Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ЧГО (УММЫ СХОЦЯП)ИХСЯ (гт( ИЕНИЫХ !ь(лой Обри:)ук>т бил( и 5 )к>ш к. шсс ( Ре;)и ветх бе скин(Они> дие))- фер((ии(!)Й('мь[х фу))кций, ()ии шк)и нй вйиие ОКООИОИО (ге:к!ы е()у>(ке(ОО и имеют ря.) доно.!Инте.п иых и(м( !йгельиых шюйств. китирыми ироизвильиью бескиш *)ш>,)ифферпи)пр)(мьи. фуик- $)ии )н'. Об,)й„шют. 1(ОИ) !'!Ие)(и'я *!си('Рь ю !И(ии')ь. 50)и кйких ус:!Овиях бк'скО1И!'1- ИО дн(РЕ))( Р( Пцнръ(гк(йя фин>И)ия рй( К )ВЛЫВИ( Г(я 15 1>яд Т( ЙЛОРО. итак, иу(-гь,г(г) с с (17(,гО)>). ири .Побим и;)ля )их бу,ит ( пр(ия.[ливи, «)юрмулй Тейлирй ,«(г) —.— ((хй) ( 1 (,ГО)(.г — хй) + 7)>5)(г ) (7.93) + — — — -(.г — хй)О -)- гй(х), О! 1;и г„(.г) Оствто'!Иый чл()н формулы Т('й.!Ор)).
3))х)е тнм теи('рь. !то м!югич.)еи Тейлора я)55)яетея н( им иным. кйк иигги июй СУММ>)й РЯЛИ Тей);)Ори ( 7.!50), (1[е к>гц1 1$О)1у')йем (ти';1))О)Ц)К) Гео!я му, )тве )ькдеии( кити!Я>и ИОИО()рсдс!)5('ии(2 нь[т(кй('! И) (7.93$. Теорема 7,33. 11)Е"!ь функция Д1) с Е ' '(!. (хй)).;1ля то- ! О чтобы >тй ф) икция рйсклйдывйлйсь в рял О ей.юрй в го [к( х (О 15'(хе>). И(обходими и дие"!!Г!О*шо. побы в >той точке" Ос[ни> п)ь!й ч.
и н )у)ОИ, и)творил условию >!(>ке>л«>тг)еяи>ети(5«>.,1(5$("!)55!ГО5$$*ПО, )ю т«Орем(5 О с[$51(и и!Кд('- .1(й) (* (к скОИ(")и(5 м!1'1 1*1 ми, '1йсти'ш)5И' (ъммы Ря„)В Ъ>плОРИ О)д) т стрем)ыъея к 25(,г), '1. е. 5(й;и и )ольки тогда, кот )й выио пьи те>я (5.93), и вто рйвнисил)— и(> )'"мя'1>ж>и'нин>.)ш(ИОЙ Г(О)я*мы, ! Ооремй 7.:!3 диет хотя и ис и риыийкяш)с. ио трудно ириве!)Яемие уел(ицн Рй)лижимиегги функции в ряд 1ейлор(и Иочтиму ))рнхолитея и()к!5!! бо.ие Обозрим)*и) ОООО)йтпч(имс ус)юйия )и>«О и Рй(лож(пия. (),)но и> ири(".ийших.
КО[я и весьма грубых, 5. юиий Гйкцги и!Ий формулирует«$я следуюшим Обрйзом. Теорема 7.34. 1!ус)ь фю!кция ((.!) е= «' (1.'(>5>)). Ес,ш :.(.!1 ь О: Ии И;г б (.'(.гй) =..'. , .')[К>(.г)) < .М, ( .94) и фу!иция,!( !') Рйсклйдывй('и;я в ряд 1« Йлорй и и(.гО).
