Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Зто Оп Опуб;!иновал доказапнун) Верн)лли Зс)<)1юму под своим именем. Теорема 4.19. Пусть «(х) и д(х) дифферснцируемы в некоЗпзрой проколотой Окрсстногти 11(х<)) то Зки х<), при Зем д() ) и д'(х) в этой окреспкксги пе обршцаютс я н нуль. Пусть да:и е «'(:) 1ип «(х) =- !пп д(х) =- 0 и существует 1пп .—,— = и. «- «н ««а «-.«о су'(х) 1о)да «(х) )пп — — .= а,. «- га д(;г) Даказазсзсгззссззз<за. В самом;юле, доопределнм функции «(х) и д(х) в точке .гв но непрерьнзности, полагая «(аги) == д(хи) = О. Возьмем фиксиронашзое .г Е 1;(хв). )<зл<етил!., что на Отрезке !',<сз,.с)[ «(х) н д(х) удовлетворякп всем условиям теоремы 14о<зн!.
Погда в силу этой теоремы зз < й (:га. х): «( ) «('зв) «( ) д(.г) — д(ха) д'(с) «(х) «'(с) д(х) д'(с:) У(>грех(им х к хо. '1«Иу(а с ! еже будет «Т1И>м)о 1,(я к х«), а ппач)гг, ,)'(с) — будет с!рек(и !ъся к а. Отсюда в силу ( !.70) (шлучим утверд'(( ) ждение теО1Н" мы. Данная теорема обобщается. во-вери*!х, на глу !ай, когда х — ' Оо, и Во-ВТОрых на «лу'!Вй. к(ну!а Глава 5 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !!ш )'(х) ==- 1!Иъ д(>г) == ас >: — х» ( — к»' : (Ок>1;!>ъ'!'С)!$ ство зтнх ВариантОВ да!! ИОГО правила бОл('.(' (*.ЛОж1кх' и лдесь его !н проводим. Проиллюстрируех! теорему 4.19 на двух примерах: ЬШ .Г, СОВ Х !ш! — =- 1нп — — ==- 1; к ° -е 2; г — 0 1 1 1!ш — .=: !ш) -- =- О.
.( (',И> Ск к- ! ъ' Е' 5.1. Дифференциальное исчисление В основном мы б)у>(см иметь дело с функциями двух переменных. если ())уикц>!я д = — )'(х) ГОиосгав)[яда каждому '1ис)!у х из области определения друи>е число д>, то функция двух переменных = =- Г(«Г,1($) со!Кит!Виля(>х и(!1>( Иги(ы (>г,!у) '!рет)( !И(е!о х. Функшио од!И)й пе!я."~н>иной *нюте удобно было рассма!ривать как функцию то(ки на числовой прямой.
Точ)!о так Ж4), функция> двух !!В!и м(!шых ес!(х тв('ш!о ('!и 1-ъть «)>ункци(й точки иа плоск(к"ти я =- Г(Л1), где Л1 имеет к«юрдинаты (х, д), Геометрическим изображеиием функции одной ие1геме($$!Ои являлся график. 1очно так же, улля фгм1кции двух нерпы«цпь!х можно Говорить О «>Графикс», НОиимая НОд ним ИОвсрхность с урав)!сияем . =- ~(х, д) (рис. 5.1). 3(ь>иечаиие. рели н случае фуикций одной переменной график (ъчъжил важным ин(трын('нтОм иссл>."довання ИОВ(р(«я(ня фъ'нкции.
'!О др>я фъ нкцин лвъ х и«!Км(>иных График им(«.Г лишь !ъ>«>р«п! (еск(и»начснис, >к)скольку лаже ддя очень ир(х тых фуикций июбра>ить с(ю>'- негстнукяцую новсрх>нхчь ые итко. Функция и неременшях и =- 1(>г), ...,х,„) сопо«тавляет набору ия 21, чис('.л (х>, ..., хн) 'и(слО и. Здс(*.ь 'Гакжь можно ГОВОРитич что такаи фУнкции Являя>тса фУнкцией точки, но Уже в ц-м($1н!Ом простра(!г'!'Ве, !И)иимая !>Од то*!кои ЛХ иабОр ия >> чисел Ь1 .-=- (х>, ...,х„,). Определение 5.1. Оирьс»!>(О(>1>!$>ш точки Л1()(>1>«), де) налыва('тся множа«"'!'Во 1,'(ЛХ(>) .=- ((х, д); ь>г(.!> — хе) + (д — (уа) < Ь. гд(' Ь «я 0). (5).1) '1ИК$1м Образом.
11(Л(о) аго Огкрьи«ь!й круг (т.е, круг беч грани шой окружности) радиуса Ь с центром в точке ЛХО. Определение 5.2. 11рокалолкп', окр(т(а>(остья> точки Л1(>(>с(>, де) назыши>тся (жрестпопгь !1( Л1о) ( исклк>чениым ц('нт!Ию!. Иначе, что миожесси(з о) Р ' (<,й) г Рис. 5.1 1)(ЛХО) = ((х.у): 0 < < (, (.1 — .гп)- + (у — уп)О < 5, где 5 > 0).
