Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 42
Текст из файла (страница 42)
( . гОС. ЧГО (И Каа формсмп иаи сумма, ряд чинись(ьии'гся с)и(дукнцим о()ра:(оки а(+аа+ .. И а„(:= «и,( «. (31(сс(* и„и(гхьи(агт(я абгйим '(и«в(м( 1в(лв.~ Если п)ворить поформалыиь т(1 ряд ч(о (ух ма 6(скопе пи)- го ии:ла слаг(1смых. 1акой суммс иуькпо прп)кдо вссп) ирпл(гг( смьи' 1. Х1ы «)к(' ка(а.(ись:«т(но ВО!цккй в 1;!. 6 В сил «и с к1)и- 1(. рисм Лсйити. Теперь прии(.(о время разобраться ио во( м;)гок( О('ИОВ(ГГСЛ Ы(О. Г)(иии)сх( час(и( и хной суммой ()„ря та ( умму 1«го н(рных и сла- 1'И(*м Ы Х: ()«( -.-.- И( + а + + и,, 'Ьк" п1'и(ьи", суммь( (ами О6)1)гг(учог:и(словучо ПО(хидОВИ(гсль- ИОС ГЬ. Определение 7Л. '1исловой ряд и(взываст() игадяи(а.(( я.
( сли сходит( я 1И кьи гдова г( л ьп оси и с( и ии "и( и( ых ( у ми. и рич( )1 и(я дол Пити (иых (умм и(ии иии«гоя с(д((((а(1 («)Я()(1. 1) противи(«х( Г.Г: (а( ~)яд 1ИП(ь(вз("Гся ухи(га()я(1!П««ия. Раки)1 об~))Г)ох(. О) мма 1)ях(й,() В( 1 и(сля( 1( я ИО 6)О1)х(ул( .()' =: 6(и(,ч„. ГЕ(уч(!Х( Г('1ийп иро("Г('пии(о (гиой('тва ')ислОвь(х ря„'(ои. 1!У(гг( ')вдави ГИ1а рялв и (ап х !)и). и. 1 ап и ~ ГС(п, ГЛЕ С" ф О. п- — -1 и. 1 (((п х. !)и) — —.
А -Е В. и.— 1 Л'и: — « '.1П. и) Ап, .= «» а,п и 1!и,;:. ~» !)и, и.= 1 и. 1 С()п == С'~ а.п. П.. ! П) п- — 1 и — 1 и) —,1 1-'1-! ..ч !+ — 1- 1 — . -!— и, пх $ и) т! )п1 и и О+ О+. $- О+ КОГО!И)Й сходится к иулк). 1)ох«сук!мой (р(а3!Ия:гьк)) чтих рядо!3 буд('и !)онпмагь ряд Теорома 7.1. Пус)ь дан(! 1«!)а схо,«жцнхся ряда «» ()п .= А и и-" ! Е !)и =- 77. То!Да их сумма (разно(ть) также схо;«и !(я, причем п.-„) (ок(33(иг)(о)ь('(п((о.
1 ас('м(н рих1 'нн"1'ич1$ыс' ("» «1мы рядоВ ЦО )ЬМ('М, ИИПРИК!С)Р, («УММУ РЯДОВ И 1)ЬЦИС)ИМ 'Н'!КХ) А$П И (1)п ()() !'(с )и п)у!о с у)!х!у бп( — (ап Е 6п) =- ~ ап (Ь ~ бп — — Ап„+ Вп). (7.2] У опыаая оирсдс.кчпн суммы ряда (7.!) и прнмс ини к (7.2) тео- рему о и!яде и. суммь! двух !Нк(лсдоаат( льиог!Сй. Ноль чим ,()' —..
!!)Н ()и, —. РНИ (Ап, + 77П,) =- А.~. Л. (п»эп " и)- .'., Лпа.,)О)'и'(ИО ДОка:)ь!Вчн'т('я те()р()ма $$ „«)!я ра:31нк'ти ря.«он. «.с!( дуст отмстить, по яту т( орему и( л ь )я (тратить: и 3 схог«нмости ( уммы двух рядов ас спк дува ( ходи мое ип каждого ряда. Напри)!Ср, к~ждЫЙ ич да) х рядои ( постоянными (:!а! кемь)ми расходится, а их с.уммой буд(т ряд ',«гарно(с»(снщ". 7..у.,(ок)«жи'!( утверждение: ("с.!и один ряд схог«ВГ()я.
