Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 28
Текст из файла (страница 28)
х> — .В) (4.27) НО ВО у(э)Овию ВО Вс('х '!'Очках !$1»оз)()жути)1 <а, 6>, В 'том '1исле и В точке (, 7"'(х) ==- О. И;з (4.27) иаходим, что 1(.г)) = — 1(хэ). В силу ИРои;)волы!Ого выбоРа то «"к х $ и хэ это и о:зиа щст постои)1(ч во )(.$;) иа (О,Ь). й 4.5. Приложение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций „1адим следующее определение, Определение 4.4. Функция 1(:г) иаэываст<<я гиаиазваииа ее<зри»з))изк)$))с)1 (1(16)э<)<)к>а)е($) иа промежутке (а„Ь), если ДОК<ЬЗ»1$1)си)$><т<)а.
ВОЭЬМЕМ ИРОИЗВОЛЬИУЮ ИВРУ тО"И;К Х!.,ХЭ б б (а, Ь): .г) ис хэ и применим к отрезку )$х)..гэ) теор( му Лагранжа )выиолвеи!И> у(зювий этой геор( мы обесие «>ио диффереициру< мое)$ью Д(х)). Тогда >$'(: 1) — .1(х'э) х) — х, =-.Е (с) > 0 (Е (<") с 0) ~: ." (В.Ь):. =: - ~( )--И'.) У( ) Л )) (4.28) Теорема 4.11 (достаточный признак монотонности). пу("и функция ) (.1 ) дифферсицируема иа промежутке )<а, ь) и во 15(',(зх тОчках этО)*О ирОмсжутка, вьи)олия(г)(>я $1$.'рав('и<тВО 1 (х) О () (х) . О). ТО)э(>1 фуикция )(г) к«и)отои)зо возрас»»з<'!.
(убь)- ввет) иа $'а, Ь). признак ЛОкальнОСО эксудовлетворяет слез)укицз)з( ЕЕО ((>'(.г) =-. 1'(х) — 1С. с:«дов)>дельво, /'(с) — 1$> =- О зэ „1'(< ) = Ла, и О ра))виси:)ьио ) 4,'26>), Следствие. Пусть 1(<г) диффере)зцирусма иа иромежугке (а, Ь) и во всех точках этого иромежутка $ )х) — -- О. Тогда )(э>) постоя«ив иа (а, 6). От< юдв и вытекает (4.26). Теорема 4,12 (достаточный тремума). Пусть фуикция Д:г) УСЗ)ОВИЯЫ: ! ) ) (х) знзире1»ь)вна в тОчк(' х!б 2) )'(с!') дифференцируема в некоторой проколотой окрсапсо- сти 1!( гс!)' 3) «'(сг) мснги т знак при ис*реходе и рез точку га.
Тогда у «(г) пмеетсся н точке ха локалып)й эк< тремум, причем, сс,си зиак п)мп!зв(??пи)й и('.иЯег!ся с <+Ф ИВ Ф вЂ” (ч тО х!Йксиыум, а если (' (~ - ~ на е+)з ГО хпп!Вь!ух!, Д<?нс!<!<сп!е пса)с?с). Здес.ь гр(буется пояснить !1кч)е утловие теоремы. Мы считаем, что «(г) меняет знак при переходе че)юз то'!Ку хп., ()ели д?!я в<с'х х п:! П(гв):;с' с: гв опа им(',("Г одип злак, а свая всех .г из 1!(гс?): .г > хс) противопо;южпый злак. Пусть ?01я Оп)юле л('нпо("и! знак «(г) х!Сия('Гся с < ч.
В па « — В Возьм< ь! И)к)!Гп)О?п пую !о !К),г! с 1)(г()); г! ~ гс) и !О?им( пим к Отрезку (г), ? с)) теорему Лагранжа. О ! метим. что пепреры впасть жу. (г),):! у '! с дис))ф< р ц!О непрерывность в точке,г,) <)н)варева в условии. Полх*!им; :1; е (О. +<?с): р хв а' — .гва' 1п а хп с!а~ и «(: 'О) — «( г! ) — — ' — — -- — -- «'(с.,) > О.
