Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа (1113359), страница 22
Текст из файла (страница 22)
'.Гео)эема 3.33 (о непрерывности сложной функции). 1усп функции «(и) и с((«г) удовлцтворякэг следующим усло- 1) «(ц) непрерывна в точке ио, 2) су(х) не«прсц)ьи«иа В )очке.гц« 3) ф:$)с)) --- цц. ТОГде) слОжная с))у нксп«я «($(«(«г)) не«нрерь«ина В тОчкс", хц. Док<кгагле»<г < тво. В самом деле. пз условий 2 и 3 теоремы сле«ует, !то 1!Н) <д(з') .— <(»(.1<)) '=- О<). » '.»'ь И<Э )инда МЫ Оиге|ЫВК<'Мея $| уС.ЮВПИХ )П ОРЕМЫ '.1.32. СО|гик:ПО КО- торой Й|п „Г (»Й(.г)) .—.- Г(гго) =- ) $<й(ле)) х -'г»» Л гкпэ и сонача<'г, !то Э (<(э(:1)) пепр<"рывпа в точк<' л<!.
И Таким обр ыом, по:!у и и О пи Г н ! И<к тая.игнпь|Й !)ап«во!Йэос о т<эм. Гго при подстаношп в ка кс!в( вргум<нта одиоЙ п<пр<- 1)ывной фуикцпи в Эйэ) 1( |о |юг»'пи|си < иова и<)И!)< 1)ывпая ф) пк- 1«ИЯ. Приведем ещ<' »), шо оп(к д< лепи<в функция наэываетсэ!»и )грев РЬ!ЕП<ЭИ гга НЕ|лакг |Игп»гк«э<э<<С, (С. !И Опа НЕПРЕРЫВНВ и КажДОЙ то"!ке «гого м!в жеппиь Вспоьпшм пчи рь общее о|Ох де.п !пи фуикцпи. Г(я;ию!ю которому ю<ждому -э.кмегпу л из мнолаз"!ш! Х !Нвп.ия 1» со<пвстстшя- э им(чп д !ю хп!<.»же< п|а 1 . !кэ прп «|ом и< ш к по ихюя еду|ай, к<я.«а 1)жиы< х пе(гехо;шли в о»«ип и !О| ж<' д, Нш!риМ1 р. <))ункция ) (!») .—.- ! вло 'п(сээоиуго и!)ям) ю |п'ревОди 1' в о.п<<' то !ку 1.
Рели же иг| ф« !|кцию д .=- ((г ) ш<.впк!п ь до!Ю|пип,|ьш е <тлошп. 'по и;1,).1 :дг л с.и !)е|«что д! -,х д». тог,«в па <»6.!ш"!и зна и'ппй -)той функции моя(но оп!»е.«е. Нггг, оорапгпггю )эдггг цию л =-,»(д)» котор;ш каждому «;им< игу д соп(к !Тоыш'! г(п. < ли|!- стал!Иый зл< мепт.г, ко!Орый |к(к хо.п|! в мо!. д !ю 1, и Йс|шп м фуптцт гг<.г). Понятшэ„что обр пной фуикпш й к функцш! .г = <д(гг«6<)в-! исходная функция д = )(г).
Н|к по с.и;|ус! говор!пь о пире в гл и м по-обратны х функций. А .г(перь сформулируем (без д<»капп(.и ства) г.к.«уюп!ую теорему. Теорема 3.34 (об обрати<«й функции). Пусть фуикпия у =- эг(ггэ) определ!'Иа на пекотором иром<жутко. Непрерывна и гтр<)1'и мо|к)тогш ! Иа и< м. !о|;|а у пе<' су|цг'ствует Обрап|ая фупкцпя .г =.:Й(у), опред< лшшая на своем пр<эыеж)-! Ке. и гакж(* пепр<'рывная и строго м(я|огопная на нем (в ту ж< сг<эроиу). П<гкгс) птльпая функция д == а', гд< а " О и а га< 1.
и< |цэерывна и строго мог к)топил иа в( ей числовой о< и. (2(окг!згг! еэ!ь< тво этого факта достато шо сложно и здесь и< приводится.) По теореме 3.34 у показательной функции существует обргхгная фупкция. Иа)ыва<.маг! логарвфми и!ской г = 1ОЙ у. Обла; »» <тьк) оп!яд(ленив «той ())ункции явля< !<)г! <)бла(ть зна»и|пий показательной функпии, т.е. полупрямая (О:+«с). 21о«т(рифми'1(ь (гкая <))унк|«ия $и'|цэеры||па на этОЙ полупрээ!мОЙ $1 ст)к)ГО МОнотопиа в ту ж(', сторону; 'ПО и НОказателы|ая фу|!к|«их <г (т. <ь хпь нотопно возрастает при а > 1 п мои<)поипо убывает при а сс 1). В |астности» <хлн в ха*|с(ггв1 Основани~ (| взять и пок юателышя (г:""), и логарифми"|еская (!и у) фуцкции 6)т«ут мопопяпц) возрастающими.
