Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Э)а т< ерема <о<т('р)н< п)(о аналоги'н)а 1 ореае Ферма (тя функции одной пер< менйой. у(о<п))оп((о<1»сто<!о. Пъ<*'!'! д,'!я Опре?$(о<енпости функция иькя'т В точк<' Лто локальпьш максймум. То<;<а ~ (г(л?о): )Ул1 б 1$(л?о) —.= 7(.п) < 7(лб)). 1 Немо< рим функцию о (нон пе1н лип<ной <у(1) -- Э(г.
уо). Обозйачпм и'ре! ($(хо) проекцй!о окрестности 1$(Л4)) на о<)ь Ох. Т(нда ът<г е: $,<(.) о) Вын<впю<т(')$ и('РВВен("пю <У(1') ~- <У(го). сл<ДОВЯ" тельно, У <У() ) В точке хо имеет<Я локальный максимУМ. КРоче тоГО. В ('йт!ь' »(йффер<тнц<<ръ'смести х =',$ Ог. у) В точк1' (,Го. уо) ()ун(<стВьеГ . (Х(», Уо) = О (хо), Я:н)ачит, <У(х) Дифф<'Р(.'нш<РЪ<)ма в '!очк<,го. Тогда по т<оре)н! Ферма»(д(хо! =. О, т. е.
=.,'.(ход?о) .=- О. Лня югйчно, вводя функцию ))(1)) =- 7(хо у]. полъчйм, что =-д(.!'Н.уо) =- ОИ Отметим, что, как и в случае одной йеремешн)й, дашю( йе(Я)- ходймое условие не явлькчтя достаточным: обращение в нуль И 1 'ГО'И'К 1) $»Х! О.---'- ! мум 2) ЛХ> 2, —.— — 6 О! Ь =- д:= -36 < О. О 6,'= 5.2. Приз>ожениев и('риых >ц)О1Г!Водных $1 $и'котО(ки» тО'1ке; еи«(1 ие ! Врйнт>ц)»ч;т нй- ли >ия В ч)О!1 тО )к( лОкз)н $>ОГО зк(трем»мй.
Если функция —.— Х(,$» у) непр( рывнй в ие>которой области В о имеет В зт(зй облвети !Ичцн рыввые первьи и >зторые чагтные 1>ро>>зве)з«1(ь(с, -Го о»д( м Говорить. что 0$(й !>рви(ог)лее>$()!(>1! к>(оееу ° це-дна> е облоо)ви Х! (Х(.г. У) 6 С' (Х2)) ('форх!у)(ируе х( т(чн рь до(ггйи)чигя условие локйльного чк(-- г1Х мумй;>г>я функции двух нср(ън:пш*>х. Теорема 5,11. П»сть функция —.=. Х'(г., у) определ( нй в окре(>гиости П(ЛХ») и ири)гадлеж>п кл;и:еу ( о(1)(ЛХ())).
Пусть. к!к)х(е' "$ О> О. Вьц>олня к)т(я сл(ь«у>оши(> у( ЛОВНЯ: 1) вс(* $1( 1) вьи) >й("ин и. )ц>ои з>к>дны(> рйвш $ ну>Но в то (ке $»Х», 2) второй дифф(реи~Ийл донной функции шшкоощ>еде.и и в и>*!ке. ЛХ». '!Огдй фу>$$(>н>я Х(.е, У) их(е(>$' о то'(ке ЛХВ локвльвый )кст!х'мум. ири им,(тли (Х".:- О, то.))олоклльный минимум. ас(тш(Х о < О. Х., то вто локйль~ый»вкеимум, Если жс д г '!$11>ко>(ео)$1ку«(о>с>$, то в тешк(' ЛХ» чк("$(и мума нет.
,:(окйеи)ге.!$(-1$)о )той г(о(кмь! В((ьмй Еи>ЦЯИ"!о и Г(коу(т 1ЦК ДВйРИ и ЛЫИ)ГО ДОКй ИПХОН ( ТВВ РЯДВ ВСНОМО1 йо ( ЛЬНЫХ Т( О- рем, Ноги»му олесь мы ето н( приводим. '1сорсмй 5.11 ( о и видш>ми ичмепсниями в формулировке с>ц>йвсдлнво и д:ш функций и >временных. (!Гх(егги>$ >чце.
*>то, е(ли (ХЗВ >в О (до - '-' 0), то чтот при знак нс .«Вот (и.ж*то нй вонро( о:школьном якстреь(уме. Б сл»'ие двух нером( ниых с уч(том тйк штзьп!Вем(ио крите(шя С ильВ('("Грй '(нико(ыцк'д(чк'ИНОсти кВадрйтн*ц$ь$х (1)орх(, ко)з)рыи '«Окй зыв>и'>ся и )ив)В(рну! ых курвах Вьишей в»1(Оры (НО >и* в Дйнцой кпигс). ге ор( му 5.11 >ж)жпо пер( формулировйп в бОл(>е нй>'ляд>иж1 Вид(ь ХХ(зе»)ь З" Е.- ('з(!Х(ЛХЕ>)) и оьиголилк>>оса Усьижик 1) = (-!'» Уо) "— ' ',!, $'о Уо) = О' ,!'-,"..
