Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(о для нахождения решения у и(ходи(я о уравнения необходимо реши ! ь опять же уравпепие пе~июго порядка у =. Р(х). Пр)(мер 8. 18. хд —.= д 1п ' —. л ~ у ! (оложим д« =- Р, у«« = Р', то(гда Р «Р Р хр =-р!п-.: Р == — )п— одпородиое уравнение. Делаем зак(епу — = (, р -- «(д и ,Р (1Р «д «М — =-х — +Й х- — +! — -!1В1; «!.! ' дх ' «(.г «д (1«(: (!(!п ! -- 1) (1х !(1п ! — 1) х ' 1п ! — 1 х " 1п ! 51п ! — 1! == 1п !х! +. 1п С! ! 155 ! — 1 -- б'! х; 1п 1 + С! ) " ( 5+«) Р х( ы ) Р „Р, х х д' =- Р; у -:=: хе ' '" (!г+ С*-). Иптегр)ц)у)5 п«ча()гяь(, получим яе( Ия (8.24) и (8.23) получим у!(д) =.
д(д+ Г "1) =- р +С'!р. дрр — р-р+ р-'; р('!Ер — д" — р) = О. (8 22) Откуда р = с(р)д (8.23) 3. У : ., рави(нн(е гпореяо порядка явно не содержит н(вашн:ямой пе!кьыея!ВОЙ х, т. е. Нм('(1!' Вид Р'(д. д', !у")(: —. О, )) 1!тоы слу н!е НО$)ядок я)авнення ЫОж(ю пони.(ить. сдеьчив:!В(ю- НУ Р(Р) — — (Г, л д е (1 Йр ((р р == — - р =- - — ц:=- — — * =- рр ля " дх ((д ейх Уравнение относи'(ельно р имеет ппд Х, (р, р.
Р(1 =- О, т. е. Является уравнения и первого порядка. При.мер КЛ4, рд" = .у" Г!' + (У('')1. Пола(вя р ==. д'! р == 21'р, !!Олучпы Р =' О; ~ рр — р=-р И: у =. О с» ду' ' д =- Е.', А второе уравнение явс!(нсн я лине йпым о гносителыю р и р . Рсншем егго методом ва!Л10!нн! и!1ОН:!ВОлы!О!1 пОстО1н!ной. (..Ва*.(ала 1нлнаеы (ь(ноу)Одное урашн'шн' рр — р =-- О; ()р Ир Р Р (сы. Прим('р 8.3). Иоле(тии!В (8.23) в (8.22) получим рбу(!у)р+ дб(р) -- б Од)р =-. р'; С"(ЕУ) = 1; С(д).—.. д+бн ((д Оак кнк р(11) =- -' —, р(е1,!е(н(и пейн!ы( нные, п(л!( (ны (ьг ' 8.9.
Линейные уравнения и-го порядка Лине!Йнь!ы ди(р()1ерен!(Нальнь$ы ураВнениеы л-го ПО1)ядка назьп!ае1(:я уравнение, линейное ОТ1кгеитю(ьно пеняя( стноЙ (1)уньции н ее проичводнык и, следовательно, имскяпее вид ао(х)р"')+О,(х)р'" "+... +нее !(:Г)д'+ н (.Ерд — !'(х) (82О( Если )(:1) .=' О, то урав1н нне шк!ь!Ва(11ся Ое)еее(рп(й(!1(е. Если ае(х) ф О, то, разделив на него, полу !им р(") + р! ( г)р(" ') +... -( р„. ! (х) р' + р„(х) р = О. (8.26) (.Вы( к! Важпу(О т(оу)ему ГЯГО1О НОд!Ны((еле( с(ро!1ь!Ууп(руеьы б(11 д»ка ип ельства.
Теорема 8.2 (су(нествовання н единственности). Если коз()я)1иниен!!Ь( Р,(.Г) (! --- ),*2, ...,Н) непр(Зинин,! На (т(3!сяке !Н.Ь). толля каждого хе и-! и!г!е|н!Нь!а ((1,6) и Гп(к!Ого набора (исел деь р(..... р„существует и только о(пю, ренн пи(1 д(.г1 уравп "(шя (8.26), (довлеп(оряклцсе па*(вльным у(;ювияь! д(ХВ) = ро. д (Хн) — -- р(...;р' (.(О) =: Рл Теорема 8.3. Если р(х) явля(; гся решением уравнения (8.26). тО я ( р(х).
1;((' б Н$х(и'!ВОЛ! ная НОс ГОянийя. явл'к"Г('я $1(нп('ни!'(' у1н(вне „с(оказал>»й»( стило. (Ср) "'+З>1(х)(СУ) " ' +... + РВ .!(з )(б р)' (-Л>п( г)И;У) = =- С'(д'и' ЬР!(Х)»г'" ') + ...+ Р«,( 1)Р'+Рп(; )У) =- О. В Теорема 8А. Если р!(г) и ра(.г) решения уравнеии>3 (8.26). п) у3(г) + У2(х) гож(" (н ш( нпс' )того у(нишения, 3»>л»«!Висла()111(з»>. (д! + Уг) « -» Р)(х)(У( + 3(2)( + + (-7>„-.1(Х)($21 ( дс)'+ Р«(Х)(д! + Уг) =-.