1:О- Г1 В с'! ~ (:г 1 ..ГО ): СО!гасов)!!Т?п,ис), «(.! !) ч «(;га). !)!<(смотрим теперь произв<??п,пу!О точку ха а ()(гс!):,!сс <,гв. Примспив теорему Лаграия а к (Ггрсзку (х(1,:гз), получим ,л.(- 1 0 < — ' — — .- С)агс. а .«( )) — «(ГО) :) <а Е=. (ГО,,ГВ): — ' — — ' ' .-- «(<В) ( О. :га —:! (? Поделим все части (4.31) иа г: (,.'лс дават(*льва. «Огг) < «(гО) ИТВК. ДОЮ):)ВНО, ГГО < л(! 0< —. < а' х '!':г е: ).')(.го) =-' «(г) с «(га), а зто и агав'сает. по у функции «(г) в точке ге имеетгя локаль- пый мак< пмум.
Перейдем тс псрь н воп)к)су о так и лываехсс)м <равнении с корос"и"й роста сттап иной, покгв)ательпой и логарифми и ской функ!Еий, т. с . установим следуклцие соиппнпс пня: 1'иг. 4.2 159 1пп — -= О. х ° ° х. а~ (1п г)!' 1пп — -- — == О, йгп г") 1п;г!!!' - — — О. г — О- )ср и а>1; Ъс)? и е>0; 'сс)) и е > О.
Докаж('в! перво<) ОВ1юнство. Вс?!и р ь, О, тО раве(ИГГВО Очю!идно, так как х!' представляет собой ограни н пиую в окрсстиости 1 бескоис ппк:тп фуикцик), а — (кткоие пи) малую. а Пус)ь т< и< рь 1? ~ О. '1огда и числит<Оп, и и!Вм( иат<.чь дроби ()т)юмятся к бескин('чнОс!и и )мх)уды и' сОвссм не Оч('.Вид('.и. Исследуем пс?вел< пис функции !! =- — Иа положительной полуоси а"' Испо, '1*!о и!Вк Р (х)впад(гет сО 'ип!Кок! Вьц)Вжюп!я В скс)бках Р в (4.30), т.е. ои положителеп при х < х, =- — — и отрицате1па леп при сг > х,.
Изобразим график функции при г б (О, +ОС) (рис. 4.2). В точи( х), ())уикпия 10?ипимаст ИВИСК)гцпи)е:и!В!Сиие иа (О, + х.), которое обозначим б'л. ,р-~-! Возьмем теперь дробь —. В силу вьппеизложеииого, на а, (О, +ОС) справедливо неравенство Очевидно, что левая и правая части (4.32) стрем)птя к ну?сю при :г — + ?с. Отек)да по тсорехи' о зажатой переме!Гиой получим первое равенство из (4.20).
па!- воо (л (и 1йп — = 1йп —,— = О. — см ь- з-.- (е')' Ь д« «ь а Рис. 4 '1 !.1т«йь.ь доказать второе соотйош!.'ьйй йз (4,29), сделаем замену й«>1>емеййой: 1>! х .= б Тогда йскомый п1>одел вы(за:вися и йпд«з Посзьсдйий шаг был «делай йа основании первого «оогйойййия (4.29) и того, что е' = а ь 1. Третье соотпойй йие(4.29) можно дока:зать, сделав замену пе- 1 ременной / = —. Б резулш ате полу"шм и а и а , а . 1 Бш х'~!пх'ь = 1пп — ь!и — = )ыы — = 1«ш — —. -=().
х-.о-, з- -ек С« ~ ( ь-- ь.:«. Последний зьь«зь- бьш сдезий йа осйовайпи второго «.оотйошейия (4.29). Первьи два соотношения (1.2(1) можьй> иьпсрпр!"гиройатьтак. что йри х — 4 о степенная фуйкция ра«"лез мед.,изйй«'е ььоказательной, а зииарифмйческая медлешйе стейшшой, Пу«"и, функция у — — ь'(х) диффереьщиру«ма йа некотором иром!"жуин (а, Ь). Тогд«! с« ~>ззьл:зв«>дььая р' сама явля! тсй фуйкцй«Й, оьцкзд«леййой йа этом ььр«>зл«!жучке, й можйо рисматрйвать ! е ььройзйодзьуьо.
3 ьтз ь«1>ой'зводььая (у')' йосйт пвзвьмиш в!порой зьре«й>>водно!«, (или ь>1>он>с>«>«)нс>ьз вгвозов«> норзьдка) от функ!!пи «(ар у и обозначается р" йли — ', . Айал«и ичйо можпо рас«:матрийать «1> з зь(й>изводпьш зрел!и!го, чс.! в«>1>зилги !зарядка й т.д.