Обье!Ио аргумшп л()гарифмической функции, как и у всех осп|льных функций, обозпачается бук- ИОЙ х, 'ГГО. кОн<*'пю, и(' менги'т суГи дела,. Рассмотрим теперь две функции ~'(г!) =-1ци и <(»(л) =- (1+в) Полагая пе == с и ле =- О и применяя теорему 3.32 о предельном пер<'ход(' под знаком нш|рерывной функции, получим: ! !$п«<д(гг) == 1!ш(1+ гг)' =- с, г'- О г'- Е ! 1 !1|п «((д(э )) =- (пп )п(1+ х) -- = 1!Н| — )п(! е гг) .= !п <- — !. .< — О --е —.е гг Итак, вычислеп еп«е одии важный предел: !п(1 + л) 1!ш — -- —:= 1. .< -е гс Возьмем фупкцию г"» 1|д( и.
ц<шое число, отли цкк. от нуля. Зт<э ча(зный случай рациональной функции. П(отому оиа и<'пр<'рывна на всей ('воей об»пц:ти оп(кх«<с!епг!$1, т. 1ь па во<'Й 'пп'- .К»вой оси при натуральных гг и вск)ду, кроме то !ки О, при отрипа!<.!ьш !х и,. ! и«'*МОГрим тепе(я 2:1 при пронзвОлыюм действит(с1ЬИОм 1). 11оскольку не при всех р тг|кая фуш(ция оп1)еделег<г) дгш отрицгпельпых |па и ний| зз докажем е<.' непр(грг ци!()с!'$» д,.!я «<л ~ О. -;1дя «ГОГО П<э)ЮжНМ !'(1!) .=..= с" и <(»(гс) =- р!и х и примепим теор(му о иеирерышкэсти сложной <)эупкц)1$$.
По( к()я|*ку ( (, ( )),а|ах !»»г'-",,!» то из «той теоремы слег!уст пепре1)ьц|цо("и хя па (О, +Ос). |'эй 125 (в)пх — Вн!.!)о! =- 12вн! : --.го~ ~ '-+оо 2 яш — — ! (сов — --,—-- 2 ~~~ ' 2 à — Зо,1: Т Хо — С:Ок 2 ,х — .'»»С( '-' 2' — 1 =-',х —:го!!. 2 11(хо) = ( г: ~»1 - хо~ < е) Тогда из (3.47) следует, !то (Ух е- Н(хо) . » ~ ып х - - кш хо! < е. вшх сокх сйх - — — .— —; С1цх =- — --.
соя х ВЙП х ' 1'!к. 3.5) ! я!и х( = ) в)п О( = 0 =- ф 126 ! ! .,")(, Ввмстим. что при нсксггорых р функция х!' Ок!С)ывв(тгся определе!П(ОЙ и )ьля отри)ш по)ьнь!х:шв и ннй .». По то»дв Опв Облвд 1- (! СВОЙ(ТВОМ 'нпи!Ссгпп ( ! ( —.!) =: » (х) ) или )ючсннсосопп ()»("-х) =. == — »'(х)), по позволяет вопро( о и( прсрывнос»ги функции при си рицви льных,г свс сти к вопросу о непрерывиостн на (0,.(-оо). ')тО КПСВЕГСЯ ГаМОй ТОЧКИ О, то ПРИ Р чв О ФУНКЦИЯ Х' бТЗ(СГГ непрерьпиюй! в чтой точке (бьгп может, чолько в с мьц)п нспрерь(ввести гнрпВВ, кОтОрвя О)11х','ц'.Ляется впвлоги*шО Ол!Нк'тОроннсму пре;и'лу), а при р < 0 зта точка не входит в область ощх. целгния дашюй функции.
Гвкнм обре юм, хв нггйхрыина нв в(х Й своей области опред(, 1»'ния. 1!ерейд( и теперь к григ(пи)ме»рическнм функциям. Снача.(в п"шновим важное и("равенство: Ч.» (=!1: ))(!Н.г( «5 ,'х,'. (3.15) ;)1 П(х'кОльку Обе) чв( ти н()рвВ('нствв пОложит!'.льнь), с!'О ЫО)кпО и('- рспис ать в виде (я)п.г( < ,(,г!.
(3.46) Пусп теп(рь х е ( — —:,О). Тсида (--,г) 6 (О; — ) и для нсчо (пра- В('.,'ЬчиВО )и)1твв('и("п)0 Пусть х е (О; --). НВ три!Опометрп и."ском круп' угол х' ЙОВ, 2 и !Ьц ренпь!й в рндпвннх, равс и .г и росположсн и первой к" пи ртн (рис. 3.5). Позтому»воины дуги»)В тикжс- равна х, твк как ра(иуг кру! а равеп 1, и болыпе длины стягивакиц( Й се хорды АВ, котОрвя В г!ю1О О'и'1х'дь бо)1ьш(' длипы и('р!к'ндик'»лярв В1.:, ко"п)рв)1 ровни В)п х. Нтвк.