(е»(((5(!!нем>5! «О>«5(2. О(е((!Г*))и!(2)$ ие>,;)йиии!( и О("Гйто и)ь(Й .г $ фирмулы Тейлирв в ()>Орм( „5)йгрйижй $" ("* 5') > (с) >'...,(,г) -=..= — — О-(.г — .Г(,) ', 1,:и' (* б !.гв, х,. (и '!)! (.."(О) ип (.г: (,г( с а). <п'1 (к>!3:г) "'( =-: (яш(х -!. — >!)( ." 1; Р 2 (~(<оьх)'и ( = ((<оя(г + — и)( 6 2 (7 9() ! > =- 1 — х 3 .г 1+х (-1)пх", хб (-1.1); и--О ,,и и и =. 1 (7 99) ° )и(! +:г) ==- х — --+ 2 (7.!ОО) г 6 ( — 1.1); !'7.
101) п..1 !. и .'Е ' а>и, где и:и — — и, + 0„. и-! ('7.103) ч 7 и у (риксируем,г 0 (7(<г<3) и оц<*иим ! и(х). используя (7.91)„ , )<и.',13(,)((, .;и!. ! 3!..Г (п ! 3 0 < (ги(х)! = ' — — -' — '" — ' — "- !17-'----'--'' — --. (7 96) (а+!)! ' (и+!)! По. как было устаиовгиио рюи>е, при лк)бом ыоложительиом а <и ич((>м: 1пи — == О, откъ71а с.>!Сг!у<гг. 'И*О ираВая '3а<'"и 1К>равеии- и'И! сп3а ( 1.91)) с!реы!<т<я к и)лн) ири 71, --> жч а с)и>дов!г!Сг!ы!О, ио т(х)(к.'м(3 <О '3а>катой иер("мсииОЙ» сГр('ми1(я к иулк) и Гп[х).
11(> то!Гда ио т< орсон. 7.33 функция 7(.г) раск чадь!аж тся в точке .г в ряд Тейлора, !З силу прои ияси,вести то (ки .г иолу ии м (та< рждеиие теоремы. Ранге, ичу шя формулу 1( й)!Ора, мы ю>ишсывсмш зту формулу ири,ге —.= О ддя шести стапдартиь!х функций. Приведем теперь для этих ж< фуакций ра<июжеиия в ряд Тейлора.: д .и Х ъ-,!' ° е"' .== 1+ .г -1- '---+ . —...
~ ' —, х 6 ( — хи+.к): (7.96) 2! и!' и=,е л > 'с', 2Ь< 1 .1' з,!. Х ° Я1их=.х — — -+.. = ~ ( !) .---- — — —, хб( — ОС.ЗОО): 3! (21. + 1)(' ь — — а гаь ° сов) .— - 1 — — + - — — .. —..— > ( — 1) 2Я 1! х > (21.)! 1"=.(3 1>(1> - 1) 2 ° (1 З .г)":= 1 +р:г+ — — — х + и ~-'-, !>(1 — 1) . (3> — л, + 1) — — 1 + 2 — — ' — — — — х", .г б ( — 1, 1). и! !((!я каж дОГО ра:)лОжеии>! указа>>а ООааст<, иа кОтОРОЙ Оио с)ц)а; всдливо. Пь!ведем все зги формулы, кроче (7.101), докааатель- (тво которой продсп!Вл>кт оольш(к трудности, чем в случае осп<льиых р(ы2!Ожеи>1!(.
1331,! <оотвгиггвук)щих рядов 1ейлора вытекает и) формул дл>! и-х иро)!э!>о>(и(!х «))уикций. Которьк Оьии разобраиь! в подраиде,кч 1нк'вяи(енпОм фОрм)21<' П'йлора. Так ')то зде( ь Ос отс >си ли(иь 10)Овсри 1 ь выиО и>( иие дос>а Го (пО- ГО Ъ'С '>ОВИЯ. Прежде вс<)го рассмотрим ("'. Пьк>ерем прои.ию, >ьиук) окрест(кк<гь нуля радиуса, а . 0 ",Здесь а л!обш иоложителшкк! ш<.ю, к<пор(к вовсе ие !Йк.,(- полагается малым. 11 этой акре(ти<кчп справедлива <,кду>ошая <л(анка: /( х)>п!( ( Х(,.<,п 1аким Об)яоом, '>де« в! пи>лияк>т(я уГЛОЮ(я '3()еремы 7.*>1 и.
