Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 19
Текст из файла (страница 19)
с), а < дру! Ой папмечзьш<'Й и:3 Них (с С 6), а. (х ТО 1ной и< рхней грш1ьк) йпр Л. Отме'1 пм. по точпая верхняя грань ('Еин(тй<*.нпа, тйк кйк ес.зп бы их бы;ю две е"1 и ся., то выли)лпяли(ъ бы соопк)ш( пия са ь, <1 и гз < св, ОЕ'куУЕВ < 1 '= сй. Лпалоги"<иыс рас(ггждения д<жйзывакл <зупк)< твоваиие точиой нижзнзй грапи у ограни'н*ниого шшчу мпож ства. Теорема 3.13. (Вн'ло Г является то ишй верхней гранью множества А в том н только в том слу"!Ве, когда выполняются следующие два условия: !) 'Ъ'(1 6 А =Ф а < с; 2) '(Ге>О 3аеА: а>с--е. (3.15) Даксьза)7(с>!7 сз)зсзо. >1( йст(о!тш!ьщ), пусть с =- зи!р А, тогда !и;рвов условие вьшолняется, ио( кольку Г . Одна из верхних границ.
Если бы не вьшолня. Н>сь второе из с(н>тношеннй (3.15), то это означало бы, по НГ)и некозо!хгм е > О вс( а (='. А удовлетво!эяют ПРОтИВОПОЛОжНОМУ НЕРааеи(с ГВУ а .-" С..- Е, а Эта В СНОК) ()*и!РЕЛЬ означало бы, что чнсзло (с — е) одна из верхних грашщ. 11о это невозможно, поскольку с наим( ньшая из верхних границ. Следова г( лыю, верны обв с тютноин.ни я (3.1з). Пусть тези'рь с,неко)ор(к число, уд(нин)гворяющес соотнош( ниям (3.15).
1!ервое из них озна нц"т. Тго с одна из верхних ! !)анин, а в!Оро(' гго л!Обо( мш(ыиск чи(з!О !и является верх!и-й границей. Таким обргаюм, с наименылая из верхних грашщ. т. е. с — -- гиз!э А. Определение 3.7. ПО(лез(онат(э ц н(к"! 1* (а„) на(пинас пи аазрас7па7(плей ('(76ы(з(зкгщс(1), ()сли )Гп и„< а„з( (а„> агы1). (3.16) Если в (3.16) неравенс-гво нестрогое, то будем называть носледо!Згг!(лынкть (Г>„) незвщ)газа (ЗОГЗГхз()77)ак>7(!е!1 (рбы(зсззс>щг>71).
ВО'Зрастдющис' и убывакнцие нослсдОВательнО('ти нОс)п' ('Оои!п1т(*льнОе на:!вани(' зза)(О7НО((нсжсв НО('(юдоватсльнснзтсй. Теорема 3.14 (теорема Вейерштрасса). Всякая м(нн)тон- ная (Оыть мОжет. нсзстрого) Оц)анн вч(ная но(л(гдОВВтс)льн(к-п, им(ют иред('л, Даказалг(з г>ьсзйвГ>.
>ТОИ(зжез( '-)тО ут!1()рж>((гине Зрш ВО)рас!Нюшей после;ннип ельностн (а„). В силу Ограни'юннОсч и мнОЖ("( "!'ВО:И1В'и'.ний ((1„„) явлю'и:я огршпг!енныа! Множеспюм чисел. Значит, существует Г: == вир А. Возьмем произвольное с > О. В (нлу (3.!5) сув(еству(т член иск.(юдователыикти а,~:, такой, по а)с > с — е. Тогда )>'и > )7' вынозшяк>гся неравенства с — с<а>у...а с<с+с. 1акик! Обре:кэм, .)Х: 77) -'.э % => ( — с ." а„< с -1 е, или )а„— с! < е.
11о это и очна !ает, что ))ш а„.=.: с. >З -7 Если (а„) монотонно убыва()г, то (Ь„), !)Де Ь„=- -а,„, монотонно возрастает и, но докагииингму, имеет предел с: 1ш) Ь„=- с. и- ~х Рин а,„= — !!ш Ь„==- --с. сйш ип; !)Ворема Вейерштрасса справедлива и в этом случж-', ° С'!зойства точной ннжней грани аналогичны свой(твам точной верхней грани. Аналогом теоремы (:5.13) здесь служит с'ш!Ухгшаи ГЕОРЕМВ.