Лля х 6 (О, г ) ( пр(и)сд)ц(во и("рввенство 2 /в)п(--:г)~' < ! — »»2! Но ~ сйп(--х)! — 1 — кшх/=-!В)п,»'! и ) — х(= :=- )1,г!. Следовательно, и 2ьпя зтих х выполпж'гся (3.-16). Е(ли (:г! Ъ вЂ”, то ~ В!Н.г~ = 1 < —,~, ф, 2 и мы (".ПОВВ, НОлу"иц)м (ЗА6). Нвконец, если х == О, то Таким образом, неравеис тво (ЗА5) вынс)лн)н-гся для всех дейстгвителы(ых .»' Тсчп"рь ужг можно (ока:)В п нспрерьцнк)сггь тригоиометрических функций. Нгтчнем с яЗп х. НОзььн)ы Н1х)и»)в(1л) ну!о тО'(ку хо и Оц()ннм рвзнОсть в!их в)п хо Здесь мы восполь:юввлись неравенством (3,46) и очевидной оценкой для косинуса.
Возьмем теперь произвольное е > О. Выберем окреспюсть ТО )КИ Хо РВДИУСВ ГК 51Ы !0)и(п)!и к пирсу(еловик) !Шпр()рьп)ногти. Но(:келью» хо были гйхивпюлыюй точкой, получаем, сто функции кш,г попрерывно на всей числовой оги. ущюоссг!см»цс,у.я. проводил юсвлоги пнх дока;)вт(льгп!о нспр(*р(*ппихч и сов.г. (Плес, функции 1е х и с(Й х представля!от собой дроби: (ю-)тому они непрерьп!Иы па всей своей области определггиш В : плу п оремы о непрсрьппн)гти "пцсгп()го.
Нгрш ш я к функцпи к)п х. На ы сй Ниловой оси онв не имеет оорвтиОЙ фуню1ип, т()к квк квждо(' свос ')нв'юнис приииыв(гг В (х'гкОне'шОм чиюц' тО'ц)к. ( 1!Обы убедитьгя В зтОм., В(ПОмпитс формулу для 1х )пс)ния урввиеиия яш х --= и,) Если огрвпнчить облек)ть ш(ределсния функции к)п х отри)- к г! ком ~ — —, — 1, то на нем функция у .= (Йпх оудет строго мопосонной и н( прерьпи(ой, и тогдв НО т()ор(кц Об Обр(ТТНОИ ())упкции ' "" н(3(( " .
' '"' ' т:(, - „, о'Оро(" " ).'нкц(гн . 'Ппзь не ' ' 1 "(Ок( 1.1; -т "Ойх(;„„. (хнн (( и ( ' ни на Р „'' (охц:,(( ( х( "асти 1 Ого моп(х " ' '1 и'г((нген(. ' 7(и('Оно (оо ( л,„' о'(Р(нп(лен ' п(л™ннылн( ' и ((Рккол 'в('т(тв(.(н " " ." Пн агни( ' ( и н(н)хе . ("П(ге(в "н(н( и(( р '(ьивми 17 'Рьн(и( „( 'З(ЫН,(йл,' " ' 'ОСО и„:,, ' ' ' '" '-'(С'(ПВЛЕН, "' П7>ед(л - 7л(лзт((О(н .-' н (яь(н(, ""' (П((н( В(( и:(ВЛП и, (,( "Рим (е, „ )3.:183 "Рестн(з ...
1(('т(госп Рй нкнв '(и г (ах(иапп ' Ой из В(, ' "(('ннк(. ('( ьплаи, УР 'и Рез '1" х( 1 к)'Улки о(п и 1 " и Рав('и 1 ;;а)п( „-, 1 Л;(е(,( ,'(ти ' п(ы в 73.10 „' "' О'Р(х(ка:17 )'3.-10)) (и,( (н,, ' . ос.кол, - . е нл((,е1ла ' ' у в'ев( В(н(,во ('сжн *, Рнс. 3.5 Рис. 3.() яп сс ('ОК Х; — — С ,(' 13х)0) Если тепе (ь т 5 —.—,0 х прин'( ( и л(и( к Вой по го(внн ('кр(('тпрр(ти Г: )О). то ) — л) с- ~0, ") и сл(,((ии( ., По гйп) — л( ('ок) —.г) < — — — ' <- 1 ~-:) ) "(итываи "ктность сов.г и пе((-(нос((, а)пз „,,- цм веп(тво )3.50) оста("тси сп)ни(е(ьппп*(л( н в зтом с,(у*(ае. Таким (х(ра вн(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