(зо >Х()) -:~'„(Го Уо) ~,,! 7огдо лри (5 ь О (ХГУ(!(к(($)л ии(ее>>в о )во (кс ЛХО локальный оке'!Нр '-мухи щ ' е' гнв ' .Нузи црн '. (Ло, Уо) С О и . $$> и!ри щ>и --,з("о, Уо):х О. Х)ем>$,)кт (5 ' О, !оо у Х(,г. у) о >воч>и ЛХВ локаль>нх>о оъс>врс- х(!Ерио. >(е>1!. П1» 5 =- Ощ ' Оти; 1 дае>В ХХримеХ) 5.2. Исследовать нй Вк(ггремум фупкци>о " =-- Зт — .г>$ —," Зу -$- !у). ! !Вйдем зйеи>ьн' проичводпые дшшой функции. Прирйвняв нулк):,. и: . Ийхоьр(м ноз«очр>п(льныс> то (ки О, — — и ЛХВ) 2, — — .
("Ос">т)мим о>$(хо«(лит(.н ех в кйждой )6 О!) ,5 - $,! =,!6 х О; 6 > О, — )О 6!— знйшт. в точк( ЛХ>0.— -- функция и)иет локальный л(иии- :1,) с>и дОВйт(льне>, В '>очк(' ЛХО 2, ---- »* (!)»$(к>«и!$1ит зкс>ре'х!»ъ!о. 3/ ' П;«йниом 1ц)и>1Ож('.$>ии н(к')кд(' Вс(',ГО мы дОкйж('м до('тйтО" (н(я' у(лови( диффе(н'>щируе>мо(ти дл>! функции двух и ремеишь)х.
Итак, ну(«и функция .= — - Х(.г, у) онрсде>л( нй В ок(кстности П(ЛХО) точки ЛХ», име*ет в ьчой окрс("ин>сти об( чьи тньн производньи:"„'. и „. к(норьн" кйк фун>о«ии лвух нсрсм(>и>ых !и'.щк- $)ывш! и тО'1к(', ЛХ».,.(окйж('х( ° 'ГГО В чтОМ с)1>''ии' ф» нк)«ия *«ифф(!0(>н>нц)у()мй В дйннОЙ то'же» „((ля втого ошини'и щ)ирйшеии( (»о в с)н цийлык>м виде, а ИМЕННО. е»о = -((го + лх Уо+ лу) о(то, Уо) '— ~.
(Хо з- еллх Уе> ) (5У) — о(хо. ф) + л>У)~ -$- ! ( В(з)о У» + ~У) - о',.Го У)о)Х 100 1($$ Вьц)ажеиие в первой скобке в правой ч цти выражеиия можио рас(ма'гривать как приращение функции одной п(ременной,г, которая заде)Г(я фо1)мулои г(л,/г(3+ з//). Апалогичио. выраж»- шзе во второй ( кобке рассматриваем как ирираци)ние функции От 3/, рав!$ОЙ (»в(). Р). Д/3я з)г|зх функций вьп|олняк)тся В(».' условия теоремы 213)гр!33$ж(! (оответствепио на отрезках (ло ..го + (з:»:) И <1/О.,уп +»З3/<, ПОЗтОМу Пайдутея дпа |И(.Ла С; а (;Г(Ь Лп гт .'З»3 ) и с> С (ро, 1/о+ .'Ь1/). Гйкш)> 'но Вырйж(3|ив в скобках б»/!1-Г равпь| соо33$ет(|тве!!!!о -'(с!.Йо +»з//) и "(/ео,(">). Если устрем|Г31 приращения аргум(ч|тов».г и:Лр 31ъзпо.
т(ь очеш|дио. »3 будет стремиться к .Го, й»„> к ро. В силу пепрерьгвпости частиь|х производных в точке ЛХ(3(л($, ро) бъдут справедливы равенства „(»'!» Й($ +. (з 3/) =' "„. (Ко, д(3) + а (:,зх, »з!/):, (;> ')(г) е (т»3, » >) = -, (хп, ро) ь р(Л.)л Л//), Н ик пим формулир(>вку вопрога: » Сколько ий от су(ц(сп>у(>г $3»п/)»т>ы(33(ь(г >кявиых фуикций, задаю игп|к и (5.30)2» Я(ио, что таких фуикций голько д г». которые .шдаютс>3 урйшк"пиякш 35.31). '1тобы > ис 1Гз них, пъжпО 333ять кйкъкь:н!ОО тО'1ку ло .', -1, како():!нак)|и( н(яв)|ая фъикцн>1 3|р|$3|имй('Г в ЗГОЙ ТО !к(, '1ак, 1 ("ели по! р(чхиз>)ть. Гп>бь! При $)о:=- — фъ пкцпя принпмйлй 'п|йч(- ') Ъ'3 пие д(3 =- —.—, то |шйдстся ровно о,шп такая фупкция, и им( нпо.