13«к>бьь««з, йрои заоди«>й й-го порядка задшшой функции йазььвается прои зводйая от се (п — 1)-й йроизводйой: р«" = (у""" ) . Об«ззйачш«пя сг! у и-я производйая так: уо'.* или — — -"-. О !метим. ио ьз отли*йле о! «(х«! ь("р пр«зизводйой перв«по порядка обо«пйшейие — ' уже йезп зя ипсйг" т! рььр«ь ! !!9«>!!!!то как йьь«! «>яьььукз зйзобь вь«> всь г«> лйьпь «;ььпьььй сььмвоз! дььзь и;й ььроизвзз>«й«>й. Для выя«йеиия лгсометрйчг«кои> смыслаь вп>рой йроьшводйой уа рассмотрим график функции у ==- д.ь ), дйфф«рейциру«'- мой иа ы(з«>межу'!'ке (а, Ь).
Определение 4.б. График фуйкшли ь'( ьз) йазываетея «зьлзгььк>ьы«м он!!в (вверх) йа,'а. Ь), если пв этом промежутке «т рш положшь йе пйжс (й«*. йьпьй') каеясдоь! к!и атшй ьшй к зт«>к!у ь'ра«)>!!к~., провед«зиной через йроиьзвоззьйуьо точку (ха. 1(зь«ь)), .ге «=.
(а, Ь). "ь, выпуклой в пи'3 и Фуйкйиь, з ри..' е ставл«"йы график '.. 4.3, а) и выпуклой вве1>к (1>ис. зпукзюсти). (.,1)ийустьйазтом! ., "е з график р =- ((х) >уд«*т...., из вв .иарядусг,« . = з . >, ь'л«с!витез!!«ьь«>. 1 . г, ! " '',л у ь" му графику, рассмот1; - зл у " зим касател у «1 . л >от«>Ч,У « .3 ., шои к ' ' ., как извести, .
ь а: . - ьо, имеь-г вид такой касательной, ь а . - = >с(«ьо) + Г(хе)(х — хв). у! =>' хо к: ". й в произкаеа:гюььйо ъ ива! графика и к рьсзьь«эсти 01>див!и' Вольной точке хь б (а. >): У ь =:г — (1(х«!) + ('(х«з)(з ь — хо)) ==.
У вЂ” Уу = Х(:гь) — (Х(з'«! х«ь)) — Пх«з)(хь — хо) : йия в обкак ыраьз«>ь! части о ; и выражения в °, оок применим теорс .3 и с ьце«твоввция з «х) .! " " Ия >,) ((«ь.!) ((хв) с с 9!«6 (хп,х! ставив (4.34) в (4.33), получим (>1 39 у — рь,. =- (1 (с) — хв з ! — .. йш («(х) — (дог+ Ь)) =-О, Г. <'. 4.б.
Формула Тейлора д =- дх + Ь. (4,38) 162 Сн(нза примеииа т('орему У!аграпжа. но уже к функции «(.г) на Отрс5ке зхо,<-) (обьясыитс. по кму что можно спел!>тз), Придем к соотпоннзшпо д — дь — ' «'"(сз )(à — .га)(.гз — .го), (4.36) г !)! 'Ъ где ГЗ 6 (хе. < ). Рис.
4,4 Зззл<(гтим теперь, по где бы ни Находилась точка .гз, справа или ( лева от,гп, произвсд(чвп. (<з — х,з)(,гз - хо) Положите.!ьно и, ()зедоз)ачельззо, знак р!К!пост>$ д — дз. соыпа,(ает со знаком «' (сз). Если па промежутке (и, Ь) «'"(х) > О, т(э и «" (( з ) > О. Впа пп, д — дз,. > О Зл график лежзп выпю касательыой для всех .г ф х!> (В самой точк<' ха ргсшост! 'и — Зд. == О). т.с. график д = «(х) является Вьшукльзм вни !. Аыалогичпо рассматрияается случай «"(х) < О. И Пусть функция «(х) дпффер!Пщиру< ма на иром( жу тк( (и. Ь) и зз и 6 ((з, !>).
ТОГда, если (ущ< стад(.т Ок!к с пик: гь чтой .ГО Зки (.!(ге) == (хп .Г — Ь ". х . Хо + Ь), такая, что на интервале (хо — Ь, ха) график д = «(:г) Валяется Вьшуклым В одну сторону. а па инт()ряйл(', (х(>,хо 4 Ь) !5 )11)утуз(?, тО тОчка .1:(э и!В<1$В>ип'- ся )ао гк(т пгди ззззба, графика д =- «(з!'). 13 атой ?очке про!К7коднт изм<11и)пи( 15ьшуктзо(тп и График Зы"рек<>дзп. ( Одыой (7ороиьз ка; сательпой на другузо (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
