' 5!Пч г д!) = — ( т а сео(! — т)ат = ~( — ссо! ( — ат+япг/ дт = )( (С(1)созга-у(!)51п!), т )( т ~ 5Г2тт /от / 1 т а о а где С(!) н 3(!) — интегралы Френеля (см, пример 707). м .Н г яп2чг!т 764. Г(!) =! -Ьл / Г(т)пт, (Л1н1, а> -1.
й ч Пусть | Ф Р. Согласно решению примера 682, !' ф;тт . При решении примера 727 1 гт ! нашли, что яп25Г! =; — Г --е 5, По теореме подобия имеем — — — =' — ~-е г. Изображение яп2»Г!т . 1 = р)гр балт =. ЯР интеграла г — ~=- — г(т) 5(т найдем с помощью теоремы эфроса (см. п. 2.3), в которой следует яп 2ЪГ!т а взять Ф(р) = „, д(р) = — „.
Следовательно, 1 Операторное уравнение, соответствующее данному интегразьному, имеет внп Заменим в (1) р на —. Получим 1 Р Р(р) = Г(а+!)р ы + Лр,/рр(р). (2) Из (1) и (2) имеем Г(р) = + — Г(а+1)+Л Р(р), Г(а+ 1) Лр'+' р,р откуда 1 (г Г(а+ 1) ЛГ(а+ 1) 1-ла) р~+~ + 5» рт ' Перейдем ст изображений к оригинюгам. Получаем: 1 1 1 ( ЛГ(а+1) рт Ю»55Г(2 — а) ).
Г(2 — а)!» 2/ 366 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа 8 7б5. р(!) = ~!п(1 — т)~(г) й . о ° Ядро К(1) = )п( имеет особенность в точке ! = О, поскольку )нп К(1) = -оо. Следо- ~ +е вательно, интегральное уравнение особое. Найдем изобрюхение функции ! 1пг. Для зтою воспользуемся решением примера 682, где показано, что ! ф —,+! —, а > — 1. Дифференцируя а .
Г(а+ 11 зто соотношение по параметру а, получим 1 1' (п ! =' —, (Г(а + 1) — Г(а -Ь 1) )ц р). Полагая здесь а = 0 и принимая во внимание равенство Г(1) = 1, имеем Г (1) — 1пр 'н1! ф (1) р Из курса математическою анализа известно, по Г'(1) = -С, где С = )пп (! + .у + ...
+ — „— 1 1 — (пп) = 0,577216... — постоянная Эйлера. Обозначим 7 = ес = 1,781072.... Тогда 1и! Ф = — — 2с- = К(р). Воспользуемся полученным ранее равенством 6(р) = — Ф(р), являю!я( ) 1 р Лрд(у) щимся следствием из формулы (2), и. 5.3. В рассматриваемом случае 1 С(р) = — — 6(р), !п(ТР) Найдем оригинал функции р ~ Г„-~ — ).
Интегрируя по параметру а функцию а ~ Г( — -П в пределах от О до +со, получим: чв .~.Х е 2/ / й йа 1 ~ 1 Г(а+1) ' г' р "' р+'!пр! р1пр По теореме подобия находим !'у- йа ф Г(а+ П ' р)п(ур) г гч -а "Гг гч ч Таким образом, р(1) = — / Г(~2~ — ба ч(г(1), т е, д(!) = - / ( / ТТ~~~ П йа) !г(!-т) бг, Решение о и е уравнения имеет вид /ч'' ч чх у(!) = д (!) = — / ~ / ба ~(з (! — т)йт — (г(0) / Г ! 7 ба ./ ~,/ Г(а+ 1) ,/ Г(а+ 1) а (см. формулу (2), и. 2,4), м 9 6.
Применение операционного исчисления к решению уравнений с частными производными Рассмотрим дифференциальное уравнение до дп д~о дн 6о = а — + Ь вЂ” + со + а, — + Ь| — = О, дхз дх др д( (!) где а, Ь, с, а„Ь1 — непрерывные функции, зависящие только от х, заданные на сегменте [О, Ц. Считаем, что а > 0 и будем рассматривать два случая: 1) а, < 0 (гиперболический сгучай); 2) а1 = О, Ь, ( 0 (параболический сгучай).
367 Фб. Операциоииое исчисление и уравнения с частиымв производными Требуется найти решение и(х,с) дифференциального уравнения (1) для 0 < х < 1 и С > О, удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0) = р(х) (лля параболического случая), ди(х, 0) и(х. 0) = р(х), = 4(х) (для гиперболического случая), дс и краевым условиял~ ди(С, С) ди(1, Ц и(О С) У(С), а .~)3 =ти(с,с), ах дС тле а, а, .1 — настоянные. Такие задачи называются нестационаряымя. Предполагая что и, д —, и — г, рассма-риваемые как функции переменной С, являются ди д~и д» орпгипаламп.
обозначим через (Г(Р, х) = / и(х, С)е " гсс г изображение функции и. Тогда, вследствие сделанных предположений, имеем дх'/ах " ах' ахз'/ах' дх' о О По правилу дифференцирования оригиналов получаем: ди да ди(х, 0) — =; р(à — и(х, О), — =; Р'(à — и(х, 0)р— дс ас дС или. принимая во внимание начальные условия, ди ди — Ф РП вЂ” р(х), —, ~ р (С вЂ” р)г(х) — Р(х). ас асз Предполагаем также, что )"(С) является оригиналом и Г(р) =; С(С). Тогда из граничных усяо- вий имеем у Кг (г = Р(р), ~а — + С)(р(г — р)~( = 7(г~ ь Ь.! Операционный метод приводит решение нестационарной задачи для уравнения (1) с частны- ми производными к решению обыкновенного дифференциального уравнения аз (7 а +Ь вЂ” +А(гч-В=О, дхз дх где А = сча|р +Ь1р, В = — о,р)з — а1р — Ь!р, р — комплексный параметр, при следующих граничных условиях: Ы(С (г! =Р(р), ~, — +Одр-7)(г-С)хт) =о.
(3) и~ =О, и~ =Ю. (2) Решить следующие задачи. 766. Температура и(х, С) в тонком стержне удовлетворяет уравнению ди з ази — = о —, а = соим. (1) ас дхз ' Найти распределение температур в полупространстве х > О, если известен закон изменения температуры его левого конца, а начальная температура стержня равна нулю: 368 Гл. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
