Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1»яды Лс Йбшзпа бышног как абсолк>тно, гак и у«лшзио (хоз(Я!ИЗ(!Зися, Примером абпшк>тпо с ходяпи Сося ряда х)ей«)$$1$$НЗ мож«$ (лъжи гь ря»$ 1 1 „, ! 1 - — + — — „— - + (-1,"« —,- З 22 ' Зз и'" ,'(ру(ое з!ело. Рто нри:псак .1«йзбн)ща Засти исчкснзуется для ъ(тановче)ния ъ(л«>в(ЗОЙ сх0,1имО(ти, НО нрн ятом трее)ы"$(я ('и(е $ $1яь(Вари! Г»1 ы(О() НГ(!л(!доВВН1и" на схошмо("и СО($ гвс тстнук)РН(ч О Звща из моду. юй. Ан!М$1$;зщ)ЪИ дОка:затссп сГВО $$рн:п(вка (1е;ЙОн!ща, мОж>ю ИО- зъ'$$п"ь ОН1'ику для суммы ряда,'Йзй$)Р1ина.
Творе)ма 7.18. Съ мма ряда .1ейбнипв, но люду.1$0 ие 1$)в*!10(- ходит модуля его первого ч»и*па и имеет тот кс 'знак. что и .)Рот ' $»и'$$, »20хасзс)>)1(0$ьспзез(>, В (а«и>м;се, ич если ряд Ршчиши тп( с поло- Я(ИГЕЛЬНОГО ШЕИВ, тО, ВО-ПЕРВЫХ. (сго ГУММИ ПОЛОжнтсЛЫРа. ПО. К«)льку явлю.тся ирс,(с.)ом монотонно возрРитаюпа Й иослсдоисп«*льносЗп положзггельных висл,чвз.. 11о-вРорых, и:з (7.45) и .',7.16) с)и дсет. *!то 1.1и. Ъ:*и!1.ывая $10. 10ж$$ и дыло(ть 5. (()( ., $06.
(7,49) 1 аким «х)реЗРЗОм, ътвержд(ни«' 'Рторех(1 ! Рзыпозпи'ИО. (.лъ'1В$1. кОГда ис1шый ми и ряда (пршнЗт«'л('и, можно свести к нрсдычушему, ш(нося»--» За знак суммы. Легко убедиться, по и ще(зь утткржд«ши" тс оремы справед, шво, е От«'к)знз юятека«т ъд1 Ззср>к„(ВР($1(ч кО ! О!Кк' сфОрмъъ1иръем В ви,((' «ямо«тоят1.1ьной теорехп 1. 266 !1 = — а е1ца х+ (7.51) А'и = А. (7.5)2) Л' -. А, гд( А' -- ~ а'„. А";Л'. аи =- А, аи .'" О.
',у (7.50) и Теорема 7.19. Сумма огтйткй ряда 2!ейбиица по моду.по не Прей(к'ходит мод'>Т1я пе*.риО('О ОтОЙОпюпнО>'о чен'пй н име()т т(г(' же' 3НВК. 'ПО И ЭТОТ ЧЛСИ. Дека,)ат>>еьгь( тт>ета, Отметим, что остаток ряда ( ам являет(ея ря;юм Лейбница, В и нервь)й отброшенный члена н(* что ино(х как аи е! П(Риый член остатка. ПоатомУ УтвеР- ждение данной т» оремы иемсдлепио иолу игп я, е(ли прямещгп те.орему 7.18 к !1и.
6 И>>ве("!ИО, 'ГГО От >щ(х(танОвки с.,!ВГ>н'Х1ь>х сумма не* м()няет ('я, СОхраняе>тся ли '>то ('Вой("пю для О('("кОне',чн)*>х сумм, т, е'. дт)я рядов? '!Втн)( увидим, что опо сохрйнщпся Для абсолктгно схо,ьпцихся рядов, которые и это)1 отиоп!ен>ш подобиь! конечным ( уммам.
и не сохра!)яегся для рядов, схо,рпц)!Хся условно. Ву)(е>м говорить, *по ряд ~ аи иехайчилх:я нл ряда ~ аи тши=1 и =- ! 1)ететт>>а>3(>е>хе>а т';щйае мыса если Оп СОстОнт и"3 тех ж(е самых членов, ио рж полаженн>.>х в ивом порядке. Мы Ене Ограничиваем себя п(рестаповкой только копечпого числа слагж"мых. Можно. иаприх(е>р, пом("нять м(стами все чен>ны, ст(иицие нй четных и нече п!ых местйх. При В) ом иолу ИГ!(.я ряд аа+ а> + т! -1 ах+ а(, +ай+ +а>3, .3-а 1..1+ . бч(3!тя('и, тго оп тоже получился пере(тщн)акой слагти)мь!х и> РЯДН ~~' аи. и;:1 11нйча)и рй(х:мотрим ряды ( Неотрицательными щеийми. Теорема 7.20.