(п 1$, . с = (У! + Рз(г)дз +. + Р«-1(» )У) ( Рс»(х)д()+ + (Рг + Р»(х)дг + ... + Рп -1(х)д.с $ Рп(х)УВ) Оз!(г(с!!$1$»)л( Н1 перел!8,8 и 8.4 являстся то, пс.»!Ин(йназ! комбишгция р( ннзпий у!. Ус, .... У«зннн'ииого с>днородного уравзиния (8.26) с гй)О1ШВОльными зк>стОян1$ыми кОзфс()ициснтами (.;у, также является реин вием этого уравнения. Е сл31:задана кОмил('кснОзначная функция действи "ГельнО(О неремс нного у(х) = и(х) + ис(.г), то е( нросшвс>дной ИО стрсдслсн»по считается выраж( ние р'(.г) =- и'(х) + ис (х).
Аналогично Определяются и прои'зводные вьк ших Порядков. Теорема 8.5. Если линейное однородное дифференшшльнос уравнш)ие (8.26) с;$('Йс'тии*Ге)льнылнз коз()>фзз(($(ен*)2)лзи (>»(»3)) имеет кс)м)зл(к(.нО( р(шсние р(х) =: н(х) -$. »с'(х), тО дсзйсзВительная п(х) и мнимая >с(х) части зтого решения в отдельно( ти являются решениями уравнения (8.26).
Доказсзп»».' и с>пап. У' ) +Р!(х)р( > з . +Р— 1(: )у +Рп( 1)у '.— := и +Р)(х)и "' +... + Рп .!(х)п' ЬР„(г)ичь +Л(1' +Р!(Х)сс +... +Р«!(х)г +Р„(х)г) =-О., Откш($$1»3«$+7>13»(п-О+ +Р 1В'+7> и -- Ои г( $+,,( 1) + Р„.. ! $» + Р«$» =- О, (ак как комплексная функция действи.п)льиО1О иерем( нзн)ГО Образ!(1$(гг(я 'а)жде(тВсннО В 1$уль тОсд($ и ГО!)ько тогДа, когДа се г(сйст))1).гель!!Ни и мнимая части тожДественно рвань! нулю. й Определение 8.7. Фуикци!$ дз(.г).
Уг(х), .... У„(х) называ)ется лши йно,зс»е»зс)ллсьллсв иа (а. Ь|. если сузцеству(ог ностоянньн. и1, й2с ...,и„, такие. по на н!.Ь) й!рз(х) + йгуг(сг) .+ ... + и„у«(х)::е О. (8.27) Причем хотя бь! одно из чисел и, ф О. Если же зождее)тю (8.27) ВОзмОА(но "1ОсзькО $30$$ й! == ас =... =: и« =- О, тс) фрикции д!(1'), ус(х), ..., УВ(х) н»юынаюпя лнн»;131»О 1»х «»В(»с(лссь»лзи на (и. Ь), Прз мер 8.2ог. Функции (,х,.г, ....,х«линейно пеаависимы на любом отрезке ((».Ь)с гак как тождество из (- игх + ... + 3- и„». ! х" =- 0 Возможно лиип, ПРи и) — — иг =--...
—— - ип.) ! =- О, Поскольку алгебраи ин кое уравнение и-го порядка имес"г не бел()е п корней. Пример 8.1О.Функции » »'с»л'-"....,сз'""с где ЛЬ Ф Л> нри ! ф 3, г)и )и й но иск)Яви( ямы ! ш як)бом О! Лн)(ззс($ (и. Ь(. »(внус ! ил!, ч ! О ОНН З!ИН(йио ЗВВИСИМЬ3, тогда С УШЕСТВУЮГ йз, йс, ...,й«с !Вязи)с 'П'О и!» ' ' + й (' -" +... + ипс "' .= О, (8. 8) нричелз, напри)и р, ип ф О.
!'азделив (8.28) на сь»х и 3!родифферснцировав, получим (Лл — Л. )((ь' лз( ' + + и (Л -- Л ) (л" ь»$' — 0 (8 с)) Рск)дЕЛИВ (8.29) На».(Ь' ЛО" И НрОднффсрЛЗНИРОИВВ» ПОЛУЧИМ и)(ЛДЗ-Л!)(Лз-Л2)»Д':~ ":-""-Ь.. +йс»(Л>с-Лз)(Л»с-ЛВ)»2' '-' =-О. ! )родолжив атот зйк>цесс. имеем а«(˄— р!)(Л« — Л2) (Л« — ЛМ. !)»,$"" ь" О) = О. (8,80) Но и„ф О, ЛВ у( Лз нри» ф ), следовапльцо.