Те(>рема 3.15. "Гисшо р явля( гея точной( нижней гранью множ( ства А в том и только .гом случае„когда вынолня!Отея сл()дткицие услсшня: 1) )(си с: А =-> а гз р; 2))7 >О ВабА: а<р+с. П!Н)длаггизтся ЛОкгезй'1(ь эту т(зарез!у с(зз(О(гтоя'Тельно. Рассмотрим кратко еще одно понятие. Выб(.рем неку!о возрастакиную последа!зательносп* натуральных чисел пг,пе,пз, ..., ГЦ.... 1.1л( ны иоследовательности (а„) с этими номерами обршукэт так называемую нодноследовательность исходной нос ледовательности (и„); аггг.а>77 (177.7: ...,Вп, Теорема 3.16.
Всякая иодиоследователышсть (асм) сходящейся последовательности (а„) схолзп ся к тхэму же пределу, что и исходная иоследовательност ь. ,>(с>нас!а)7)е>17 ('пгс(а.,(!с*йст!Зительно, пусть йш а„=- а. '1огда )зс > О В) )т': '(771, > 1" 7 =-> /а„— а! < е. Возьмем тс(нрь Гс', такое, что пк. > 1)'. Такое 11, ра!умеегсть найдется, так как п)., — :х. Тогда '(71 > ЬГ пз > пи > гз', а значит. !а„, — а( < е.
у! — — "" — — « — — —— 10 х 1!!и О„, == а. Ь.-<»., Рис. 3.3 1'пс. 3.4 7) (3.20) 10(! 1((:е'о) =- ()!(го.(Й((а(' о( Итак, 'Ус =» 0 31(: 76:э ««' -- (а„, — с!! ,'С е. Но эп О и о ша*пи"!. *и о Обраии>е утверж)!1 пие неверно. Нод!Иж.и;еи)ватслыикеть можси сходитьс я, ии да как сама поси дон(и с льпос! ь явс)я( гся расходяпкйся. Это видно иа примере пос.!е;(ошисльш)сти '.С(ИСТВИТС>1ЬИО. !ЮПКК Л('„1ОВ<И(ЛЬИОСТЬ (С ЭЛ«МСПТОВ С: >ЮИГ<ИЫ- ми пид('ксамп ае ° Оз- ио ° ° - ° ° ааь»1 ° < О<тон! и) сливин и им(с т п(кдел, )и!Иный «д)пшпе. Однако(вма посс!«)„(Онат ел(,иос ! ь рас и), штся.
Эта и< пос)!<ес!Опа!сльиосзь может служить и!!люстраци<'й и к следу1О1цему О и 1пьдиому се!с<(с!Внк) иоремье 3.1(6 Следствие. Если у пш:п>довитсльиостн имек>сея,!Ве полнос. и дователыкэгги, сходяшиеся к 1июпым пред( лам, то исходная !Иклсскппиельпоси. расхо,пися. Докажите слс,к тиис самостоятельно. 3.3. Предел функции действительного аргумента : (а<(их! Опр(делспп1е црс де:1Я для функции «(х) дсйствител!- БОГО а)п''мфпа. Под О>ес)еес:п)7(О(*77)! )О '1О'еки ас> буд('м пОииметсь мпож('ство ('л«'- дтюигеГО яи (а: 1:(х,>) = (х: (х -- .)о~ с Ь), где Ь =- 0 Нпа и, 1)(.Го) тгоспммс три ппяй интервал (.го — Ь,.го-) Ь) с центром в то !ке хо и радиусом <риттояпием от цспггра до концевой ГО'1ки), рави!Им Ь.
««))ОКОЛОеееаес Ок()се!пиес)пь>о 1 (:Го) то'1ки хо б«с(см ийзыват1 окресиюс "и, с' выколотым центром. с. е. м!шжество вида 1)1(хп) =- (х: 0: ~х -- хо!»3 Ь), где Ь г» О. (3.18) )де(>ь будем ритма Ниша гь фуше(пи. О><рсдс ле)ппяс' в некоторойй проколотой окре<"пи)сти то !кп хо.
Определение 3.8. Число а пазывается е<рс<с)е:.<О.И функции «<<Х) ПРИ ХЛ СсГРЕМЯ>ЦЕМСЯ Ь ХО. ЫЛИ (Ус ~ 0 -) 1)(хс)): Ух «-1(;ао) -- ~«(,е)- „, -,- (()1с1( Коротко э!О ) пп!с!Иве!е(ся т:)к: 1ип «(,Г) =- и. .7 — », Обрат им виимаши . что в ! 3.19) у п)ству<> г проколотая оьрешнОсть. З'ГО Озиа'пи.'т, *ГГО па:си'ии' пр('д(х1И, а '!Вкжс", ("1'о зпа" и'- иис полпосп,ю опрсд(ляются понед(я!ис м функции «(х) в точках, бди !ких к хо, ио отли шых от самой .гс!. В час'тиос:ти.