Пуси >адан (ходящийся ряд с неотрицательных1и '(ле нами. 1О>7(й лк)ООЙ ря)3, (и)л)'н иный и 1 и( ход)(О3 О >ир(ь стйповкой слагж мь!х, тйкж( сходится и (есо сумма рйвий (умм( исходно! о ряда. ,т(ежа,>е!131(О(1(.тти(е>. Действ)(тец!3 ио, пусть дйн ряд >- х. Ря,! ~ аи п(с>уи)н пер(счщн>акой (лагщмых из ряда (7.50).
Иочьмем прои)й(хчьпук> !йети !Иук> (умму Лт, второго рядн. Она ((ктоит и> кощ"шаго числа слагаемых. !1(е '>ти слйгаемьн. Входят и н ряд (7,50), но под другими номсрймп. Обочпачим Наибольший и 3 ->тих ном( ров "и ре.> та. Ясно, по И самом д(ти, Аи, содерж>гг в(т сл>цасмьи* и> Аи еа) ('ще. в(гь можиО, пе'кОтОЯО(' кОЕ>и'и'ст!К) н(Отрп>(йтельиь!х (лй3 В(>мых, и, КРОМЕ ) О1'О. КВК И Г(ЛЯ Щ'('Х ИО!ЮЖН'ПК!Ы>ЫХ РЯДОВ. ">йСТИ'1НВЯ (.умма Ли, ие превосходит суммы ряда. ИВ (7.51) с)!(дует Ограниченность !юследовательноети (Ли ): (,ндО3>й1(льна, ря'! ~ а (хо„!И1(я,1!ей(хе)т(я к н(кд(л> В (3. )2). и::.
! >юлучим Неравенство Итак, ес:и! ИС1мс!)и>>г>! (Дшаемьи у (ходящ()сося ряда с пеотрищпелы!ыхги ч:и)ийми, то сумма нового ряда будет не больше, ' и 'м с) м т >й и( хо)Они О ряда ° Ъ' !1>*и е Рем тепеРь )а исходный РЯД х аи. Т(ила с !юмошыо оби-. 1 Р>>п1ОЙ и("(ы(тйпоВки ич и('ГО >н)л)"1нч(Я РЯ.*! аи. 1!О,*(ок>т>а)1- и —.1 >В>МУ ИМ("('и: Ио нз (7.50) и (7,54) ехи>ттует, что А' =-. Л. 1',нсмотйим )еп(1и РЯ;! ! И(положитслып!Ми *!л(!>йми (аи .
О). Ухи!еже>3!(е'х! Всех членов нй (-- 1) (то можпо превратить в рц ! с пеотриц>)п ельиы ми чл( яами. Ясно. что теорема 7.20 будет ( прав(длива и в агом случае. 11аконец.;нжйж()м итоговую т( орему. а„. ) 1$)и втОМ 1?Виси(с|ВО Е' и —. ! ',' |.О5) 1зн' и1т!и!х сми оо() |нй'и|вы '1.
Н|пы и(йк)с !)1В(!Сии! ! ' х рядок сохраи|птя. Бо ризи ! (7,34) и (п.36,« (7: ) и '(7.3,»,' в||вкоиостояииыс ряды, для кого- 1)ых. Кйк только ито было у(тйиовлеио, |нйя.ствиовкв |л("иов !и* меияет сумму. Зив шт, (а„') =- ~~» а„ :Еп -Е (ап ):=- 7 а,, (?.56) п =. | и.«| и«-1 и=1 и.! (7.55) и (7.56) еле„|у(т. по ; )и .!.««.
а«« =и,~ (с|,) ? (аи) = ~~' с!««+ ~ а, ==. » Ии. ° и=1 и««1 и:= ! «« .—. 1 и = ! п =. | „:1 |я условио схо;|ягиихся рядов справ(!|ливи |еорема«котору|о приво,|им:|дссь бс'1 дакии(п !хи ствй. Теорема 7,22 (теорема Римана). Пус п 1«ь|аи ус |овио(хоз(яии(!)ся ря !.
3огдй для зиобси о дсйсГгвительиого *|ислй.й (вклк)- иая символы тъ:. и — ос) можио так ис рс*с| *" .ВВИ? ь (Го с.|В1'йсч1ьн, *|то сумма иолу н)иио|о ряда буд(«т 1»йвий А. 3!Л? те 'и ' »(?~)('х!с! ИОквзыийа|? "|тО бессмысл('и|н) !ОВО))!!т! О с'умме ?с|овио с .(»Гсииниося ряда !бек?тиос!Г!ельио к порядку его сии и('мых.