1 р = ът1 — Г-'. Е(ли жг ПОтр(мюва $1 . ГГООЫ пр|3 .3.(, =- -- з|ш и 33и( ъ'3 Ро Раш|ило()ь ---;,—. то пайДетсЯ также о/|иа и( ЯвнаЯ фУшо|ии д == — Ъ/1:-;!.'. где !)П1 п(ь)л., Ь1/) =- Йш 31»з.г.!5!/) == О. л>- о .'ъ.>- о ак о ад-.о По тогда в силу (5.2г) и (5.29) прирашепи( Ле примет впд »зе = хлли, М»5Г +:„(! о, //$3)»зй + а(/з)з»х$/)»зл + р( з)л»з(/)»х3/. А зто и ес'! 3* опреде:к)ние диффереициругмости. Теперь коснемся |зопроса о так называемой пеленой ф|г)»кц|$3$. Впачал( рассмотрим уравнение и" й //я — 1 == О.
(5.30) Как известио, зто уравиеии(' задает па плоскости окруж33ост3* радиъта 1 ( центром в иа пмк коордпиат. Алгебраически опо равн(к:3$льпО сОВОкупиОсти дВЪ>х урзВ1$($333$Й р = —. Ъ/1 --:3:» и р =- — Ъ/1 — «Г". Пс>)| неявной функцией. задаваемой уравпеиием (5.30), бъдем понимать любую фуцкцию р = )((г), при подстановке которой В да$(ПО») урви!3('.Пи($ пОль'частся тожд()ство, Отвегим юппер|* па следукиций вопрос: «Сколько ва отрезк(' 1 — 1. 1) суп|с('твъ»ет иеяВпых фъ'нкций, задаВй('.мых ъ'рй|зи(|нием (5,30)2 > Таких функций бескопечио мпого, поскольку в каж- доЙ го 3к($ можио:зада|и 1т|кь/|о ф1пкци|о ио я|О/к)й из формул (5.31).
Зал(ечаи(|е. 1/$(т>, имею(с>! пгклю и шш.,1('Г((твпт((лык>, (с.пз в кй к(|гве .Гп взяп Олпу и! коп>й вых то»их отр»'зю! „- 1. 1). шшримгр хп:= 1, го соогвгт("твук>щгг зйа и п(к уп — — О прпвимй>от пй> н> вь>- 3(П'Ъ)й>М>331)"|ЫХ >КЯВИ> !Х фЪПКЦИЙ. '1>О» Ч(О Дйи((О(' Ъ»'.1оизк' 33(' $|ОЗВОЛЯ" ('т пыле.по ь о/шош!а шо одну из пих. С (глу('! Обратить впимшик. '|то пмгнпо в чтой гочке $1.
О) час пи(и прои зйо,!иая |ю я . >г(юй пити урйвиеш(я 15>.30), равипя 2р. Обрпщйгтгя к пуль. Ур>3)зиеи|$«(5.30) явило( ь .|ипп прост(йик"й моделью обии и ( итуации. Пу( ть:задаио урйв|к пи(' (5.32) Е(зз й) =- О. ! и Е(3 р) |к ко!оръ| ф)нк!П|и !въъ п(р(мгиш|х При к(ких ъ(о!О|$иях ОнО .!ада(.Г |и явную фъ нк1ц!К>'. Кйк и ! м||Ож( СГий |зссх . '> неявных функций выдешыь(»диу копкргтную.' Вд(*(3 ужг ис/!ьзя на/И'яться па го, что удар»( я Вь|разить яш|о р |срез.г и отв('ти гь пй ьч и ВОПЙОсы. СЙ3й'1Н)ъ 31>жио Найти Они'|ы ий иос Г133$»к$$331!3е 3!О!31)О('ь3 к(>ГВ('ниыы п)т(*м.
( формълируем б('з доказаг(льства ()диу и 3 порем, „шкпиук) сапы т на зти воиро( ы. Теорема 5.12 (о неявной функции). Пуггь зада(к) уравш— п1к" (5.32), |де функция Е(х, $/) ъ»док к'! 33оряе1 ( ледующим ъс. 1О- !зиям 1) й(т, р) и( прерывиа и прямоуголь33ик( гг() -. 5! с:$ ло + 53 гг»=- (, .//) до — 5 ..:. р - ро т 5. Глава б 1'(х) == 1('!.).
О И*ВИДЕЮ, 2) в О су!Нествук)т непрерывные чш тные производные Г,,'., 6'„', 3) 1' (хо, уе) = О; 4) Г„(хо,уо) Ф О. То!да сузцествует Ь > О, такое, что на отре:зю) [хо — Ь, хо + + Ь! уравнение (5.32) определяет однозначную нсявнузо функцию у =-. Дх), которая в точке хе принимает значение у), име!)т ненрерьнзную производную иа ',хв —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