Для фупкпии и перемеипых (<к)ти(зп!(- иия (5,1) и (5.2) иринин<ах).г, соотост- ("!'ВСНИО, ВИД 3ал(ечамие. Здесь вновь имеется полная ааал(згия < одиомерньв< еду*заем. Поэтому окаэына<отся ()прае(з>о<па(.<хп<, нап!)име!), теОЙ(змы Об арифм(чи неких действ!<их с йепрерыапыми фуйкпиями. '(лз< функп<<й даух и 6ОЛ(зс не()ох<они(<х асп1)г1)ыепость м(зжнО ПО- нймагь й а йоги<)лько йном схп,кл(" как и<)и!)с<зынн(хп(, по ках(дОЙ переменной при фик< 1<(хзааии<*<х (зствльиых.
Но такое понятие нспргрывп<зстй не уаи песпльио озйхделеии<О 5.4. Опредсл<а(ис 54 палагаеч па функьап<з более сильные <зг1)аяичеиия. Дпкажек< „'Ц)а ЛОКНЛЬН1>1Х СН(ЗЙСТВа ИЕИРЕ1)1>1!ЭП<з<Х ф'З'НК1П!Й. Г(ЛХ(з) = ((х<з ..., ап): фзгз — хоз)4 + .
+ (х„—,г,"з')й < Ь; 5 > О) П(М)) =,((х,, ...,х„): О < < уХ(х< — х",)'+ . + (х„- <со<)й < 5; Ь >О). Определение 5.3. "1ис>и> а иазьта<т<чзя пред(злом «(ЛХ) лри М вЂ” ЛХО (пигиут 1пп «(ЛХ) = и), если з»е > О 31)(ЛХО): ЧЛХ 5 13(ЛХО) зя («(ЛХ) — а) < е. (5.3) Это об<пес определеиие для функций лк)бого числа иерем( иных. Примеияклся такзке об<ззиачсиия 1пп Х(хду) = о и 1пп «(х<, ..х лг„):=- а. х- ха ' х =<) О -'1><з — "1< х„--з;, ,<з которьи' ииекг( тот жс сыь<сл.
что и (5).3). 3(зл»ечаиие. Определение 5.3 практически дословно поз»топке< О<и)( >1( зк пйс и!задела зри< функции ОдпОЙ пс$хмеппой, Пой <ему <нхз г(<зргмы о гйзеделах (такис, как, п<п<!)их<с(з. !сор(мы о дсйстн<о<х < пределами. теорема о сох раиении <и<о<а и т, д.) остин)чей справедлинымй и и агом с.<з*'<1<с.
Определение 5.4. Фупкция «(ЛХ) называется пепХ>еХ)!)«эз<(>1< и паечке М<„((ли !Нп «(ЛХ) =- «(Мо), 41 — ".11< т.е. (ели Че > О ч211(ЛХО): (ХЛХ 1)(ЛХО) '= («(ЛХ) — «(ЛХО)( < е. (5.4) Теорема 5,1. Если функция «(ЛХ) Непрерывна в гочке ЛХО, то оиа локально ограничейа в чтой точке. Док(ьз<г)1<г <дзсгаео. Дейсгаи гслз по, фикси1)Уех< пуойзйольиос е > О. Тогда о силу (5.4) 3 Г(Мо): ЧЛХ Й 1)(Мо) =ь («'(М) — «(ЛХО)~ < е. Ио по сн()йигтву модуля ~«(ЛХ)': — («(ЛХО)( =: («( М) — «(Мо)( < Следовательно, ЧЛХ е П(ЛХо) !«(ЛХ)/ < («(ЛХ(1)/+ е = С, Это и о<пачае< локальиун> ограпичейиость «(ЛХ) в точке Л(<з.
° Теорема 5.2. Если фупкция «(ЛХ) нопрсрьиэпа н точке ЛХо и «(ЛХО) > О (< О), то 'л1,:(ЛХО): БАЛХ б 1«(ЛХО) ь «(ЛХ) > 0 (< 0). Докиа<згиелчт(оо. Пусть для опрсделепности «(ЛХО) > О. По- ХХ(Мо) ложим е = -' — — ', ТО<у!и в силу (5.4) 2 :-)11(Л)о): ХЛХ Й 1)(ЛХО) =~ ~«(М) — «(ЛХ.) ~ < —,—. . «('<ХО) откуда «1МО) — — — - < «(М) < «(ЛХО) + —, «'(Л(<з) «(ЛХО) 2 Таким образом, в лзобой точке ЛХ окрестцоети П<(ЛХО) !)ьпиз>и<й- етса нсравепство ' ««(лх). «(Ма) !1ерейдем теп(рь к диффереициьып ному исчислению функций нескольких перемеиных.