«(х) можст бы гь вооб!це ие опреде.ич(а в точке хо или определспа в 1Н'.и и раипа какОму угО,'1ИО )ив'(сии!О этО никак и(' Отрк:и!'Гс'я иа се п)жделе. Например, па рис 3 3 и ЗА предс)тавлеиы графики ,еиух функций, одпа из косарь(х ие определена в нуле. а дру> ая и ер(делена и равна нулю в этой тс)чк<ь Но н в том. и в другом ".<у !е!«)10)(ле.! Ири.г. с 1)я мяп!(и<я к пу:!ю, Оулс"! рав(п единиц(. Теорема 3.1 с (о одннственности предела). Если у функции «(х) их!с!( гся предел, то он едп(ьт!ве<шый. „7(О)сс!.!(Ггеесл ьс тс!О. Дейст интел ьпо, пус гь 1пп «(х) =- а и 1пп «(х) — -= 6: а >х 6. :7- .<О) х — ".<'о Выберем г .= 0 настолько малым, чтобы интервалы (а — с.
а, + е) и (6 — с.6 + с) ие пересека.!ись. Для этого .юстато'пш взять ~6 — се> 0 3 с: ' — — -'. Ио опрс;илепию про,ила о Ч))<1(хо): ~'х е 1) ) (.го) =-. ,'«'(х) -- а, '< в, т. е. число,( (х) ИОпад<и."Г в е-Ок(к'с"1'ИО('ть тО'скп О. АИВЛОГИ'п(О. л(,"е(хо): «7'х - ((а(.ео) ' !«(.Г) — 6> < с, .!) е. пило «(х! попад ит в еокрес! нос>! >ишки 6. ИО)южим (Рз(сго) = 1)(»33) П Пс( о). 3!((сс)! — !а( < !31(,х! — а! О: зса 333 » 6 (!( 33) ИС!и Откуда 193 с — — < 1(33') < с .+ ---. й ...,, И 2 2 а а а —; — <. ) (.Г) < а + —. 2 (3.22) Знак () В (3.20) Означсцст си.«Росс"к нис (гс с. Обн!Ксо чсьссь) дан33ых множеств. (Фактичес ки, 13(ссс) совпадасст с той из окрестностей Пс(сго) н 1:3з(313), у которой радиус меньше.) Тогда лля любого х ~= 1)(.го) чис;КР )'(.13) одновременно нопалас'!' В дВВ инте«РВсоы (а — - е, а + е) и (Ь вЂ” е, Ь+ е), кОТО«РЬП' не имс1О!' О!Ицпх ТО кк.
ОлслОВательнО, п1х".~и!33!оже31ие О с!ил!!сии у,!'(») :шук прсдслов ложно. и 1(х) можст имесн лишь один предел. В Определение 3.9. Функция 1'(х) нюьпсссс. гся локально ог1ю,- иачесисой В точке х13, если .Зб' > 0 и 3П(»о): РС333 б 1)(»33) —. !)(Г)! с" ,С. (3.21) 11Р(хо): '3» с:- 0(3333) --.-> !)(3) — а! < 1. По свойству моду3!и 3у(г)( — )13) < 1, т.е. !!(х)( < !а3+-1. Полагая С ==- !с!«+ 1. получим (:1.21) (строп!о неравенство 1!с!312«а можно заменить нестрогим.) Лемма 3.3. Пусть для функции !(х) выполняются слелу- КРИСИСР УС:ЛСРВ!СЯ; 1) зП(»13):~схб 1«(:го) =~У(х) ..
О; 2) !Ип 1'(х) = с. .С- »В Тогда с '> О. 'с' ДРРк31133агась333С33313с3.,3(ействсстеен нсР, пусть с < О. 11сньмем е == — —. 2 1Огла по оп1КВ3се33131И!ИР !Ррссде313! 31)3(хо): 33'х б 1)3(хо) ==ь !1'(сг) — с1 !<— !с! )с( с с Но с < О. зна ист„!33! 3=- — с' и с+ —, .=. с — —, = — < О, а тсзсзса 2 2 2 из (3.22) вытекает. что Д(»3) < 0 для 33 х б 11! (»о). Положим "1 ос да Ргх б1!ВР(хо) вьшолняются одновременно неравенство ((сг) < < О и первое из условий леммы 3 что невозьюжно. Следовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
