Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(,с (0' и( нн) н(я(пи во ж ( и Окрс(м(ос(п 5 . 10). Заме(ил(. Ыо в силу пепрсрьги(нкггн кооипуса 1(ьй ссхи т --' сок 0 ='- 1. .« -е 7иквнлно также, гго 1)п( 1 =.- 1 с —.и То(„а О да по тео)иьхн' О «зажатой пер('лн ппой» из )3.50) цолуц(м 13.'15). (спим и и( и а (5 "п(м Ген('рь Гак ин(ыва(мьн',(Ок(ь(ьны(' ( во(и ( нп ц(ц)к(" рывпых ф('нкццй. т. (ь нове(((л(ги(с функ((ги( В л(а.ж(й Ок)и".(Т(т(ос('и зада(гпой то'(кн, козорос вь(ража("((я ( л(з(уизщими двумя( теоремами. Их можно выв(*,сп( и:( (,'оотвеггтВуйииих т('О)м.'м о пределах, но здесь докажем их не(еь с кд(*тв(нпо.
! 1'и(.;7 5 Теорема 3.35. Е((ц( функция( 7'0() нре1(ывп; в нек порой тО (ке ХО, то Она гок;(.тьно ограцн и'на и го ой то (ке. Рис. 3.10 11О свойству модуля [«(х )[ — [.«(:!.0)[ .=' [«'( .) — «(хо)[ [«( )[ — [.«(хо)! « 1. Тогда )зли си =.— И)1(«(г)): 61:= яир(«(х)) )а.а! Дс>казахи(из>«си)аа, Возьмем е .—.= 1. 11 силу определения нсщи рывнОсти :) 1)(.го): 'с(х й 1)()хо) =-х [Д.г) —,«(хо)! «1. [.«(х)[ «[«('оП+ ~ Иова>ая С' .=- 1[«(хо)[+ 1, получим опре.(сление локшин пой огрзиичеииогти. Теорема 3.36. Если «(.г) пепрерывна в то )кс хо и «(хс)) > О («(хо) «О), то 611(хо).
эх:г с= 11(хо) - 1(х) э О («(х) «0), Дока()аи)со)ьс>а(зс). 11усг>эь паирпмср. «(.«0): О. 11оложим е -.:— -=- '-'- — --, тогда по оир(д(лени)о ис прерывно( ти «(х(>) 2 . «(:о) 31)(хо): )Х,г () 1 (хо) с э [«(х) — «(хо)[ ~., «(хо) -- -' —,' — ««(- ) ««(.«0) + — —:, «(«0) .. " . «(!)О) 0 2 «(:)о) «()О) О ..1 «(,) О ° о 2 2 Замечаиие. В ) гаремах 4.',1)> я 3.
й)2 а о гли )ие от соотж)т(таук)щнх теорем о )Ин дела. х (1>ш.урирукп полные, а яс проколотые Окрестности т()')ки х)э, Теперь изучим общие с войства функций, иеирсрьпзиых иа пекогорох! отрезке [а, Ь!. Под зеркпем. по речь здесь идет имеино об аса1>алке. т. е. проки ясу! кс, о который входят сйе концевьи.
точки а и 6, а ие о промежутке произ>и)лы)ого вида. Сформулируем песка!и ко фуидакн итальных теорем. Дока!)!зтс.)ьс гва э! их теорем весьма иепрос" >ые и буду! Ириведсчпя в приложении к даииой главе (см. Подр)з(зэ!. 3,6), а )дссь ограничимся формулировкамии. С.иду( т отмеппь, > «с>. иэу )ая функции, нс)йк рывиыс ив от1ахзке. мы, вообсц( говоря, пе П1хцсио))а)(эсх>, *)то «ии опр(чл(зэ)сны вис этого итре.зка. 11оэтому при опрсде:и)нии псир()рыл)иск та н концевых точках а н Ь отр(к(ка нужио следи гь ча тем, пабы >и р( хи пиая х (и* вых()лила зв вред( лы [а, 6). 11О(и ему Ощи де иинс (3.! 6) в этом случас" примет вид; 1(и! «(х) =" «(а) и )ип «'(х) .=- «(6), .> --)-.- ' е.
-(е т, (. речь идет о гак исезывасмой о(1)1(И!варами й )ия)рсрненаси>а и точках а и 6. 11о это уточнсиис пс вди>и!) Ии на форму:)щ>овки ирив(дсииых дски.с порс м. Ип на их дока'зательство, Теорема 3.37. Если ф) нк)сия исч)рс рывна иа О грс'зке [а, 6[. то опа ограни и*ив на этом отрс:зке, т. (ч 3 С' =: 0: Чх е 10. 6[ .— -ь ! «(,г) [: С'. Теорема 3.38. Если функция «(х) п(ирсрь>шла иа огрсзке а. с .6'. го она достипат на н( и своих тс июй верхней и то шсэй ипжией грвией.