(8.,')0) невоз- МОЖНО ЗС)Л(ЕЧОИНЕ..!ЛОК»КЗВ!»)$)Ы1$)С> О(ТВСТСЯ В (И)к И $0)И КОМП.В КС«1»Х КО)ффицИЕВтаХ Л)с (» =- (, 2,..., П). Теорема 8.6. Если функции р!(х),рг(х), ...,У«(х) линейно зависимы на (а,, Ь1, то на том же огре зке Он(н)»делитель у!(Х) у2(х) ° ° да(1) дз(х) $(г(2:) " У~»(. ) д' (х) Уг '(х) УВ (г) !«11 (В-1>, 1«-1) н»шывас мыЙ Онрегшлителем з)ро)$( козл), равшз нулзо: Уд (х) ==. О. ЯОЗ Доки)сгатсльс>г))ео. Так как уь,уе..... уа линейно завис>илгы на 1а.у!„!о най;ьутся аь, а», ..., аа, такие, что а)У! ('1) + а2У2(1) + ° .
+ ааУК(х) ==- О (8.31) на 1а, 61, НОЙ*и>ас ьи> все и; =-. О.,'шифс)я ршщируя райс нс! ВО (8.31) (н — 1) ртк получим: а!ей + а2У> +... + Ссаца )в О. а!ггь + азу2 +... + ай у,', = 0; Са -1! Са -!1 Са...!1 «1У! +2У> +...+ а»У» ' =О. Эта система, линейная и однородная по а,, имеет петривигьльное решение (не Все и, =: О) прп .г б (а,б). Следовательно, онределйтс.сь с)итемы, которым явс!йетсй 1У (х), тождествен)ю райсй нулю в каждой точке х, прннад~и жащей (а, 6). В Теорема 8.7.
Если линейно нс)зависимьи> функции у!(х), У2(х), ..Уа> а) Явлаютса Рсшепиами линейного оДпоРоДного урссвненйя уса'+р (:) '" 1'+. с непрерывными на (с),6,', коэффициентами р,сх), то УР(х) не может обращаться и нуль ни в однс)й точкс отрезка 1а, 6), ,2ока.!агггсльсг)сс)о, Допьстим, что в пекотоРс)й точке хо, НРнпь)„!лежащей 1а, 6), И'(хо) =- О. Рассмотрим систему аг Уь (хо ) + а202(1 о) +...
+ аа Уа(1 с ) .== 0; а!%(:1>о) + азу»(хо) +... + а»у' (ао) =- О. !) (а. О, 1„. !) 1'о) + "202 (хо) + + 'а,гга (, о) =-0 Рс ш1 ййя с>йстс'.мы аг, ае, ..., аа йс всс. Раийы й'слю, так как о!Ок>- делитель системы Равен НУ))к), Тогда у( г) = агу!+пауз+...+аауа яв.нитей репи>нием однород)юго уравнения ус" + рг(сг)уга ') + ... + )», (>г!у == О, улов.!сггворшслпйм й сйлу сйст>емьг н;зсьнп,ькс '«. Ип условиякь у(го) =- О, у'( о) =- О-. - " у'а "(го) = 0 Такик! жс. юо!Влыьы)1 УслОвиям удОвлс ТВОЙ)их нулсВО1 рс>- шеши у —...
О, но но теорсаи' о су!пествовании и сдинствсннос ги рсшения у и нук1 ИВО' !и шение с!>лип)дмо1; т. ск агу! + аау2 + -г ....~- ай уй .= О, следовательно, функции уь, д>, .... уа линейно з!Вййсймы, вопреки предног!Ожсййю о лйнсййоЙ !и'!аййсймосчй С'ИС'ГС>МЫ У)„. Замечание. В теореме а.7 обязательным яаляс>тя условие о том. но 1)»йкцйй у, 1кч!Кййя уравнения (162!)); если это условйс> пс выполйяс.-гся. то и теорема )южст бы ! ь пеасриа .хс")ссч ан галы!о. рга смогрнм дас 11)) нкции: (1 1> О 1 1 Ус х) .-- О.
.. '>; 2 О. О <,г < 1: У)(Г) = ) (,г — 1)'-', ! <:) < 2. О и'андйо Замечание Ппак н)жпо !Ок)>а)! 1)о побоя инийно) кочбя нация у =.—. ~~ (',у,(.г) липсйно >изшиинмьж >к и>еййй такжс яа.)яаисв репи)шин )гесс> сра!нксййя, и .Небес 1к>шс>н>к" можпо !Окдссашсть в гак!>м аи !е. Дс)кс!лс)г)гсусг»стас)о. Если фс йкцйй уг, у)„..., уа яв, шк)тся !ипинисм уравнения (8.20), то. как было установлено ранее, у ==- » — (:016(,г) такяи сеть репи)нис данного уравнс пия.
~,=! а '1с'перь докажем, что у = ~ (',д,(х) является общим рспи- 1-= ! нием уравнения (8.20), т. е. содсржьп асс частные решения этого и 10, 21, Однако у> И д) Лийсйие)К ааВИСПМЫ. так Как из а) ус-Ка)У) --. О с:сс*дуе!1 что а) == а) = О. Теорема 8.8. Общим решением при а <:г < 6 линейного однородного уравнения у' ' +р!(.г)дс 1) +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