а д!Иугои ра(ход)пся, 10 их сумма и!Яд(тиВ:1я(*'1' сОООи расходи!!«и!!()я ряд. Теорема 7.2. От ум!Н)жения всех !л( нов ряда на ненулевую иос гояннук) сходимск'и* (расходимость) ряда не меняется. ,((ок)а,э(ии(У(ы п)()о. !1 самом дс, нч рассмотрим даа рях«а 1'сли Оск)зна'1ить $)х час!и'И1ыс (З'ммы (3(к)!'(3(г!("г!)с)(ИО '!ере3 Ап и А'„, то выполняет( я о и Видное ((пп !П)ин )пн ОГСК)Да ЯС$(О, ЧТО С(«П( СХОДИ 3(Я ИО(УН!ДО1)аТ(ЛЬНОСТЬ (Ап), '1О СХОдитоя И !НКЛ(дииат(ЛЬН(КТ) (Ап), И ННО6ОРОТ.
11оня)1$о (акж(' ч1О В случ)н' схОдимО('"!1! )«Дя ('умм ря,«ОВ спрапедлиао рааенстао Теорема 7.3 (необхс)дим)яй признак сходимости). Если ряд сходится, го()со об!ций (лен ($гр(мнтся к нулю, оп (ходип)я == !пн ап =- О. Е ! ( —:Ъ. и-! Дока)с!)п(пьсп)()П.,Дсйс!1)и)п)и,ио,:)аннин и О"и ВиднО( (ООт!ю!пенн() (7.',!) !Де 5П '(астичпая сумма ряда. 11оскольку 11Ш,()п = б И, О*Н'ВИдИО, !Пи бп 1 == .). !пп ()п( =- (ин .')и .- 1ип,')и . ! =-. Й вЂ” ()' —.= О. Отметим, *по чтот признак нс янлжтся ()осо(а)по и(мм: н 3 топь по предел об(исто члена раа()н нулю, нс ((!('()исп), сходимость ря;(а.
Ото мОж1н) уни)иггь иа $1!Я1м("!Х) сл(„1укаиих дВух !Ы,«ОВ: -11-Х а.1 (тйк б).((т устаиоялоио далее, перйый иа -)тпх рядоя рек ходит(*я. й В!О()ой схОдиася, хо!я и В том, п .(ру(ох! (ау1й( обп(ВЙ 1;ии стр('мится к иулк). Теорема 7.4. О! и и)или)иия (!(Обайеи ии)1, отбрси ьп!Виия( конечного 1ислй 1, и и(ш ( ходим(к"и, (рйсхог(их!Ост! 1 ряда п«м(ио(- ('и'я, Дока.и!Гп(о)ь()аг)О.,Тейс гии галы!о, иу(-п Видай ря,! ~~) а„. а-.! х Ободианпм и Рео ) аа РЯ,Е, !НЫУ !Оииый пя исх(с(його ()5),и( !Ги а. 1 М(11И',ИИ(М КОЕК"И(ОЕ'О И)И'Лй '1,И')ШВ.
П(н ко(и,ку у Втих двух ря и В (плп ши!ся люиь кои(*пик ш(- ;И) '1. И'Иои, .; ,)( : )1 а -) хй -- и „ . †- а, „, . ОбайпаяИМ !Срс( Аа И А'., СООтйетотпутещпс На(тп)ИЬИ" СУММЫ. Ро(Т(а, и!('и!Вая с иох!е()а й . ()1(.и!О«и, меж,1у Ними бу.а ! 1ьос гоЯ1шй А'а - Ал .=- (', И(1И Опкыаяс!ю. по носи)донат(льиопп! (А„( и (А„(,ш(к) обе пм(- кп ш)сд(х(..и!бо об(' пр(),((ла !и им( к)т.
И Теорема 7.б). Е«.1и ря.1 сходится, !о последоиапльи()с)ь еп) "1ИСТИ'*ИЕЫХ (')'ММ !и'Рйпи'ЕЕ'Ий. ':Это !Км(лл(аио с:идуе! п1 оир(',ил(иия (ходимоши ряда п «ОО(еи' и' п)у)опиГО (В()йс) Вй ии(лОНЬ(х 1и)с(и'. (ойа и л)Них т(Й. ((й)КИО О!Хи!И! !., '! !О О! (НИ!И И ИИОСЕП !ЬПГИНИ!(Х (УМХ! ( И(Е И(' 111$)й)пиру(т (хо(пм(кп) ()5!Де!. кйк иа() ппд)и) 11й ирир!(0)е 1)ядй 1(ос:и доиатсльио("и Еа о !аппешь)х сумм им(.'ет Ви,( х(спо.