Рис(.м(прим вначале функцию двух >и ремеииых х .=- )(.г, у), опреде.и!иную в (жр(е>$(о(гги точки Ми($>о, ро). Введем (л(дующие величины; (х($: ==.г — хо, »чд:.—. р —. уо, (~е =- У(хчр) —,П о до) =-. й -1- (~х:до+ А~) - У(( до). Л'х =»,)'(хо+ Л Г, до) — )'(х(>. ро). Лкх =- !(х(> д(>+ Лд) — )(>„.до). Определение 5.5. $)й(т>>на»((($! $$!>Оа!.5((О($$(ых($! функции .- =- =- 5 (х, д) НО х и 'д В ГО'1к(' .Чо(хо.
до) ий:)ь>вйк)тсЯ с»(едук)$(цае $0)(ь Д('Л Ы; л„= ',(:хо,до) --- 1$)п Дх .О (Х.Г п,',(хо. Ро) =- 1>п) — д-. (5.5) .~$>- о Л д ВЕЛИЧИНа ЬЛХ ЯВЛЯЕТ(ги иуиуа(ЦЕНИ»ЦМ ФУНКЦИИ !(Х, У), и ВЕЛИ (И- пы (л„.х и а'ч>х -по чш пшы( $)р>$1х>$$1($(а(л !(Хз $$) (оответ(твшшо по х и по д. 1>ш ххх .=- О й» -*о й>>- и Во ьощ(й и и Видио, гго из (5>.6) Г)и ду(т (5.7), Отм(тим> что диффереицируемо("ть в то (ке 6олее сильпое условие, чем непрерывность; ('ели ()>ъ пкция иепрерывий в точке, то от(йода не следует ее диффер(чщируемо(ть в згой $(щке, по видьк) пй пример( функции »!$1$(ььйя ())ункь(ия, кйк леГкО НОкье)Вишь.
и( $$р(!и $$>нй В )О $ке (0,0), ио ие является дифф('реицируемой в ией. Теорема 5.4. Е(лп фуикция " — !" (.$5 д) диффе!Я)пцпру(>мй в то (к( ЛХО(!!о, (>о), то у и( е В отой !о ьке сущ(ству>от оо('. (йс $ пьи) прои;ик)дпьи) !Г(($>(>,ро) —.-- А и .:,',(хо,до) =.- В. гд( Л и В $(ос(О- янпь*и) и:5 ( ).6). Дока.>а>>$((а(а>('п(ОО.
Докажем, ишцжчер. $ го х.,(,го, до) =- Л. Из (5.6) следует. что Тйким обрьзом, чй(тпйя произв(щпйя это производййя по соо($5(г>(т)>у!еще($ п(р(мепиой при фпксировйпиых зий и"лиях остальных переменпых. Оз'м()тим, чтО;(л)$ зйпиен '(й('"$'пых ьцк)и;июдных $$(;$(О)!ь'>у)о('- д= д: ся тйкж(> О6О:$)пей'пия - —.— и --:-.. кОГорые В Отлн'ьи(' От с)ьу'$$!я д,: ()!д одиой пе(к;менпой н(>ль;ш >юиимвть кйк дро6>и. Оь)редезьеыие 6.6, функция = =: !'(х, у) (и>5!И>ьц>т(я да(дх(>с- 1>с>и($(РР(ьип(! В '$ очке»>а!$>( ао, до), (('„'Н1 В $$(ко((~)ой Окуе(т но("! и втой точки выполню т(я (ья).! $>О($(е($)ье Л>х .—.= ЛЛ,г -1 ВДд 1- (((Ь.(;, Лу)Л(г -( Я,йхз»чр)Ьу, (5 6) (де 1пп п((л.>з(ху):»» 1пп р((хх.ахд) =- 0; А и В постощшьи а»* -.о ' гьа -о ад -о Теорема 6>.3, Если функция лиффер( пцируемй в то (к(ч то Опй неп1>ерывнй В чтой точке.
Деы!.>й>и( йьгщео, (У)йк)нам(нйчьм(й, !.(О, кйк и в(о(учьц!о;шой перс меииой, уел(щпе (и>ир( рьп)Ности фупкции х == 1(г, д) в точк( й!О(хо, до) хи>жпО $*>йпи(>йть 'и'ре:5 щ)$(р>($$(('$$$(я В (и!д(' ! !оэтом( Л(х х !ш) — ' =- 1ин (А + (х(Л.Г.О)) =. Л. Д» -.$$ (.):Г О»Г--О Лпйлогичпо докйзьпщется, по ",',(.го, ро) =. !!. Зйме (Омпе. ЗГВ т(оьм'мй ()ий:)ОГи'($(й ('(м)т>>е('('Гй)'((л!((>Г( т('Оь)('(и> для функций О)(йой иеремешк>й, о,(ййко В слу ии нескольких йеьх и( иных обрйпкя упя рждепие ие имеет месю: и > пали шя *иктйых ироизводиых в точк( )и о!оддс!>$ дифферепцпруемость фуикцпи В,(йшюй точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