Сл('- довательио, (."' рвскладьи<а('г( я в ряд )ейлора в ( ((Ц. П силу прои и)о,и*ности а и г( к>2(а иолу !К<>тся р(3:12!Оя(( ии( (73)6) . '11!5! Я)их и с>)в(3 получая>т<'я <яц ики сраи па в<'ей чи<лш)ой оси: Поэтому и си.!у теоремы 7.34 справс(дливы р!Т(>!Ол(сии>! (7.97) и (7.96). 1':>э.!Ож('ии(' ! >,99) хоро!По 'а)ии>мия и> и!Кол! ! (!)Орк(уг!в суммы бескоис*и!о убыва)ощ(й геометричегкой прогре(тии со а!Кмеиател<)х! 9 =- —,г.
Иит<>грируя (7.99) от нуля до.г. где х <= (- 1, 1), иолу !им ра<3- ,юж(юи (7.100). Мож!и> иак'ппь. что ряд (7.!00) гход>г>ся и в го >кс!. Оказыввеття ( >д(сь мы зто и<" доказыва< м), *по(то сумма совпадает с!П2. 13)к что ра)лож(ии( (7.100) справ(д.,!Иво и (ля "!и (ки (. 7.7. Ряды с комплексными членами Ра«ъ)игрим р>!д <. комилек< иьнш члеиагии ('ГО сумма ИОлаГае'и'я раннОЙ ,си- ) =.—.
1»„с<$'~(-- -' У1((и. и |. '<. (7,107) !«и =- 1 ап + | ~' $'и. (7,104) и:=1 п =-1 и и ~ .-". , 'и и | ° ! | и | и-. '| | < и ! . »г ', (7. 105) и (7.106) и и! и-:.() 276 Ряд (7.103) с п)тается по определеник) сходящимся, если сходят.- -~-ии СЯ Диа РЯДа С ДсйстантЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНаМИ ~~! Ии И ~ Ги. ПРН И)М и.=. ! и=. ! В противном слу ие ряд (7.103) расхо;.(ится.
'ХЕОрЕМа 7.35. 1!УС)Ь СХОднтея р))д )) |и и1. тО|„И <'ХОднтея И и:. ! РЯД 5 И'и. и-..1 и(ока»1и1и|и|ьг)иеп. В (а.*1ОМ иьин;и'.,, '--' ~ и,", "- |', отк)у(а пь)- Гека)от О и)ни.:[ш !и $н ра$И истю| Из ш'ран(ч|ств (<.105) ио иерпому при яшку»рави(ния рядоп (. ноложительнь)ми |ленами с;и),|уст. по сход)гпя ряды у $и„, :и и -1 -:х $Г,|, и '|О1ДК, как и пи<"и!О. «КО)оп<Я и РЯДЫ ~~' 'ни и ~<.= ! и -$ ~<--$ по ранносильно сходимости ряда (7.103).
Как и В <лучио с.и Й- ст))иг»ь<$ $!)ими !л(иах(и, си|и охи|и|си рят( и) мод);и Й ~ и — -! то ряд ( .1031 называется абсолн)пшо схск1я!1(им<)л. ° |)!Ожио рас(мотрсть <")тасины( ряды» комп)н"ксиь|ми козф- (!)$1$!Ие)г!Ими и коми.н'кщн)Й иер(*м( ппой:;". Ойеорема 7.36 (теорема Абеля). Если ряд !7.106) гходится В точке са пе О, то ои абсо.по!п|о «ходи.п я д.ш лк)бых =, !.аких, по ,'е| < (сц1. „*'Хаак»1)<<и)<ли<тай<). (Ок(е)$«гол! <'п|О ир))кти~нх'к!$ дО(ЛОВ!!о поВторя("1 7!Оказа$пыь»"(ВО и!О1хмы Лб(л)! для и('Йсп)ИГ(м1ьных рядов. Возьмем ироизиольпук) точку:; ,'.:/ -.С )с<)~.