по спи иос(кдопйтельио(ть о! рйии ииа, ио ир(дела ю им( ст. ,.1ккка! (В1,'1 мОжнО и(к'д("'1 Ваять В Ы1 и' (а ! + и ) т ' а „,' -( ( а „.. ) + а „,. В и -- (5 и( (н)ОЙ ( КООк(' ( (. (1 ("!Опт (к* '!ГО юи)с, кйк 'Ей( 1 и и(ВЯ сух!х!е!())1. О Я(1, (' П)ЯЩИЙ ВО В ГОРОВ СКООК(Х Иа((ЫВЕК'1«Я и('111 (КОМ йа РЯДВ. ((Оия) ио. '1!О исхОдпый ()5!д ( хОди)ся 1(н дй и ЕО и ХО пн',"~а. ко- 1;!й (хо Еппи ()о ос!йток. (15! (хо (яш(!О(я ря (й пол) )им си()й- ВОД!!НЬЯЯ' ИПП )ИОООМ П ()йВ('ИОПК) ,()':=- О'а + йа. (7 г) ((1 (7.0)( и(м1)д)и ипо Вь! Г(гкй('г ( л(.(укии(() ( 1)ОЙ(-гйо ря,(оа. Теорема 7.0, Если р)!д «ходи и:я.
то (ип й.., .== 0. а .ф >кажи ге яту О орем у самос! оя и л ыю. Ла ие и !у шм ( (ц!.* (В(ио си()й(тсио (и(дои, ко ! орос вряд ли можио В (п!й! ь 'п(кк и й!Ипм .. Х()и)( рпе) (хоии! сходпмосп! ря,.(ОВ. ()ий !Вси дадим с:и дуклп('с о)!редеги !пи . Определение 7.2. ((ос)и дойап льиосй ь (6„( ий)ьп(ш-гся (Будда и "исаа.)ь пай, ( ели ',"с . 0 4.)5: у)уа.и( ГВ Х -.~ (6„— 6„А <. В. (7.00 Теорема 7.7 (критерий Ко!5)и сходимости последова- ТЕХ!ЬИОСТЕЙ).
( РО(СИ ДОВйтссиЮОСтЬ СХОДИгн Я тОЕЫВ И ТОЛЬКО тО- ЕГИЬ КОГ,(й Ш(й ЯВЛ)К'1«Я ф)'ИДЕ)М(В!'!й.п ИОЙ. Зах!е (ан(сь 017)си!и'1нися,к)кй)й)(л)с1йом ипх)хо!и(хк)с!и )сгн)- юы ().()0 Опк)жай бо.ке слож)кк дока ып лы п)о до(-ппо !ьах)и,)о ир 1 к)ж( иня к лйниоГ! 1.!Н1к. йока !а)а! и пипа. Пус(ь лйиа сеи)гв)шпяся после,.(ои(г!ельк!ик г( (6„(. Рйг)ьмем п()ои !ВО.1ыи)е В ) 0 и ИОдслим е) О ий 2. Ро! да ио оиред(. Нн! Нк) сходи мопп! :(Д': ~й ...
67 =-- (6(, — 6, а -:.. (7.7( 2 ((ус!ь и. )а ирои икхии!и! Иоки ра, бблыиш или раипьи*.)(. ((сь . Ыгйя и ~(7.7( 1 .=-- а и и, !К)лу !им 1.0. 1,0, (... (6„- 6(::. — и (6„, -- ()( < —. 2 ( 7 .((А Далее. „ <л (-.и ! ! л!.С ~ ! „,'. «7. 10) и --! 1 =л.<-1 Пл, ал,'. О ЧП.
