Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 37
Текст из файла (страница 37)
О ЙТО1 пРОГ)Ясени. Раэумеется, такой предел сущестиуег дйлг ко ие все!!да. На3 !РИКЕ<)Р, ДЛЯ ИОС.)!Р,'<ОП<<'3«Е)!3 13О()ТИ (6.24) В„= — и. и., (л(доийт(лыш, ) (6,213 гит(умм!*1 ис(х !»нпоп. Определение 6.5.."'<!3<оя«гтг)о г! ПЙ <ышиг«я «ишим<и< с<,ги х<Ожгн) )ттаноаи! ь ЙэаимиО-Оде!О'<паз!и (' ('<х)<пк* ) *.Е.СЕТ!31»' М<.Ж,<) <'ГО )лемеитахш и миожеетиом ийтур<гльпых чисел. Это <ып) и '; Й ает. гго можно тйк соио<тйвить )лехи)!нам А и,"пурйльиые "пила.
по каждому э:и мепту и:! А 6, ' )У,'г<'1 СОО"ГП<"Ееггкь вать ровио о„и „< о ийтурйльиос шсло и каждому натура;и,иому гислу бу,н'! Гоопн'т<"п)овать рошн) одии э:и)меит ш! А. Иначе. <'гетиьвги 61;тут г< мпожестйа. Йл<"менты которых можио перенумеровать. !)'. Йгои<'чиже миожепгва, которые ие яв;игк)тся с и тиьгхиг, гга:)ыиакл' Еи сч< огиь<ма миОЖ<.'с1иами. О'и'Пи!<по, 'Ето сймО миОж()('ТЙО ийт<'рйльпьгх чи<«е.'3 яа;Ея('т<гя с н)тиьем. (Ег! ..: ), ', „< госта( )ждому элемеигу такого миоже<"п<Й надо <опо<ташгп этот ж»: элемеит.) Гора:)до меие< о н ви;шо» *гто с и.
гиым явля<'г< я и миоже<"пго рациоиальшях чис<)л. т. е. !поел вида —, —., 3'д< иг, и и, цельк чи<ла и и =Ф 6. А и <кт множество *пи'ел. абра.<ун)щих огреэок (а, Ь', ие<'и тиос к!»гоже<.'гио. Вг.о элем< иты Й<'возможио переиум< рог!а) ь.
поскольку оио содержгп слишком миог о элементов, иа КО!О!П 3Е ХИ(' ХЮ»!и('Т) ИЕ!ГУРЕМИ ЕЕЬ1Х '<И<('."1. Вве, ем) 1 д), тин'рь <щ< о„гио айжи<»е и иеиро<"1-ое иои)ппе ииоя« с)пил Й<е!)<я ггя)гг». 1' ссм )т шм 5 1 Йссмотрим множество А и проиэволыгу)о сг!стех!! иитервагк)В (У:= (а.б)) (КОИ»'Чяуга И Ш 6ЕСКОИЕ Птуге). Определение 6.6. Си(ггехш иитервалон (У) образует ггокрь<- шис миожест ва А, сели каждый э:и'меит из А Егргшадлежит хотя бы одному интервалу иэ этой системы. Определение 6,7.
!<!!Еожестао А паэывается .5<иоо<с<г<гг)3(<ол( меры иу г ы е< ли для )!к)бого е > 6 сушест ву<гг ие более *и и с и тииаг <эи т<*ма иитерайлои (,)„) . Йокрьгвйкицая это м пожество, сум- МЙ /1 !ИИ КОТОРЫХ М»'НЬП1Е Е. Слива «ие боле< в м» оэиа !а!от» что стп ах<а (7»») либо коиечиа.