т, с . —.').г),,«) е 10. 1): «(х)1 =- зп == )п((«(х))) «(! ) =- М = ьир(«(х)). гьь) )6>,ь! Те«ореыа 3.30. Ес.)п функция «()«) пещ)(*рви)па иа О)ресзк(' (а, 6) и па копиях его црииимаег )на и'ция )>ротивоиОложпых зна; ков, то .)хо ез [О,Ь[: «()!)):=- О. Тес>рема 3.40, Е(лп функция «(.(') >и'ирсрывпа иа отрезке 1а. 6[, то с(* (>бди( ! ь эва к ПИЙ иа э «Ом От1хгзк( с Овал!>и т с от1игзком 1ш. )Ц). где 3.5. Асимптотическое иоаедеиие функс(ий Рассмотрим три ([>уикц)ли: х. х-', х>, 11ри х — 0 вс(' оии являл о (ется бесконечно малыми, однако з!с! Ко;)ах!с'!'и'г>ч и'о стремятся к иул)о оци «с разной (коростыо», Так, если х — --. ОЗ!1, то х) —: —.
0.0001, а х! '-= 0,000001, 11ри меньших х ризница будет с)ц(' иа!)лясс>и'(ь Можио сказать. ')ТО х" ('т))смитов к иул(О Оыст- 11очтом5 )'((Г) 1ГИ! 1 — —,- =- —,:=. 1, ('' и приходим к (3.')2). (3.5)1) З' ( (1' ) а 1 з' ) и д ( .г ! : 5 ( .г ) . 1 Ги 1В Т(п да р('«ч ч('м;!ь и х" Оьи:тр«)(ч ч!)м,?' . 1;,слп з: — 'с. тО пгкк)орО!; х' (яи "1(.'! бьи;1р( !) В«."1 х. х А!Сдленисе, Гем .1', и:Г, (нн? медлеи1ге(ч Н(?)ники!)т )и)обходимо! Ть сравнивать лп)жл) (обой !)Оскон(е)- 1и) .л!ильи' и бескО1и")ВО бОлььпис Ве?1ичипы по тому, (' какой скО- ростьк) они ичменяготся прн х хо, т.
е, изучать ас!Ыт??)о??)пчсское поведепи( функций в окреспюсти то )кн хп. БУДЕМ С !Итат)о ЧтО ККККЗ?аи ПЧ ФУНКЦИЙ, ИЗУ ГВЕМЫХ В ДаННОМ !Кь!разу)(чи О1личнв От нуз!я В )и'к(пОЙОЙ прокОлотОЙ Окр('ГтиОГи 1,'(хо ! ТО 1ки .Г ь Определение 3.17. Говорят, по функция и(з ) эквпв(1.)сн??1- на функции,(1(?) (и 15) прв х .ге.
если в некоторой проколотой окр)спеосз и 11(?о) то !Ки хо ! !!рав(длпво (Оотпони*ние а(,г) -.— 3(з))(1(.?:), !Де !Пп д(х) == 1. к ""(*о Очевидно, что это опредези)ни( равносильно следукчцсму: а(х) а,"! ',—.) ! Ьп! — — -,' — — - 1. (3.52) !1((Г) ..(Ля дока )ат( ль(-и!а 1ганносильпос)и обоик Определений до!"!а- а(х) то ьчо обхмна пп ь через (1((г) дробь — ' —. Я.1) Таким 1«бравом, на л!нокке(сгве функций, Отли пп !х От пуля В )еекотОЙОЙ Н(хе), ВВОдится так низыВвемьве ()??!ИО!(зе)ии) зквпвпГи н??)иос??н(. +Го отнопи)пие облатас) слез?укицими свойствамн; 1) а и (риф()екси((?(ос??1 !«): 2) и р =Ф () и ((лз ими??11и)чио(.??и«); 3) и р и б у .=-'- и = у (1?!1Кпк)11??тп)и)с??!!«).