то|71й кйк лля вбс«озио'!'Ис) схо,ои!!его('я ~)яз!и ис»~)яз(ОК (?1В- га(|мых фактор иесуи|с ствеииый. 260 Теорема 7 21 рс |и ьн р(ст |ви|| с | ий | 6 д|и|н)сося ряда. То иолу |еииый ряд буд!'т сходиться и его сумма будет рйвии сумм! исходного ряда. .(Окала»а( ии!Наа. Б с|амом д(ле. Иусть 1 дй; б ". )аз(аи аб( олготио схо- З(явняйс|Я Ы;1 а,. |"1, ° ~~ ап. 7 вс смотрим («оответстим!ОН!Не ряз(ы (7.3)) и ', « .,' 5, )кубой и(3)(*с|.йиОвкс.
(|лси й(|мых исхОЛИ(и. ) .с ряди соотве|- С'1ВУЕТ ТО'ИГО '|НКйЯ «К(', ИЕ1)('( Гй|Н)ВКИ с?|йГИВМЫГ З х) ? | т ь х рядов ) с!) и х и=. | Рйстгил рим |ы.! и. сс««с !) ф?икиии си|реъ' и ииьн ий ис котором |цн)меж? гк а.61. Кик ||оиимйть сходимос гь !?исси() ряда." Оймый иросгой сиос'ОО |ин'ту|сить 'Гик ж(х кйк В сз!»'Ин' з!1)т)'их О1нй)см|ий с: ф|'ик1(иями.
А им( ииО. Ойдсм |ОВО1и|п, 'пО !»Я«! (7.О7) сх||диГ(я и |о |Не л,| (= (а,6н (тли схо.и1)гя |исловой рял и|«| |и|. и«| 5(иоже('пз«| В((х '1О'н'к, и кО?«|рых 1)яз! (ХОГ(и Гсв!. Иос|п исьи|йии|' ,«().|асса и (лад|с ихп |ла. )Ьвс(тис). "Мо к |и("|ийя сумма исл!1нйи.иии !х ф? и)(1!Вй иеир|- ~ ),(в)и). Ирои'исодиия суммы рйиы сумм(| ирои ик).сиых и г.
Л«Е!?!с |6сгоит.сс:ло в слу !В(* 6| с ко|и"шых г?'мму Окв.)ы!и!«'(ся, ири ио! «)" (е и!Ом оир(,с( „и иии схо |им|к"|и ии с);и(«) и |» п|х свойс гв ие сох!)И ив( ття. 3 нк. если вг( пи (х) и (7.57) ис |цк рывиы и т(| «ке г|«, то с УММИ РЯДВ! '.:)|),()(Г) МОжа! ОК(СНС! ЬСЯ Рв|РЫВИ«)й И май тО |К| . ()ОВТОМу для т(яси ПО6Ы Гйр(ИПИрОВйт|, ВЫИО.ИН ИИЕ трс 6«П МЫХ «н«й|«ти. 11хс))ется ий |ожить ий р ||«доио,и1и п,|ьиьн и!3)йии и|- ||ни.
Опродезсение 7. ). '(Исз!Оио!й! р»ьс, ( ио,|ежи г(лысыми |л(|иы ми ~ и), ийни)гс(тся,((а)!с«)!Х))сл(«и( для ф(«икиисии!.!ы(ого ря.ы (7.57) ин ирсж|ежуг|н |а.6|. если |7 5Я) 'с«а ?у | «а,6) «- |а,(,г|| ':-' аи. Р~! !Ух!(с!ся. )исясчн)и!?! (у|Нес! Вус'! и|' .1ля всяко|о 1)яз!)1, и «п|рс, и;о|а|тя ие(а!Ис)тий"и!«). Тоореми 7.23 (о непрерывности суммы функциопвль||ого ряд!|). ()уст!, ив|Ни фуикцио||вльиый ряд (7.57). 6 !О(м!«- |СО1ИИО|ИИй С.
и Зст!ОШИХ! | СЗ!ОИИЯХИ 1) "и сси(.г) с=' ('(:,Н,6)): 2~ суи|(ствус | схо |я|ивин я мнжорйитй ~) аи ий са.6|. и-! 11| (763)и (764) <'и'(ует что (7.65) (.<>'(х ) -.,'>'(.1 в )1 < а Оценим (к>таток ряда > ..-»»>а! й —..й» | ! (7.66) (7.61) >'115(х)( < -- (».> 6»П.Ь>. !1 < илу (7.4) (7.67) 5(.>) — — Зй(г) + Л'.,й(г). (7.63) й 262 263 То|>да ряд (7 57) а!к олютцо сх(>дитея нв (а, Ь) и (т(> сумма.'>(г] иепрерыи|а На (а» Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