Х: (7,11) а е (Ьл Ьл,/ = ((Ьл — Ь) — (!>л, — Ь)! Ь (Ьл — Ь!.+ )Ьт" !г! '-;,'+,, =' е .Зг!В(1 Вск вольво!поп!( ь <п(ойс Гвом мсш>сди и «7л>). Таки и Обра >ем, справедливо соо и!ошепие (7.6). С ул!етом опредеж ипя сходимос п> ряди можно пере(1>орх<ъли- РОВВ'и крит('(и1п КОши примеи1Г!е.1ьио к рядам. Теорема 7.8 «критерий Коши еходимоети рядов). Ряд сходится ! Огда и 'н)>и кО то>у<а, кОГда после>(ова'!ельиост! ("ГО части'шь(х сумм ив. ше)тя фупдамеиталы!ой. В своа> очередь теорему 7,!) можно перс <))ормулировап таь: рлд ~ ал и> а<и)п!псл Гппгдп и '>пег<а> о пгогд<1, кпкдо олин)ли ил —.1 СИСЯ !г(Ь)ОИПС > () л.~': '4п,ш ив и! «П< тл и) -' 1 ~) и!) к е, (7.<)) Справедливо< гь,шлиого утверж. (ения сгаиет ж пой.
сели В сккь ТИ"П, *Г(О >л )'.~л — ')>л( =- 'Ал — '>л) —.- (,~ П(.! и! критерия Коши ьак следствие полупа(тся сл(дук>щ<и" упк'ржд<'и ие. Теорема 7.(). Есгш сходи>тя ряд ~ )<с„(. го сходится и ряд л.=- ! и=-1 .! ии 'СОКП>С)П!Сг!ЬСС!1(<О, Д(П(СТВИТ("ЛЬИО. ИО<'КОЛЬКУ РЯД гг (П, ! СХО" ><-. 1 дится, то по критери(о К(или >и <1' > () Л У: 'усп,п) ". 7>' (п< > и) и-'-1 ') (пь(( и.
е. 11о пп>да, >и П Ь и> >П и,) ( '~ (с<ь! — ) ~' (с!(.(!;. е. Я- л(-1 (..л 1 1:--л ° 1 .'Зиа шт, для ряда ~ пл вь!по:пыип>и (7.<!). Л пила по тому ж<* л- ! криприго Ксшш отшо,<а сл(дуст с:ходимоеп >)ого ряда.. Отметим. Иго обрсе пая теорема. вообще п>веря, пе верпаи из !'хоаимОСГи ряг<а ~~> пл и<' сг!(дйеп> (х>>г(имое!'!* Рялп ~ ,'пл). и --.1 и:.1 Определение 7.3, Ряд пеев пик-гся а(й< сгг>кгпв<о сподлпрьи< л.
с('лп схО)1ит(я ря ( ИЗ мо„1уок"Й ОГО *'1.п'ИОВ. Е(лн (ам 1)я.! схОдпт(*я, и ряд из модулей его <лепов расхо.!итси, !и такой ряд па<>ывас'тся !)<о<попо с<лгпдя <цпии л, Уирал(ПИЕН((Е 7.2. Докажит<Ь ГГО ДЛЯ абСОЛГОП!О < ХО>!ЯИ1Е! <К>и ря,ш < праве,к!1!Во пс рш(епс п>о 7.2. Ряды е положительными членами О"квь важпый клит рятов <истаял>ио( ряды с' иоложит<льпыми (>к><>грица!\П1ьп!.!А<и! '1:1еиами. Иус гь:>адап такой ряд РассмотРим пс>слеДсиипел< и<к ть с<о шсги и!ых ГУММ «Ьл). г(сш. !го тоа посл(довательпосп мопотош!о во)раста< т (в широ!к>м с мысле): ,')1 С .<>': ... '-,<>„,: ... «)Гск>гса в <'илу '!Ооремы 1)е>!(Риг!Ра«и< о МОВОтопиых ВО<'л(дошп(>льн(к'Гях В!Гика<'! ВажпО(1 с.к',к'"1ви(и <пып по<ли>до!киги'опо()пь ии»пп'п«иг су(((! Рлдп (7.11) пядпп«с!<<1.
п>а оп<от рлд ~ би, и- 1 аи> И Е и =-1 аи -и бби<)и ь:<е 1ип <)и,и 1. и- '(>'и ='- а„б би, Возьмем а --.:;, Ти !). то!Да ЛХ: (и .- )(' —;. 1(„.— 1! 1 17,13) Ли >" .Ли ! ис ()и и. 3 — И»и Т а.и ":.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