либо счетиа. Отм('тг<хг тйкж1ь чтО сймО м!н)ж(х"п5О х1еры иу)гь 1и', ОбязаГельио 61..<ет <'н)тиым, Суи!естиук)т и ие('игтиые ыг<ож(чти!! меры 11Опьп кй прелст)!!33<ть как аьи'ляг<51т е)«'". МПОж('стиа м(рьг и')сгь. зйи<дОМО Об!Те'и"ггй ий 1ц)о!гаг!. Н(х'кОльку<' )гатех<агг<ки оби»ц)<'жп,!и 'гакш' «хи'1'роухгпьге) )еиож(гс!'Иа эГОГО тиий, О сущ('- стаовйпии которых пикто даже и ие подозревал. 11аша гада ш более скромна: пужио у<таиовить несколько простых свойс'и! Таких миожеств, которые иогшдобятся в дальпейин)м, Тео1эема 6.7. В< як(н' подмиож( с гяо м<шжесп)а меры Пуль само )и)ляется мгн)ж<)етйом меры нуль.
Это. оч<'видио. <ле,густ и) о<гре;и'леиия 6.7 и того факта, что .побо<) иокрьггие миож»стай А иит(граалями яйля<'!<я од!Еояремшшо и покрытием лн)бого подмножества из А. Теорема 6.8. Объединение двух миож<сп) хнры нуль являт< я также множеством меры нуль. Л[ок»31<!Еп»огг»<гггво.
Д<»йс<вительио, иу<ггь А и В множества, меры Пуль. Во:гьмем произ!к)льиое е > 0 и !юде)шм его пополам. В силу оиределеиия 6.7 для -- > !) сушеспгу» т и< более и и счет1<ая ( и< гт()ий ии и !шй ЙЯ3 ( У»» ), покрыяьпОщйя А и гйкйя и <1 где ',.7„( длииа иитервйла,!,». Ливио! Ичио, д:ш В сушествует система нигервалои (.)„г, гня крываняцая В и такая, что е 209 ,Зйл!(>1 им '1'е'и( рьл!т» с'истс>~й интс"рйй.>ов дг 71'Ьде.,«>, ... „7».,7,',..., ((.26)) >и; 6о и е и и с и тна, покрывает объсдинеш(с А О В. а сумма длин с истемы (6.26) 1;.(ов, и*творяс т неравенству: (,Уи(+ ~ (.У,',1<; Ь вЂ” = с. » Таким обргк>ол!., д, иг А 0 И вьшолнсньг ги с* условия оирсделения 6.7, г. с. Иго миожес"гво сс-и множс>ство мерь> нуль.
° ! !Ос" и доайтсе!Ьио н1И!Мс няя .ЕГО!лему 6.1> ней кс>ен,ко р гь иолу- '1ИМ. *11 О ОО ЬС!ДИ>ИНИЕ' Кс)>Ш'И(ОГО '>И(В!й Л>НОЖЕС( В М1РЫ НУЛЬ (СП множество мс>ры нуль. О и)ви,шо. множс ство, с оспиицсч> и> одной точки хг, яв.ни)тся множеством меры Нуль, ги».кольку сто можно покрыть одним Н1пч>1Н!Илом скОл! )ГОдио ма;>ОЙ д)!ииы, (1 ('и)!у 1)ыи1еизлОжеш>О- го „!Кхюс! Иош »нос множ((тво го и к (х!. хх, ....,>.») с( и мне)к(- стай> меры нуль.
эймс"!Им бс'1;и>кйойгсльства, по теорема 6.»' Обобщается иа еду*!ай с'и тного объедиисчнш миоже( тв А,. Отск>да следует. Например, что множество вссх ршсиональ- НЫХ *Н1С(>Л (."СТЬ МНОЛИ)СТВО МЕ РЫ НУЛЬ, Огиетим тйкжс-, что В ли>гс)м(!гикс ирииято с"оглашение, ОО которому иусгос миожсство.
т.(. множество, ис содсржшцее ни одного 5лел!(>Г(11, с !итйется множеством мери нуль. Если А л>Ноя(се! во меры пуль, то Оуд( м йшисывап что так: и(А) -=- О. 1)ИКОН( ц, можно сформулировать критернй интсьгрируемос:ти функций. Теорема 6.9 (критерий 21ебега).;.1ля того ! Гобы функция «(х) былйи>пегрируе мй ийотр(.)к(> (((,Ь), Необходимо и до(тйточ!ю.