(()ействител! и!), и(х) =- а(х) 1, 1пп 1 -- 1. «. го Зиа огп в( р!и) п('рвое свойс) Во. Далее. а ~:--.". а(з ) == )б(х)(1((г), !д( 1пп (1(.г) = 1. .« — .!'о 1 .. 1 р(х) = а(х) —,-- =-. и(г)д!(г), Где !(п! д)(х) =. 1!Тп — — - —.- 1. д(з') о .«о ' г-'Го д(з ) СГ!Сз!Оватсльио, в! рно и второе свойство. Наконец. а 1б =ь а(х) =-- В(.1()(11(з:), !.)е 1!Ги д!(х) = 1; (' -" «о В у =ь 3(х) .=- у(х)ди(х), гд!' 1)ш д (х) =- 1. а(х) .=. ((х)д! (з')(1з(з«) == т(,1')(1(.! ), Йп! д(х) == 1ш) (1!(х)(1)(г) .=- 1, т.е. справ!Д)1нво и т(кты х о( с(о )и ГВО. Теорема 3 41.
Пусть Йп )'(.) ) =: С, гд( б',(.О, ТОГЗ)а .П г) 1' о — .«( !)РП Х вЂ” .Гп, Дол лиа??П)ч1 с??! 60.,~(ейсг вите?и ио, За.иечиние. Посев'ркн()м. Го ),всь о )епь супгесмк иио у(лови( ( '; П. Так, пель Гя ("юмам„по 6(('мии) п(о молвя )квивал( вт!Га и);(кй Теорема 3.42.!1у(ть ) д приз; — .Гп и 1ГИ! (?(,Г) =- а. Т(лда г "" «(1 !)!и „1(.Г) .=: а. ')ь Д()л(а)(Г??1 Гь)?(с??и(о. Н силу як вива:и'итноо тп 1 н д выполняется 1'Оот)и)п!сии() ( 1.51).
Зпн')и*)) 1пп 1(х) = 1ГП! д!х) 1!Гп (1(х) --- а . ! == а,. о — «'(, «' ' о о о ' "го У н!т)*н)ая. (то отнопи'нп( чквиввле)гп!ости сим)н три !по. прих(С)нл( к выводу, Ген) дв( чквиввл()нтньи функции либо обе пги)гот О:ин) и т(н хке предел. дпбо обе пр(дела пе пмекп. и Теорема 3.43. 11у(-п, при,г — хо ) (.г) а(з') .1(з')д(г) и(х)Р( '): — — ' — - — ' Р'(х) - иг(х)., (5.53) д(.г! ()(х) 1Й)и им ПО(.п)дпе("(оотпопипн(1 (ира1ид!Иве при условии !) Ьч,,„„„,.„„„, Г?(,) и и?(з! ДОКОВСПЛГГГО(1П(ВЬ )(ОКЛ)КЕ)1, НИПЙИМ()р, (И'рно() И) СОО1ПОПП'- Гп!Й (3.53); )'(х): а!з ) -=- )'(.!() =- а(х)41(.г), где )пп д!(х) .=.
1; .)' — Г( д(з') !5(х) .=ь д(.г) — — 5(х)дз!.г!. 1:!!' 1!и! Уз!х? -"=- 1. ()ткулв вп (и,) ««р<)рм О«!О,<«1 1)п) — — — "--:= .О Я' ФО)ВМ)Р) О «<рорв!д;)в Формдлн <до( и) дл О (<'й<«гвитсгн но, ООХ ! О).Г" + . + О„ в «1 1. В(и ), - 1: 2,( ( 3, вгсвш Д(х)д(;г) --- О(х))О(.1 )<11(.г)д)(х) ---. а(х)«((х)«1() ). 1;!е <1()г):о «11(х)да(О ) в, о в)вилно, 1ип «7(.г) = 1. С"ле;<оввтельно, «и« !Н) оп)кд<лешно )(х)д(х) а(х)6(г). Аивлопеюо дока;)ываготсй и оги<льпьи' с<и«пиши ний ( 1.5ь)), 1(р<)велит<':!ого) )н» <лье 1 ВО <в) м< к«! Ой и л1*ио, % п)новйм ел<'лу в)н<ий <)н<кт: пр)1 .г — * оо Овх В О):1' + -. + О«, О.ох !Дв ОО г) (). О) 1 О« 1 Ои 1 )в.
ОО.Г ОО.)" Ов .1! 1)ь)рви<виве. стонщ< е всю)бквх. стремит<«й к <динице при х - к., 'ыо н и~ьв О»в)н 1 *;3 51 11! Ни Д1ъ! твблнпу' Вквивв 'и 1п нык ю'*1й'и!и (Длн ъд(обстив )Ц)- гум< ит об<жнвним 6уьж)й (). 11 ревльпь)К ии(в )ВК В рали ! 6у.(ув вьи тунвть р)ы.)и пп и функции <и. х. 1в6лица < приветики при 1 -= (1. 1 5. 1 .- сов( ') 6. рв(1+ (1 7. О' — 1 ( )и О; а ."- р«О )О 1; 1. Вг<'(й( ° (: 8, (1 (1)' — 1 рц )) ф (1, Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