'(Вгда д)ш мод)- ля ин)ни ряда (7.106) в чтой го|не иолу шм оценку :)д< ( ь <! =: —. ', — ( и ! . и по< . и донател ы ю( ть 1»ы;,,'$" | огрш ш чена ( кон' е($ егантой А), по< кольку ш) необходимом) признаку <, '.,", — О при н .л. В <.Илу н<рпого признака сравнения ря„юи «|юложии, |ьнь|ми нн нами п.) (7.107) ш.п< кает абсо,нотная (.ходимо("и ряда (7,106).
.)ах)('!'их<, 'пО (ели и')ООраипь кОмп)и'к('И1И'. '!Я»")а как тО'1- ЬИ На КОМНЛ< КСНОЙ! П;Ю<КО<"П|. ГО И(Раи(питВУ !'~ ие /С<)! );(ОИ:Н|.порик)т |и < то |ки, ра(ч|о,|оженньи Внутри круга ра;и!уса 1са~ <. и< итром в на ш. и" к<)ордина|.
С"оотнетппи нно. Ихичч о интервала «ходпмо(ти в,(ей<$гни!(льном <лучке |,и«ь !И)шика(т круг <.Годиди)с<»и< ради)к а !», г. (( 1х)<Г<1$)е С.))о($|ы<»)< И|И 1» оп|ЯД(.!ЯЕТ< я < О<Л1Ю!И<)|ПН М Л == )И|Р |С;: ~ »'и=и <ХОДИтеи В тО|К» = о<: О Внутри кру! а гходнмости ря 1(7.106) < ходится абсо потно. Я|и* $ий)!а ОН Ра(ХО„(и)(51, а $|а |ВИНИ!И'.
ПО)КД('ИИЕ РЯ)Й$ МО)К(Т ОЬПЬ как$!К| уго;шо. Ес |и 71 ==- О. то ря ! < ходи|си то и ко И1и| = == О, а е( ли 71 =- -<к. <) 1ищ аб» олк)тно схопгп я |щ |и$ей комин)ксной плоско«ги. 1 1)не('бы)!с);(Оказа$1О., '$'|О функни)1 <" ра<'к)11)»(ь|иш "1('я $!а В(()Й |иглоной о( и в ст(чи)|шой ряд 1' <'т<'ппи'п)н) О1$1х'делит ь с как сумму 'п1кОГО ж(* !нида, 1' (с пм(',('тО | и< "1 Вит< линой |н ременной л с | о|п. коми. и к( |шя пер<"мшшая ".
11 т. и .1)е)$ ря;! (7.108) на (ходи)Як"1 ь нри = Уд О |н) при)паку До- им|О< ра (7.1!0) и п>п (7. 120) !Ии Ьп =- (. 5! — » (>.$2:$) !)(г) «- .'п(.г$ ч $7П(х). ~ ГКУДй 'Ьп(г) — 6(.! ), '=-, , '!)п(г)!!. 2ЙО «Й>Н» "т«6>„' —; "-. '1!1$ (Ьп) =- рт . Й>п = 3 п.",п« =-.; $)((>п) -;:-6.. + ИВ (7.!19) вь!гека<'т, по в '7 » |И = Х =- <$П> - Рп„-"- .11$$«и (7. $20), Вйхо,шм, что Сравнив»( 7 1и: >п' ~)7„-- с~ и: "..
»>с>0 пЕ»)': Ча «Х !Ьп -(, и в. ,- «. (7. 121) ; <:и иие !И)еРгел 1. ".1ВЕ» !и!, Н ( .1О1) (-и, ие !то шю<. кйк оире;и: О:;, .: )тиости, г:н).<уе> едииствш * 5 ииость !очки <.) ири локйштельш7ве Вео,)ход- В жИО ИОД !ЕРКИ»гс)П ПО„ЕСЛИ 1 < ши мы оиирйли< ь ливи, ий оиред орему ло, то в слу' 'Ейе;»Остгпо шости ирин»лось .. И(>ВОЛЬ »ОВВ П Т( о в !ожеииь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