Г!Обы онй (>ь!лй сп'1иши'и'ий нй )>!Ол! От!К)зке н миож(',с"п5О е(' гочек ралрыва иа га, Ь) имело меру нуль. Дока(5>ггег!ьс>1>О ге!Ой т()орсмьг чр()чвь! 1ййнО с)и)жно и Оде(;ь л1ь! ( ГО Еш ирн1и)лим. но Гс О1И му 6 й мОжнО )л н(и1н!О и( йоль 5ОВйп )Ы!я ус!ано1ми'ния !Г жнь1х 1шм 1к'и >ьн>тсш. Теорема 6. 16Ь Е(: и фуик и!Н> ги пр«рьший >ш отр( вке, то она иитстрнрусма !ш нс м.
Док(1>олаеглгс>гггс(е>. Дейсггг(итсльио, ин иенрерьнии>сти функции па отри)ке Вытекает ес ограни и ииость нй пел!. а множество >1ока(51>тельство данной гсо!и'мы ста!Нт О*и'видиым, если вспомнить. 'по всякос кон("пих' множес-п)О или(т .;с!)> Нуль. Теорема 6.12. Если «(.г) и д(х) инптрнрус мы гш Игр':ь 1и. Ь(. ТО их иро>Г)!5(>дени(1 «(х)д(.г ) антс ! рир) е".Мо и» >и:м. Дол>си)с>п!(О>г>сг>ггво, 8 самс>м;и.и, по критс рик> 2!ебс гй ич ипттгрирусмосги «(х) и д(.г) вы!екает их ограничсииснть ий (о, Ь> н то, по множество точек рй:)рьн>» каждой и> них имс"ет лиру и)',чь: !«'(х)1 с С,'!. ((г(.()! "= (1 >г',г с= (о.
Ь',; р(А) =- О р(Л) =0 16.26) !т!е* >шд А и е) иог!рй()улс(1>а(тся ли!ох((стас> !ои к 1и>лрьн(й соспьч тственно функщсй «(х ) и д(.г). Отшодй следует, что («(г)д(г)', -.- (.'1(' . ге. Огршш и пность «(х)(1(х) на (с)А>). Д(м!(>с, скс>и «(.Г) и д(.г) н('нрс'ргали>ны В '1(Р1к1' х, тО нх нрОи:1- ведение тйкжс нснрсрьн>но в хпий точк(, 1!ойтому каясдйя то но) рй)рывй гй)ОИ'>й(лений «(х)д(х) !6>инйдлссжит, но крййн()й м(,*р(ч одному иа лшожсств А и В. Зна нп, (6.27) ! )ц> О миОж( (. ГВО ГО и к рй:1рг п>й «(:г>д1х1. И 5 теоремы 6.6 и соо пиипений (6.26).
(6 27) вьпткьч т. 'по р(с') == 11. Т!ким о6р!юом. выно:ии пы вст условия критерия !Сй>( ! а, огкуча и с)!еду(ГЕ угаерж;и'ние п>еремы. И:! дшшой чс орем ы выт( к и г о"и'видш !л! с>бравом. ч го ирои.>- »(денис любого консгчиоео числа ин!(*! рирус ли*!х иа (а,.Ь! ф) ик- 1>ий само интстрируемо нй ',а.
Ь). Теорема 6.13. Если «(.() И1гге! Рир)(м» и» ,'г>,(>>Е го сс мо„!уль !) (Х)! также иит( гриру( м иа (а. Ь), при и м справедливо >и*равен( "1 ИО 211 се го н>к р(юрыва пусто. т. (ь имс с з ли ру нуль. 1) Г(ю)ш ио крит(*- рию,.')с>(>(нт) и (л(дуст *е и!Гп>гриру( « - ь Теорема 1),11. Если функция ш рйиичеий на отр(">кс и имест ий !и м монеч>*ос шсло го и к ра:(рыва, то она ннт( грирусмй и» ЧТОМ ОТР(1>КС, Ь Ь | У(. ) <.~ < )',Л:,Ь<г. (6.28) о а Д<элхл)ага<(аьстэ)о<э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
